исследовательская работа Вероятность выигрыша в числовых лотереях_8335



Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №11»

Вероятность выигрыша в числовых лотереях

Кокорин Артем,

учащийся 10 классаМОУ СОШ №11 г.Чайковский

Батуева Любовь Николаевна ,

учитель математики высшее категории

МОУ СОШ №11 г.Чайковский

г. Чайковский

Введение.

Цели и задачи.

История возникновения лотерей.

Объект исследования.

Лотерея «5 из 36».

Лотерея «5 из 40».

Лотерея «6 из 49».

Аналитическая часть.

Область применения полученных результатов.

Вывод и рекомендации.

Введение.

Лотерея (от итал. lotteria) — организованная игра на удачу, при которой распределение выгод и убытков зависит от случайного извлечения того или иного билета или номера

Актуальность проблемы.

Моя тема актуальна, так как математика соприкасается с обыденной жизнью гораздо теснее, чем этому учат традиционно в школе. У. Уивер пишет: «Теория вероятностей и статистика – две важные области, неразрывно связанные с нашей повседневной деятельностью. Мир промышленности, страховые компании в большей степени являются должниками вероятностных законов. Сама физика имеет существенно вероятностную природу; такова же в основе своей и биология. Между тем, несмотря на эту важность, универсальный характер теории вероятностей и статистики всё ещё не стал общепринятым. Лотереи, азартные игры, выборные компании, страховые компании и т. п. Как предсказать результат?.. Какую позицию выбрать?.. Для ответа на эти вопросы я и решил заняться этим исследованием.

Гипотеза: большинство считают, что предугадать результата чиловой лотереи, в которой властвует случай, невозможно. Это не так. Математическое ожидание выигрыша — величина, которая поможет нам определить, справедлива ли та или иная игра, и выгодно ли нам в неё играть.Объектом моего исследования являются различные азартные игры, на основе которых вводятся основные понятия теории вероятностей.

Предмет исследования: числовые лотереи

«6» из «49»

«5» из «36»

«5» из «40»

«6» из «45»

Начиная исследование, я ставил для себя основную цель – провести вероятностный анализ числовых лотерей ,что используя формулы теории вероятности ,которые помогут нам определить, справедлива ли та или иная лотерея, и выгодно ли нам в неё играть. Из этой цели вытекают 4 главные задачи, к выполнению которых я стремился по ходу исследования:

Изучить правила проведения числовых лотерей и рассмотреть методы их исследования, с помощью формул теории вероятности .

Провести эксперимент

Проанализировать полученные данные

4.Создать мини-пособие, содержащее полезную информацию о числовых лотереях

Для выполнения поставленных задач я пользовался такими методами исследования, как сравнение, индукция, дедукция, аналогия, эксперимент и опрос.

История возникновения.

Многие поклонники спортивно-числовых лотерей, в том числе и «Спортлото» возможно не знают, что ее прототипом была лотерея, с числовой формулой «5 из 90», организованная в 1530 году в итальянском городе Генуе. Дело в том, что в Генуэзской республике выборы в главный орган самоуправления — Великий Совет — проводились по жеребьевке. После многоступенчатого отбора к последнему туру голосования допускались 90 кандидатов, из которых надлежало выбрать всего пять человек. Выборы происходили так: каждому кандидату в члены Совета присваивался порядковый номер с первого, по девяностый. Затем в специальную урну закладывали 90 пронумерованных шаров. После тщательного перемешивания из нее доставали только 5 шаров. Случай делал свой выбор. Номера на вынутых шарах называли членов Великого Совета Генуи!   Такой лотерейный принцип выбора получил в Италии всеобщее признание и, перешагнув государственные границы, стал распространяться по другим странам Европы.    В настоящее время в разных странах имеется несколько разновидностей числовых лотерей. Я не ставил своей целью рассказать здесь о каждой из них.   

Математическое обоснование числовых лотерей

Каждая числовая лотерея с любой числовой формулой имеет свое математическое обоснование. Оно необходимо для того, чтобы знать, сколько классов выигрышей должно быть в лотерее, и какова вероятность выигрыша каждого класса.    Математическое обоснование числовой лотереи рассчитывается с применением теории вероятностей и теории чисел . Интуитивно вероятность некоторого события воспринимается как характеристика возможности его появления. Оказывается, что при многократном повторении опыта частота события принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу.. Рассчитав вероятное число выигрышей каждого класса, можно узнать, какой процент от общей суммы доходов должен пойти на выигрыши каждого класса и какова должна быть сумма каждого выигрыша.     Общее количество комбинаций в числовой лотерее рассчитывается при помощи формулы:

Лотерея 6 из 49

. Чтобы получить большой выигрыш, надо было угадать 6 чисел из 49. Выигрывали карточки и с совпадением 5 и даже 4 номеров. А сколько карточек нужно было бы купить и заполнить, чтобы на них оказались все комбинации по 6 номеров из 49 возможных, т. е. чтобы выиграть наверняка? Количество карточек равно числу сочетаний из 49 элементов по 6, т.е.

= 49! = 44∙45∙46∙47∙48∙49 = 13 983 816

6!∙43! 1∙2∙3∙4∙5∙6

Для реализации подобной идеи нужно было быть миллионером! Да и разбогатеть в этом случае было бы трудно, поскольку выигрыш был не фиксирован, и в каждом тираже на призовой фонд отводилась лишь часть собранной от продажи билетов суммы. Но ведь кто-то же выигрывал! Я провел несколько экспериментов в своем классе. Я попросил зачеркнуть в карточке 6 номеров из 49.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

По результатам экспериментов я составил таблицы и диаграммы .Абсолютная частота показывает, сколько раз в серии экспериментов наблюдалось данное событие. Относительная частота (которую иногда называют просто частотой) показывает, какая доля экспериментов завершилась наступлением данного события.

1 эксперимент

Ни одного выигрыша! Три числа угадали только 2 раза! Но эта лотерея не предусматривает выигрыша, если угадано 3 числа.

Тогда я решил найти вероятность выигрыша, используя классическое определение вероятности. Вероятностью случайного события А называется дробь , то есть где п – число всех возможных исходов эксперимента, m – число исходов, благоприятных для события А.

Обозначила через Р6, Р5, Р4, Р3, Р2, Р1, Р0 вероятность того, что 6 , 5 , 4, 3, 2, 1 или 0 отмеченных игроком чисел оказались выигрышными..Число всех исходов эксперимента равно = 13 983 816, — количество выборов 6 чисел, не совпадающих с данными 6 числами. Согласно теории вероятности, вероятность угадать n (от 0 до 5) номеров из 36 можно выразить формулой: Согласно теории вероятности, вероятность угадать n из m можно выразить формулой:

= 43! = 38∙39∙40∙41∙42∙43 = 6 096 454

6!∙37! 1∙2∙3∙4∙5∙6

Р0 ≈ 0,435965

· — количество выборов 1 числа из 6 данных чисел и 5 чисел не совпадающих с данными 6 числами

· =

Р1 ≈ 0,413019

· — количество выборов 2 чисел из 6 данных чисел и 4 чисел не совпадающих с данными 6 числами

· =

Р2 ≈ 0,132378

· — количество выборов 3 чисел из 6 данных чисел и 3 чисел не совпадающих с данными 6 числами

· =

Р3 ≈ 0,0176504

· — количество выборов 4 чисел из 6 данных чисел и 2 чисел не совпадающих с данными 6 числами

· =

С6 · С43 = 6! · 43! = 5 · 6 · 42 · 43 = 13545

4! · 2! · 2! · 41! 2 · 2

Р4 ≈ 0,000969

5 1

· — количество выборов 5 чисел из 6 данных чисел и 1 числа не совпадающего с данными 6 числами

5 1

С6 · С43 = 6! · 43! = 6 · 43 = 258

5! · 42!

Р5 ≈ 0, 000184

Отсюда следует, что вероятность проигрыша равна

Р3 + Р2 + Р1 + Р0 ≈ 0,999012

Вероятность самого крупного выигрыша равна Р6 ≈ 0,0000000715 = 0, 7115 · 10 -7

Вероятность самого маленького выигрыша Р4 =0,000969

Номер эксперимента

Относительная частота исхода 0

1

0,54

2

0,75

3

0,7

4

0,47

5

0,72

6

0,54

Среднее значение относительной частоты того, что игрок не угадает ни одного числа 0,514757143

А по вычислениям вероятность того, что игрок не угадает ни одного числа 0, 413019.

Разница не очень большая 0, 101738 и может быть связана и с количеством экспериментов и с количеством участников в каждом эксперименте.

Номер эксперимента

Относительная частота исхода 1

1

0,31

2

0,14

3

0,35

4

0,52

5

0,18

6

0,4

Среднее значение относительной частоты того, что игрок угадает 1число равно 0,366342857.А по вычислениям вероятность того, что игрок угадает 1 число равно 0,413019.Разница между вычислениями и данными полученными, с помощью эксперимента равна 0,0466761.

Номер эксперимента

Относительная частота исхода 2

1

0,13

2

0,1

3

0

4

0

5

0,045

6

0,045

7

Среднее значение относительной частоты того, что игрок угадает 2 числа равно 0,114021. А по вычислениям вероятность равна 0,132378.Разница между вычислениями и данными полученными, с помощью эксперимента равна 0,018357.

Номер эксперимента

Относительная частота исхода 3

1

0

2

0

3

0,045

4

0

5

0,045

6

0

Среднее значение относительной частоты того, что игрок угадает 3 числа равно 0,01. А по вычислениям вероятность равна 0,0176504. азница между вычислениями и данными полученными, с помощью эксперимента равна 0,007654. Получается, что данные экспериментов не на много отличаются от данных, полученных с помощью вычислений.    Вероятное число выигрышей каждого класса определяется с учетом коэффициента вероятности каждого выигрыша следующим образом:    Выигрыши 1 класса (за 6 угаданных номеров):

(6)(6)

х

(43)( 0 )

=

6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 11 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6

= 1 выигрыш

    Выигрыши 2 класса (за 5 угаданных номеров):

(6)(5)

х

(43)( 1 )

=



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | ... | Вперед → | Последняя | Весь текст




sitemap sitemap