лекции по теории вероятностей 2



Лекция 10

Вероятность попадания в интервал. Правило трех сигм. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и центральная предельная теорема.

Теорема:

Вероятность отклонения непрерывной с.в. от её мат.ожидания на величину,сколь угодно малого числа ε>0 находится по формуле

Доказательство:

Правило 3-х сигм.

Пусть ε=3Ϭ.

Подставим значение ε в формулу ,получим

Вывод:

Итак ,с вероятностью сколь угодно близкой к единице можно утверждать ,что модуль отклонения нормально распределенной с.в. от её мат.ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Теорема Ляпунова. Центральная предельная теорема.

Если с.в. Х представляет собой сумму большого числа, взаимно-независимых с.в., т.е. X =,влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то с.в.Х имеет распределение, не ограниченно приближающееся к нормальному распределению.

Начальные и центральные моменты непрерывной случайной величины, асимметрия и эксцесс.

Асимметрия и эксцесс

В прикладных задачах, например в математической статистике, при теоретическом изучении эмпирических распределений, отличающихся от нормального распределения, возникает необходимость количественных оценок этих различий. Для этой цели введены специальные безразмерные характеристики.

Определение . Асимметрией теоретического распределения называется отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

Определение 7. Эксцессом теоретического распределения называется величина, определяемая равенством

где μ4 — центральный момент четвертого порядка.

Для нормального распределения As = Еk = 0. При отклонении от нормального распределения асимметрия положительна, если «длинная» и более пологая часть кривой распределения расположена справа от точки на оси абсцисс, соответствующей моде; если эта часть кривой расположена слева от моды, то асимметрия отрицательна (рис. 18.7, а, б).

Эксцесс характеризует «крутизну» подъема кривой распределения по сравнению с нормальной кривой: если эксцесс положителен, то кривая имеет более высокую и острую вершину; в случае отрицательного эксцесса сравниваемая кривая имеет более низкую и пологую вершину

Следует иметь в виду, что при использовании указанных характеристик сравнения опорными являются предположения об одинаковых величинах математического ожидания и дисперсии для нормального и теоретического распределений.

Пример 5. Пусть дискретная случайная величина Х задана законом следующего распределения:

Найти асимметрию и эксцесс теоретического распределения.

Решение. Найдем сначала математическое ожидание случайной величины:

Затем вычисляем начальные и центральные моменты 2, 3 и 4-го порядков и среднее квадратическое отклонение (см. формулы (18.27)-(18.31)):

Теперь по формулам (18.45) и (18.46) находим искомые величины:

В данном случае «длинная» часть кривой распределения расположена справа от моды, причем сама кривая является несколько более островершинной, чем нормальная кривая с теми же величинами математического ожидания и дисперсии.

.

Неравенство Чебышева

Теорема:

Для произвольной с.в.Х и любого числа Ԑ>0 справедливы неравенства:

1)

2)-вероятность противоположного неравенства.

Задача:

Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000 л в день, а среднее квадратичное отклонение этой случайной величины не превышает 200 л. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000 л, используя:

неравенство Чебышева.

Решение:

Пусть – расход воды на животноводческой ферме (л). По условию М(Х) = 1000. 

Дисперсия D(X) = а2 < 2002. Так как границы интервала 0 < X < 2000 симметричны относительно математического ожидания М(Х) = 1000, то для оценки вероятности искомого события можно применить неравенство Чебышева т.е. не менее, чем 0,96

Для биномиального распределения неравенство Чебышева примет вид:

, т.к.

M(x)=np D(x)=npq

Лекция 11.

Многомерные случайные величины(случайные векторы)

Закон распределения:

До сих пор рассматривались с.в. ,возможные значения которых,определялись одним числом,такие с.в. называются одномерными.

Выпадение определенного числа очков при подбрасывании игральных костей, являются примером одномерной искретной с.в.

На практике встречаются с.в. ,значение которых определяется 2,3 и более числами. Такие с.в. называются многомерными.

Например:

Координаты точки ,брошенной на плоскость ,упорядоченную пару чисел(Х,У) с.в. (Х и У) назовем двумерной с.в. или случайным вектором. Геометрически она представляет собой точку на координатной плоскости. Двумерные с.в. делятся на дискретные и непрерывными. Законом распределения дискретной двумерной с.в. назыается соответствие между возможными значениями( ) этой с.в. и их вероятностями (,где

……….

P(;

P(;)

………

Р(

P()

………..

P=)

……….

…………..

…………….

……………

……………….

P=()

P=(

…………

Р=()

Функция распределения, плотность распределения. Вероятность попадания в заданную область и числовые характеристики случайных векторов.

Функцией распределения двумерной случайной величины F(x;y) называется вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньше x и при этом случайная величина Y примет значение, меньше Y.

F(x;y)=P(Xx;Yy)

Плотностью распределения вероятности двумерной случайной величины называется вторая смешанная производная от функции распределения вероятностей.

F(x;y)=

Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольную область a c находится по формуле:

P=( a c)=

— событие достоверно.

При изучении двумерных случайных величин рассматриваются числовые характеристики их одномерных составляющих. Для непрерывной случайной величины математическое ожидание и дисперсия находятся по формуле:

D(x) =(x)

D(y) =(y)

Лекция 12.

Условные законы распределения. Условные числовые характеристики случайных величин. Регрессия.

Две случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависят от того, какие значения примет вторая величина.

F(xy)=

f(xy)=

Условным знаком распределения одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины называется её закон распределения, составленный при условии , что вторая составляющая приняла определенное значение или попала в определенный интервал.

Вероятности этого распределения называются условными вероятностями.

Для дискретной случайной величины:

если y=, то =

если , то =

Для непрерывной случайной величины вероятности заменяются на плотности вероятностей:

f=, f= т.к f(x,y)=

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X=x называется сумма произведений всех возможных значений этой величины на их условные вероятности.



P

P

Условные математические ожидания являются функциями, которые называются функциями регрессии.

= f(x) =

Графики этих функций называются линиями регрессии.

Ковариация и коэффициент корреляции

Пусть имеется двумерная с.в. (Х и У).Степень зависимости её составляющих Х и У, выражает ковариация и коэффициент корреляции. Ковариацией или корреляционным моментом называется математическое ожидание произведения отклонений с.в. Х и У от их математического ожидания.

Обозначается:

Раскрыв скобки и преобразовав формулу, мы получим:

формула для вычисления ковариации

Коэффициентом корреляции называется отношение ковариации с.в. Х и У к произведению их средних квадратических отклонений.

,коэффициент корреляции

Свойства корреляции.

1)Коэффициент корреляции принимает значение

2)если с.в. Х ,У не коррелированы ,то r=0,

3) если коэффициент корреляции двух с.в.равен по модулю 1,r=,то между этими с.в. существует линейная функциональная зависимость.

Закон больших чисел.

С вероятностью сколь угодно близкой к 1 можно утверждать, что частота наступления события при большом числе опытов,сколь угодно мало отличается от вероятности наступления этого события в отдельном опыте.

,где








sitemap
sitemap