параллелепипед



Хову-Аксынская МБОУ СОШ.

Реферат

По предмету : “Геометрия”

На тему : “Параллелепипед”

Выполнил : Сарыглар. Ш.В

Руководитель : Ооржак.Б.Б

Хову-Аксы 2013 г.

Содержание.

1 Понятие параллелепипеда

2 Свойства параллелепипеда

3 Задачи

4 список использованной литературы

Понятие параллелепипеда.

Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани – параллелограммы.

На рисунке 3 изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 4 – прямой параллелепипед.

 Параллелепипед свойства

Рис. 3

 

Рис. 4

 

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. [4, 301]

Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскости основания, называется прямым параллелепипедом. У него все боковые грани прямоугольники, а основания параллелограммы. Если все грани параллелепипеда – прямоугольники, то его называют прямоугольным параллелепипедом. Длины трех его ребер, которые выходят из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны, называется кубом. Соотношение между различными видами параллелепипеда приведено в схеме: [2, 115]

Параллелепипед свойства

Свойства параллелепипеда.

Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности Sбо*h, где Ро — периметр основания, h — высота

Площадь полной поверхности Sп=Sб+2Sо, где Sо — площадь основания

Объём V=Sо*h

Прямоугольный параллелепипед

Основная статья: Прямоугольный параллелепипед

Площадь боковой поверхности Sб=2c(a+b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности Sп=2(ab+bc+ac)

Объём V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Произвольный параллелепипед

Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения[1]:215.

ς== В математическом анализе == В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадьпонимают множество точек Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадьвида Площадь параллелепипеда основания

Доказательство:

1) Рассмотрим какие-нибудь две противоположные грани параллелепипеда, например, Площадь параллелепипеда основания и Параллелепипед свойства (рис. 5).



Параллелепипед свойства

Рис. 5

 

Поскольку все грани параллелепипеда – параллелограммы, то прямая AD параллельна прямой ВС, а прямая Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь параллельна прямой Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь. Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.

Из того, что грани параллелепипеда – параллелограммы, следует, что АВ, Площадь параллелепипеда основания, CD и Площадь параллелепипеда основанияПараллелепипед свойства параллельны и равны. Отсюда сделаем вывод, что грань Параллелепипед свойства совмещается параллельным переносом вдоль ребра АВ с гранью Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь. Следовательно, эти грани равны.

2) Возьмем две диагонали параллелепипеда (рис. 5), например, Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь и Площадь параллелепипеда основания, и проведем дополнительные прямые Площадь параллелепипеда основания и Параллелепипед свойства. АВ и Параллелепипед свойства соответственно равны и параллельны ребру DC, поэтому они равны и параллельны между собою; вследствии этого фигура Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь есть параллелограмм, в котором прямые Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь и Площадь параллелепипеда основания – диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам. Аналогично мы можем доказать, что две другие диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Точка пересечения каждой пары диагоналей лежит в середине диагонали Площадь параллелепипеда основания. Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам. Таким образом, точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии. [3, 21]

Теорема:

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Доказательство:

Это выплывает из пространственной теоремы Пифагора. Если Параллелепипед свойства – диагональ прямоугольного параллелепипеда Параллелепипед свойства, то Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь – ее проекции на три попарно перпендикулярные прямые (рис. 6). Следовательно, Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь. [2, 116]

Площадь параллелепипеда основания

Рис. 6

 

 

Замечание: в прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.

Задачи.

Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии b от этого основания. Сторона основания равна a . Найдите полную поверхность параллелепипеда.

Решение

Пусть Площадь параллелепипеда основания – данный параллелепипед с основаниями Параллелепипед свойства, Параллелепипед свойства и боковыми рёбрами Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь, причём ABCD – квадрат со стороной a , вершина Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь равноудалена от вершин A, B, C и D, а расстояние от вершины Площадь параллелепипеда основания до плоскости основания ABCD равно b. Поскольку точка Площадь параллелепипеда основания равноудалена от вершин квадрата ABCD, она лежит на перпендикуляре к плоскости ABCD, проходящем через центр O квадрата. Перпендикуляр, опущенный из точки O на сторону BC, проходит через её середину M. По теореме о трёх перпендикулярах Параллелепипед свойства, поэтому Параллелепипед свойства – высота грани Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь. Из прямоугольного треугольника Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь находим, что

Площадь параллелепипеда основания.

Значит,

Площадь параллелепипеда основания

Аналогично,

Параллелепипед свойства

Если S – полная поверхность параллелепипеда Параллелепипед свойства, то

Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь.

В параллелепипеде Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь грань ABCD – квадрат со стороной 5, ребро Площадь параллелепипеда основания также равно 5, и это ребро образует с рёбрами AB и AD углы Площадь параллелепипеда основания. Найдите диагональ Параллелепипед свойства.

Решение :

Треугольник Параллелепипед свойства– равносторонний, т.к. Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь = AB и Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь. Поэтому Площадь параллелепипеда основания. Аналогично, Площадь параллелепипеда основания. Боковые рёбра Параллелепипед свойства треугольной пирамиды Параллелепипед свойства с вершиной Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь равны между собой, значит, высота Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь этой пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания ABD , а т.к. треугольник ABD прямоугольный, то точка O – середина его гипотенузы BD, т.е. центр квадрата ABCD. Из прямоугольного треугольника Площадь параллелепипеда основания находим, что

Площадь параллелепипеда основания

Поскольку Параллелепипед свойства, точка Параллелепипед свойства равноудалена от вершин C и D, поэтому её ортогональная проекция K на плоскость основания ABCD также равноудалена от C и D, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD. Поскольку Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь||Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь и Площадь параллелепипеда основания=Площадь параллелепипеда основания, четырёхугольник Параллелепипед свойства – прямоугольник, поэтому OK=Параллелепипед свойства=5. Продолжим отрезок KO до пересечения с отрезком AB в точке M. Тогда M – середина AB и MK=MO+OK=Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь. Из прямоугольных треугольников MKB и Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь находим, что:

Площадь параллелепипеда основания

Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и делятся этой точкой пополам. Докажите, что концы этих отрезков служат вершинами параллелепипеда.

Решение

Пусть O – общая середина отрезков Площадь параллелепипеда основания, Параллелепипед свойства и Параллелепипед свойства. Тогда AB||Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадьи AD||Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь. Значит, плоскости ABD и Площадь параллелепипеда основания параллельны. Аналогично, плоскость Площадь параллелепипеда основания параллельна плоскости Параллелепипед свойства. В плоскостях ABD и Параллелепипед свойства возьмём соответственно точки C и Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь так, что ABCD и Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь – параллелограммы. Так как CD||AB , AB||Площадь параллелепипеда основания и Площадь параллелепипеда основания||Параллелепипед свойства, то CD||Параллелепипед свойства. Поэтому плоскости Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь и Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь также параллельны. Шестигранник Площадь параллелепипеда основания, образован пересечением трёх пар параллельных плоскостей. Следовательно, это параллелепипед.

Если у прямоугольного параллелепипеда высота равна 10 , отрезки основания равны 4 и 5 .

Найти объем ?

Решение :

Чтобы найти объем параллелепипеда нужно использовать формулу abc,

то из этого следует:V=10*4*5=200

Площадь параллелепипеда основанияРебра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите его площадь поверхности.

Решение.Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме попарных произведений его измерений

Параллелепипед свойства.

Параллелепипед свойстваДва ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Решение.Обозначим известные ребра за Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадьи Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь, а неизвестное за Площадь параллелепипеда основания. Площадь поверхности параллелепипеда выражается как

Площадь параллелепипеда основания.

Диагональ параллелепипеда находится как

Параллелепипед свойства.

Выразим Параллелепипед свойства:

Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь.

Тогда площадь поверхности

Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь

Площадь параллелепипеда основания

Ответ: 64.

Площадь параллелепипеда основанияГранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60Параллелепипед свойства. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60Параллелепипед свойства и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.Объем параллелепипеда Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь, где Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь– площадь одной из граней, а Площадь параллелепипеда основания– длина ребра, составляющего с этой гранью угол Площадь параллелепипеда основания. Площадь ромба с острым углом в Параллелепипед свойстваравна двум площадям равностороннего треугольника. Вычислим объем:

Параллелепипед свойства.

Ответ: 1,5.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадьПрямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Решение.Высота и сторона такого параллелепипеда равны диаметру сферы, то есть это куб со стороной 2. Площадь поверхности куба со стороной Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь:

Площадь параллелепипеда основания

Ответ: 24.

Площадь параллелепипеда основанияДва ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Решение.Обозначим известные ребра за Параллелепипед свойстваи Параллелепипед свойства, а неизвестное за Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь. Площадь поверхности параллелепипеда выражается как Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь. Выразим Площадь параллелепипеда основания: Площадь параллелепипеда основания, откуда неизвестное ребро

Параллелепипед свойства.

Ответ: 5.

Параллелепипед свойстваНайдите объем параллелепипеда Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь, если объем треугольной пирамиды Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадьравен 3.

Решение.Объем параллелепипеда равен Площадь параллелепипеда основания, где Площадь параллелепипеда основания– площадь основания, Параллелепипед свойства– высота. Объем пирамиды равен Параллелепипед свойства, где Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь– площадь основания пирамиды, по построению равная половине площади основания параллелепипеда. Тогда объем параллелепипеда в 6 раз больше объема пирамиды Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь.

Ответ: 18.

Площадь параллелепипеда основанияДиагональ прямоугольного параллелепипеда равна Площадь параллелепипеда основанияи образует углы 30Параллелепипед свойства, 30Параллелепипед свойства и 45Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.Ребро параллелепипеда напротив угла в Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадьравно Площадь параллелепипеда основания, поскольку образует с заданной диагональю и диагональю одной из граней равнобедренный треугольник. Два другие ребра по построению лежат в прямоугольных треугольниках напротив угла в Площадь параллелепипеда основанияи равны, поэтому половине диагонали. Тогда объем параллелепипеда:

Параллелепипед свойства

Ответ: 4.

Параллелепипед свойстваДва ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.

Решение.Найдем третье ребро из выражения для объема:

Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь.

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь.

Ответ: 22.

Площадь параллелепипеда основанияДва ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.Длина диагонали параллелепипеда равна

Площадь параллелепипеда основания.

Длина третьего ребра тогда Параллелепипед свойства. Получим, что объем параллелепипеда

Параллелепипед свойства.

Ответ: 32.

B11 № 27077. Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадьОбъем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Решение.Объем прямоугольного параллелепипеда равен Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь, где Площадь параллелепипеда основания– площадь грани, а Площадь параллелепипеда основания– высота перпендикулярного к ней ребра. Тогда площадь грани

Параллелепипед свойства.

Ответ: 8.

Параллелепипед свойстваПрямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.Высота параллелепипеда равна высоте вписанного в него цилиндра. Основанием параллелепипеда является квадрат, сторона которого в два раза больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому площадь основания равна 4, а объем параллелепипеда равен

Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь.

Ответ: 4.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадьДва ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Решение.Обозначим известные ребра за Площадь параллелепипеда основанияи Площадь параллелепипеда основания, а неизвестное за Параллелепипед свойства. Площадь поверхности параллелепипеда выражается как Параллелепипед свойства. Выразим Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь:

Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь,

откуда неизвестное ребро

Площадь параллелепипеда основания,

Диагональ параллелепипеда находится как

Площадь параллелепипеда основания.

Ответ: 3.

Параллелепипед свойстваПлощадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.Объем прямоугольного параллелепипеда равен Параллелепипед свойства, где Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь– площадь грани, а Два ребра прямоугольного параллелепипеда найдите площадь— высота перпендикулярного к ней ребра. Имеем

Площадь параллелепипеда основания.

Ответ: 48.

Список использованной литературы:

1.Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1995. – 383 с.

2. http://www.bestreferat.ru/

3.http://ru.wikipedia.org

4.Яндеск энциклопедия








sitemap
sitemap