параллелепипед



Хову-Аксынская МБОУ СОШ.

Реферат

По предмету : “Геометрия”

На тему : “Параллелепипед”

Выполнил : Сарыглар. Ш.В

Руководитель : Ооржак.Б.Б

Хову-Аксы 2013 г.

Содержание.

1 Понятие параллелепипеда

2 Свойства параллелепипеда

3 Задачи

4 список использованной литературы

Понятие параллелепипеда.

Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани – параллелограммы.

На рисунке 3 изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 4 – прямой параллелепипед.

 

Рис. 3

 

Рис. 4

 

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. [4, 301]

Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскости основания, называется прямым параллелепипедом. У него все боковые грани прямоугольники, а основания параллелограммы. Если все грани параллелепипеда – прямоугольники, то его называют прямоугольным параллелепипедом. Длины трех его ребер, которые выходят из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны, называется кубом. Соотношение между различными видами параллелепипеда приведено в схеме: [2, 115]

Свойства параллелепипеда.

Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности Sбо*h, где Ро — периметр основания, h — высота

Площадь полной поверхности Sп=Sб+2Sо, где Sо — площадь основания

Объём V=Sо*h

Прямоугольный параллелепипед

Основная статья: Прямоугольный параллелепипед

Площадь боковой поверхности Sб=2c(a+b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности Sп=2(ab+bc+ac)

Объём V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Произвольный параллелепипед

Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения[1]:215.

ς== В математическом анализе == В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом понимают множество точек вида

Доказательство:

1) Рассмотрим какие-нибудь две противоположные грани параллелепипеда, например,  и  (рис. 5).

Рис. 5

 

Поскольку все грани параллелепипеда – параллелограммы, то прямая AD параллельна прямой ВС, а прямая  параллельна прямой . Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.

Из того, что грани параллелепипеда – параллелограммы, следует, что АВ, , CD и  параллельны и равны. Отсюда сделаем вывод, что грань  совмещается параллельным переносом вдоль ребра АВ с гранью . Следовательно, эти грани равны.

2) Возьмем две диагонали параллелепипеда (рис. 5), например,  и , и проведем дополнительные прямые  и . АВ и  соответственно равны и параллельны ребру DC, поэтому они равны и параллельны между собою; вследствии этого фигура  есть параллелограмм, в котором прямые  и  – диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам. Аналогично мы можем доказать, что две другие диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Точка пересечения каждой пары диагоналей лежит в середине диагонали . Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам. Таким образом, точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии. [3, 21]

Теорема:

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Доказательство:

Это выплывает из пространственной теоремы Пифагора. Если  – диагональ прямоугольного параллелепипеда , то  – ее проекции на три попарно перпендикулярные прямые (рис. 6). Следовательно, . [2, 116]

Рис. 6

 

 

Замечание: в прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.

Задачи.

Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии b от этого основания. Сторона основания равна a . Найдите полную поверхность параллелепипеда.

Решение

Пусть  – данный параллелепипед с основаниями ,  и боковыми рёбрами , причём ABCD – квадрат со стороной a , вершина  равноудалена от вершин A, B, C и D, а расстояние от вершины  до плоскости основания ABCD равно b. Поскольку точка  равноудалена от вершин квадрата ABCD, она лежит на перпендикуляре к плоскости ABCD, проходящем через центр O квадрата. Перпендикуляр, опущенный из точки O на сторону BC, проходит через её середину M. По теореме о трёх перпендикулярах , поэтому  – высота грани . Из прямоугольного треугольника  находим, что

.

Значит,

Аналогично,

Если S – полная поверхность параллелепипеда , то

.

В параллелепипеде  грань ABCD – квадрат со стороной 5, ребро  также равно 5, и это ребро образует с рёбрами AB и AD углы . Найдите диагональ .

Решение :

Треугольник – равносторонний, т.к.  = AB и . Поэтому . Аналогично, . Боковые рёбра  треугольной пирамиды  с вершиной  равны между собой, значит, высота  этой пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания ABD , а т.к. треугольник ABD прямоугольный, то точка O – середина его гипотенузы BD, т.е. центр квадрата ABCD. Из прямоугольного треугольника  находим, что

Поскольку , точка  равноудалена от вершин C и D, поэтому её ортогональная проекция K на плоскость основания ABCD также равноудалена от C и D, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD. Поскольку || и =, четырёхугольник  – прямоугольник, поэтому OK==5. Продолжим отрезок KO до пересечения с отрезком AB в точке M. Тогда M – середина AB и MK=MO+OK=. Из прямоугольных треугольников MKB и  находим, что:

Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и делятся этой точкой пополам. Докажите, что концы этих отрезков служат вершинами параллелепипеда.

Решение

Пусть O – общая середина отрезков ,  и . Тогда AB||и AD||. Значит, плоскости ABD и  параллельны. Аналогично, плоскость  параллельна плоскости . В плоскостях ABD и  возьмём соответственно точки C и  так, что ABCD и  – параллелограммы. Так как CD||AB , AB|| и ||, то CD||. Поэтому плоскости  и  также параллельны. Шестигранник , образован пересечением трёх пар параллельных плоскостей. Следовательно, это параллелепипед.

Если у прямоугольного параллелепипеда высота равна 10 , отрезки основания равны 4 и 5 .

Найти объем ?

Решение :

Чтобы найти объем параллелепипеда нужно использовать формулу abc,

то из этого следует:V=10*4*5=200

Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите его площадь поверхности.

Решение.Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме попарных произведений его измерений

.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Решение.Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как

.

Диагональ параллелепипеда находится как

.

Выразим :

.

Тогда площадь поверхности

Ответ: 64.

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.Объем параллелепипеда , где – площадь одной из граней, а – длина ребра, составляющего с этой гранью угол . Площадь ромба с острым углом в равна двум площадям равностороннего треугольника. Вычислим объем:

.

Ответ: 1,5.

Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Решение.Высота и сторона такого параллелепипеда равны диаметру сферы, то есть это куб со стороной 2. Площадь поверхности куба со стороной :

Ответ: 24.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Решение.Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как . Выразим : , откуда неизвестное ребро

.

Ответ: 5.

Найдите объем параллелепипеда , если объем треугольной пирамиды равен 3.

Решение.Объем параллелепипеда равен , где – площадь основания, – высота. Объем пирамиды равен , где – площадь основания пирамиды, по построению равная половине площади основания параллелепипеда. Тогда объем параллелепипеда в 6 раз больше объема пирамиды .

Ответ: 18.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30, 30 и 45 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.Ребро параллелепипеда напротив угла в равно , поскольку образует с заданной диагональю и диагональю одной из граней равнобедренный треугольник. Два другие ребра по построению лежат в прямоугольных треугольниках напротив угла в и равны, поэтому половине диагонали. Тогда объем параллелепипеда:

Ответ: 4.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.

Решение.Найдем третье ребро из выражения для объема:

.

Площадь поверхности параллелепипеда

.

Ответ: 22.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.Длина диагонали параллелепипеда равна

.

Длина третьего ребра тогда . Получим, что объем параллелепипеда

.

Ответ: 32.

B11 № 27077. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Решение.Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где – площадь грани, а – высота перпендикулярного к ней ребра. Тогда площадь грани

.

Ответ: 8.

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.Высота параллелепипеда равна высоте вписанного в него цилиндра. Основанием параллелепипеда является квадрат, сторона которого в два раза больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому площадь основания равна 4, а объем параллелепипеда равен

.

Ответ: 4.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Решение.Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как . Выразим :

,

откуда неизвестное ребро

,

Диагональ параллелепипеда находится как

.

Ответ: 3.

Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где – площадь грани, а — высота перпендикулярного к ней ребра. Имеем

.

Ответ: 48.

Список использованной литературы:

1.Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1995. – 383 с.

2. http://www.bestreferat.ru/

3.http://ru.wikipedia.org

4.Яндеск энциклопедия



sitemap
sitemap