контр.работа по теории вероятности_1 семестр



КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

При изучении курса теории вероятностей и математической статистики студентами заочной формы обучения большая роль отводится самостоятельной работе с учебным материалом. Для проверки приобретения студентами практических навыков им предлагается выполнить внеаудиторную контрольную работу (стр. 14)

Работу над контрольной работой рекомендуется построить следующим образом.

Каждый студент решает свой вариант – его номер в экзаменационной ведомости. В заданиях контрольной работы часто необходимо номер варианта, как переменную N подставить в условие, и решать задачу с рассчитанными по номеру варианта данными; иногда индивидуальные данные для каждого варианта предлагаются в виде таблицы после формулировки текстовой части задания.

Сначала рекомендуется разобрать предложенное решение типовой задачи (стр. 12); убедиться что при самостоятельном решении этой же задачи получается точно такой же ответ, как в подробном решении. При необходимости следует обращаться к теоретической справке и соответствующей теме в учебниках, перечисленных в списке литературы.

Оформлять контрольную работу необходимо в отдельной тетради в клетку. Обязательно указать фамилию и инициалы, номер варианта. Индивидуальные задания можно решать в любой последовательности.

После проверки контрольной работы преподавателем выставляется оценка «зачтено». При наличии ошибок контрольная работа возвращается на доработку студенту.

ЛЕКЦИИ

Определение вероятности события

Классическое определение вероятности события. При классическом определении вероятность события определяется равенством

P(A)=m/n,

где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события A; n – число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны.

Геометрическое определение вероятности. Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезке L наудачу поставлена случайная точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

P = Длина l/Длина L

Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А В) = Р(А) + Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А1+А2+…+Аn) = P(A1+ Р(А2) +…+ Р(Аn).

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событии. Например, для трех совместных событий

Р(A+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(ABC).

Теорема умножения вероятностей

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ) = Р(А)РA(В).

В частности, для независимых событий

P(АВ) = Р(А)∙Р(В),

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H1, H2, …, Hn образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события A:

где .

Формула Байеса

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) H1, H2, …,Hn, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Байеса

где

Формула Бернулли

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1), событие наступит ровно m раз (безразлично, в какой последовательности), равна

где q = 1 – p.

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее m раз; б) более m раз; в) не менее m раз; г) не более m раз, находят соответственно по формулам:

Pn(0) + Pn(1) +…+ Pn(m – 1);

Pn(m + 1) + Pn(m + 2) +…+ Pn(n);

Pn(m) + Pn(m + 1) +…+ Pn(n);

Pn(0) + Pn(1) +…+ Pn(m).

Формула Пуассона

Если вероятность p наступления события A – постоянна и мала, а число испытаний n – велико и число λ = np – незначительно (будем полагать, что λ = np ≤ 10), то имеет место приближенное равенство:

Локальная и интегральная теорема Муавра-Лапласа

Локальная теорема. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р <1), событие наступит ровно m раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

Здесь

, ,

Таблица значений функции Гаусса для положительных значений х приведена в приложении 1; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей с учетом того, что функция четная, следовательно, .

Интегральная теорема. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит не менее m1 раз и не более m2 раз, приближенно равна

P(m1; m2) = Φ(x) – Φ(x)

Здесь – функция Лапласа,

Таблица значений функции Лапласа для положительных значений х (0 ≤ х ≤ 5) приведена в приложении 2; для значений х > 5 полагают Φ(x) = 0,5. Для отрицательных значений х используют эту же таблицу, учитывая, что функция Лапласа нечетная Ф(–x)= –Ф(x).

На практике, приближенные равенства из локальной и интегральной теоремы Муавра-Лапласа используют при выполнении условия: npq > 20.

Решение типовых задач

Теоремы сложения и умножения вероятностей

В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны последовательно достают два шара. Найти вероятность того, что:

а) шары будут одинакового цвета (шары возвращают в урну);

б) шары будут разных цветов (шары не возвращают в урну);

в) хотя бы один шар будет черным (шары не возвращают в урну).

Решение

а) Событие A – шары одинакового цвета.

Рассмотрим события:

A1 = бб – первый шар белый и второй шар белый.

Аналогично:

A2 = чч – первый шар черный и второй шар черный.

Событие A произойдет, если достанут 2 белых или 2 черных шара:

A A1 A2.

вероятность достать второй раз белый шар не изменилась, так как шар вернули в урну. Аналогично:

По теореме сложения вероятностей для несовместных событий A1 и A2:

б) Событие B – шары разных цветов.

Рассмотрим события:

B1 = бч; B2 = чб.

Ясно, что B B1 B2;

– первый шар в урну не вернули, поэтому вероятность вычислена при условии, что первым достали белый шар.

в) Событие C – хотя бы один шар черный.

Противоположное событие:

оба шара белых: .

первый шар не вернули в урну, поэтому вероятность вычислили при условии, что первым достали белый шар.

Ответ: а) ; б) ; в) .

В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны последовательно достают все шары. Найти вероятность того, что:

а) третьим по порядку будет вынут черный шар;

б) из первых трех шаров хотя бы один шар будет черный.

Решение

а) Событие A – третьим по порядку будет черный шар.

Рассмотрим события:

A1 = ббч – первый шар белый, второй шар белый, третий шар черный.

Аналогично:

A2 = бчч; A3 = чбч; A4 = ччч.

Событие A произойдет, если произойдет любое из событий A1, A2, A3, A4:

A A1 A2 A3 A4.

Так как из урны последовательно достают все шары, то шары в урну не возвращают и при вычислении вероятности события A1 = ббч рассчитываем условные вероятности того, что второй шар белый (при условии, что первый шар белый) и что третий шар черный (при условии, что первый шар белый и второй шар белый):

Аналогично:

По теореме сложения вероятностей для несовместных событий:

б) Пусть событие B – из первых трех шаров хотя бы один шар будет черным.

Противоположное событие:

все три шара белые: .

Ответ: а) ; б) .

В урне 5 белых, 10 черных и 5 красных шаров. Три из них вынимают наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут одноцветными. Шары в урну не возвращают.

Решение

Событие A – по крайней мере два шара одноцветные.

Противоположное событие:

все шара разного цвета.

Рассмотрим события:

A1 = бчк – первый шар белый, второй шар черный, третий шар красный.

Аналогично:

A2 = бкч; A3 = чбк; A4 = чкб; A5 = кбч; A6 = кчб.

Событие A произойдет, если произойдет любое из событий A1, A2, A3, A4, A5, A6:

A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6.

Так как шары в урну не возвращают, то при вычислении вероятности события A1 = бчк рассчитываем условные вероятности того, что второй шар черный (при условии, что первый шар белый) и что третий шар красный (при условии, что первый шар белый и второй шар черный):

Аналогично:

По теореме сложения вероятностей для несовместных событий:

Ответ:

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Имеются три одинаковые с виду урны: в первой 5 белых и 10 черных шаров; во второй 9 белых и 6 черных шаров; в третьей только черные шары. Из наугад выбранной урны достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар черный.

Решение

Событие A – достали черный шар. Событие A может произойти с одним из несовместных событий (гипотез):

H1 – шар достали из первой урны;

H2 – шар достали из второй урны;

H3 – шар достали из третьей урны.

Так как урны с виду одинаковы, то:

Найдем условные вероятности события A для каждой гипотезы.

Черный шар достали из первой урны:

Аналогично:

По формуле полной вероятности:

Ответ:

Имеются две урны: в первой 5 белых и 10 черных шаров; во второй урне 9 белых и 6 черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны достают один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет черным.

Решение

Событие A – из второй урны достали черный шар. Событие A может произойти с одним из несовместных событий (гипотез):

H1 – из первой урны во вторую переложили белый шар;

H2 – из первой урны во вторую переложили черный шар.

Вероятности гипотез:

Найдем условные вероятности события A. Если из первой урны во вторую переложили белый шар, то во второй урне стало 10 белых и 6 черных шаров. Значит, вероятность достать из нее черный шар равна:

Аналогично:

По формуле полной вероятности:

Ответ:

Имеются три урны: в первой 5 белых и 10 черных шаров; во второй 9 белых и 6 черных шаров; в третьей урне 15 черных шаров (белых шаров нет). Из наугад выбранной урны достали один шар. Этот шар оказался черным. Найти вероятность того, что шар достали из второй урны.

Решение

Событие A – из наугад выбранной урны достали один шар.

Событие A может произойти с одним из несовместных событий (гипотез):

H1 – шар достали из первой урны;

H2 – шар достали из второй урны;

H3 – шар достали из третьей урны.

Априорные вероятности гипотез равны:

В задаче 4 найдены условные вероятности события A и его полная вероятность:



Найдем по формуле Байеса апостериорную вероятность гипотезы H2.

Черный шар достали из второй урны:

Сравним и :

Таким образом, если известно, что достали черный шар, то вероятность того, что его достали из второй урны уменьшается (это соответствует условию – во второй урне меньше всего черных шаров).

Ответ: .

Формула Бернулли

В семье шесть детей. Вероятность рождения девочки равна 0,49. Найти вероятность того, что среди этих детей одна девочка.

Решение

Событие A – родилась девочка.

P P(A) = 0,49;

q = 1 – p = 1 – 0,49 = 0,51.

Формула Бернулли:

Всего шесть детей, значит n=6.

Надо найти вероятность того, что среди них точно одна девочка, значит m = 1.

Ответ:

Отрезок AB разделен точной C в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошено 6 точек. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. Найти вероятность того, что более одной точки окажется правее точки C.

Решение

Событие A – случайная точка попала на отрезок CB (правее точки C).

Так как C делит AB в отношении 2:1, то:

Значит:



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | ... | Вперед → | Последняя | Весь текст




sitemap
sitemap