исследовательская работа Проценты в школьном курсе математики



ТЕМА:

«ПРОЦЕНТЫ в школьном курсе математики»

ВЫПОЛНИЛА: Мукунёва Галия

ученица 11 класса МБОУ СОШ с Нижняя Елюзань

Городищенского района

РУКОВОДИТЕЛЬ: Керженова Равиля Диганшиновна, учитель математики МБОУ СОШ с Нижняя Елюзань

2012 г

Содержание

Введение …………………………………………………………………………….2

1.Литературный обзор……………………………………………3

2.История возникновения процента…………………………….4

3.Старинные задачи на проценты……………………………….6

4.Основные понятия, связанные с процентами…………………7

5. Задачи на проценты в вариантах ГИА……………………….11

6. Задачи на проценты в вариантах ЕГЭ……………………….14

7. Задачи для самостоятельного решения ………………….….22

Заключение ………………………………………………………22

Список использованной литературы ………………………… 23

Приложение 1. . Задачи с историческими сюжетами…………24.

Приложение 2. Задачи с литературными сюжетами………… 25

Проценты в школьном курсе математики.

Объектом исследования является обучение процентов в V – XI классов.

Предмет исследования – обучение решению задач на проценты в курсе математике в V – XI классов.

В данной работе выдвинута следующая гипотеза: Обучение решению задач на проценты будет более эффективным, если:

-формирование понятия процента начать в V – VI классе.

-рассматривать различные типы задач на проценты в течение всего курса алгебры VII – XI класса.

-использовать символическую наглядность, как при формировании понятия процента, так и при изучении основных типов задач.

Задачи данной работы:

Цель работы:

изучить различные типы задач по теме «Проценты»

Задачи данной работы:

Выявить особенности учебного комплекта по математике под ред. Н.Я.Виленкина.

Провести анализ содержания данного комплекта с точки зрения изложения темы «Проценты».

4) Познакомиться с задачами на проценты в вариантах ГИА и ЕГЭ

Для достижения поставленных целей, проверки гипотезы и решения сформулированных выше задач были использованы следующие методы исследования:

Изучение исторического и теоретического материала по теме «Проценты»

Анализ школьных учебников.

Задачи с литературными сюжетами.

ВВЕДЕНИЕ

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как практическое приложение процентных расчетов постоянно расширяется.

Везде: в газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе, обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, снижение покупательной способности населения. Добавим сюда объявления коммерческих банков привлекающих деньги населения на различных условиях, сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов, об изменении банковского процента.

Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Актуальность исследования очевидна.

В настоящее время уделяется большое внимание школьному образованию как первой ступени образовательного процесса. Одна из важнейших его задач – обеспечить учащимся глубокие и прочные знания, а также умение рационально применять их в учебной и практической деятельности.

Тема «Проценты» традиционно изучается в 5-6 классах, затем текстовые задачи на проценты встречаются в 7-11 классах, но в силу возрастных особенностей школьников не может быть полностью освоена. Практика показывает, что очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни.

Далее этому вопросу не уделяется значительного внимания. Задачи на проценты становятся прерогативой химии, которая внедряет свой взгляд на проценты, а в математике их место только в рамках задач на повторение и задач повышенной трудности. Таким образом, учениками забываются проблемы универсальности процентов и разнообразия сфер их применения. В связи с этим является актуальным вопрос о том, чтобы задачи на проценты заняли достойное место в VII – XI классах. В этот период школьники изучают различные виды уравнений и их систем, закрепление которых ведется на текстовых задачах, а присутствие процентов в содержании текстовых задач дает возможность связать абстрактные математические понятия с реальной жизнью.

Такая тенденция прослеживается в учебном комплекте по математике под ред. Г.В. Дорофеева. В VI классе авторы комплекта уделяют внимание формированию понятия процента, а в VII – IX классах рассматривают основные задачи на проценты и различные способы их решения. Причем следует отметить большое разнообразие задач. Но в школах преподавание по этому учебнику не распространено.

1.Литературный обзор

Процентом называется сотая доля числа. В Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. Введение процента оказалось удобным для оценки содержания одного вещества в другом.

Савин А.П. «Энциклопедия юного математика» Москва. Издательство «Педагогика» 1985г. стр. 263

Процентное число — просуммированный остаток средств на лицевом счете за определенное время, на котором по установленной процентной ставке, банки начисляют процент.

Райзберг Б.А. «Современный экономический словарь» Москва. Издательство «Инфрам-М» 1999г. стр.269

Процентная ставка – размер процента за ссуду денег. Представляет собой отношение величины дохода от ссуды к сумме ссуды.

А.М. Прохоров «Большая советская энциклопедия» Москва. Издательство «Советская энциклопедия » 1975г. стр.161

Процент за кредит – плата за использование денежными средствами слаживаемыми банком заемщику.

Игорь Липсиц. Москва. Издательство «Дело» 1993г. стр. 376

Процент банковский – процентная ставка по кредитам выданным банком.

Пассивный процент – процентная ставка для принятых банком вкладов.

Со временем люди научились извлекать из вещества компоненты, составляющие тысячные доли от веса самого вещества. Тогда, чтобы не вводить нули и запятую, т.е. не писать 0,6%, придумали новую величину – промилле – тысячную долю, которую обозначили ‰, а вместо 0,6% стали писать 6 ‰

Мария Аксенова «Энциклопедия для детей. Математика. Том II» Москва. Издательство «Аванта+» стр. 140

2. История возникновения процента

Слово «процент» имеет латинское происхождение: «pro centum» , что означает в переводе «сотая доля».

Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, но вавилонские ростовщики считали не «со ста», а с «шестидесяти». Индийцам же проценты были известны еще в V веке и это, очевидно, так как именно в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. Индийские математики вычисляли проценты, принимая так называемое «Тройное правило», то есть пользуясь пропорцией. Но особенно проценты были распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Римляне брали с должника лихву(то есть деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы» Но римский сенат установил максимально доступный процент, взимавшийся с должника. Деятельность ростовщиков сделала банковский процент одним из самых важных явлений в современном мире и самым спорным – в прошлом. Взимание процента попало в поле зрения философов

Древней Греции, и их осуждение оказало достаточно сильное влияние на отношение к банковским процентам в средневековье, как в Европе, так и в Исламском мире. Рассуждение мыслителей того времени имело интересную логику. У денег нет внутренней ценности, так как их не было в момент творения мира Богом. Но поскольку у денег нет внутренней ценности, то их владелец ничего не теряет, отдавая их в ссуду. Соответственно, он не может претендовать и на доход от вложенных денежных средств. Таким образом, само понятие- процентная ставка считалась недопустимым.

От римлян проценты перешли к другим народам Европы. В Европе в средние века расширилась торговля, следовательно особое внимание обращалось на умение вычислять проценты. Тогда приходилось рассчитывать не только

проценты, но и проценты с процентов (сложные проценты.)

Часто конторы и предприятия для облегчения расчетов разрабатывали особые таблицы вычисления процентов. Эти таблицы держались в тайне, составляли коммерческий секрет фирмы. Впервые таблицы были

опубликованы в 1584 году Симоном Стевином. Фламандский ученый военный инженер — Симон Стевин не был по профессии математиком, но его трудолюбие и талант позволили ему занять достойное место среди выдающихся европейских математиков. Он впервые в Европе открыл десятичные дроби. Симон Стевин опубликовал таблицу для вычисления сложных процентов, которая использовалась в торгово-финансовых операциях.

В практической жизни полезно знать связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями: половина 50%, четверть – 25%, три четверти – 75%, пятая часть – 20%, три пятых — 60% и т.д.

История процентной ставки .

Начисления процента на депозит, процентная ставка или банковский процент – это одно из самых старых и любопытных изобретений человечества. Можно предположить, что начислять процент (процентную ставку) начали ещё в далекой древности, одновременно с появлением денег. Максимального успеха добились итальянские менялы 14 века, называвшимися банкирами. ( от слова BANCO- стол) . Банковское дело первоначально не пользовалось большим уважением . Банкиры пытались стать уважаемыми за счет увеличения своего богатства, аристократических титулов и высоких церковных постов , но общественное признание они получили только после массовых операций по оказанию услуг низшим слоям населения . Люди, которые , традиционно зависели от денег ( солдаты, художники, юристы, врачи), теперь были больше нацелены на получение зарплаты, а не на возмещение их услуг товарами. Так начиналась история процентной ставки. Перераспределение богатства, особенно в 17 веке, дало толчок к подъему среднего класса торговцев. Они, в свою очередь, проводили новые профессии, связанные с деньгами. С расширением банковского дела появились брокеры, специализировались на продаже и покупке всего- от земельных имений до акций. Банки стали нуждаться во всем большем количестве денег, и к этому периоду начала оформляться система процентных ставок, при которой любой желающий мог стать ростовщиком и жить на проценты.

3.Старинные задачи на проценты.

-Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу, слушают твои беседы?

-Вот сколько, — ответил Пифагор, — 50% изучает математику, 25% — природу, седьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть еще 3 женщины.

Решение:

Пусть х чел. посещают лекции; 50% от х чел.( ½х) изучают математику; 25% от х чел. (1/4х) изучают природу; 1/7х чел. размышляют.

½х + 1/4х +1/7х +3= х

14х +7х+4х+84=28х

Х=28

Ответ: 28 человек.

Один купец прошел через 3 города, и взыскали с него в первом городе пошлины 50% и треть имущества, и во втором городе 50% и треть с того, что у него осталось , в третьем городе снова взыскали 50% и треть с того, что у него было . Когда он прибыл домой, у него осталось 11 дехканов. Итак, сколько всего дехканов было в начале у купца?

Решение:

Пусть х дехканов у купца в начале. В первом городе взяли с него пошлин

50% от х +1/3х=1/2х +1/3х=5/6х. После первого города осталось х-5/6х=1/6х. Во втором городе

50% от 1/6 х+1/18х=х/12+х/18=5х/36. После второго города осталось х/6-5х/36 =х/36 денег.

В третьем городе взяли пошлину 50% от х/36+х/108 = х/72+х/108=5х/216 денег. После третьего города осталось х/36 – 5х/216=х216 дехканов. Тогда х/216 =11; х=2376 денег.

Ответ: 2376 дехканов.

Некто купил лошадь и, спустя некоторое время, продал ее за 24 пистоля. При этом он потерял столько %, сколько стоила сама лошадь. Спрашивается: за какую сумму он ее купил?

Решение:

За x пистолей – 100%

24 пистоля – (100-х)%

Х: 24=100: (100-х)

2400 = 100х — х2

Х2 – 100х + 2400 = 0

D1= 2500 – 2400 = 100

Х1=50+10=60

Х2=50-10=40

Ответ: 60 и 40 пистолей.

Долгое время под процентами понималось исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась. Проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

В школьном учебнике «Математика, 5» авторов Н.Я. Виленкина и др., по которому я училась, дана еще одна любопытная версия возникновения знака

%. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

По учебникам Н.Я. Виленкина и др 5, 6 классы тема «Проценты» изучается в V классе. Перед введением понятия «процент» автор предлагает рассмотреть примеры:

«Сотую часть центнера называют килограммом, сотую часть метра – сантиметром, сотую часть гектара – акром. Принято называть сотую часть любой величины процентом».

4.Основные понятия, связанные с процентами:

Рассматриваются три основные задачи на проценты:

Нахождение процента от числа

Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.

Чтобы найти а % от в, надо в• 0,01а.

Пример 1 Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% составляют костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?

Решение:

1200 составляет 100%

1) 1200:100 =1,2 кост составляет 1%.

2)12*32=384 кост нового фасона

Ответ: 384 кост нового фасона

Предприятие изготовило за квартал 500 насосов , из которых 60 % имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?

Решение:

Найдем 60 % от 500 (общего количество насосов).500 x 60 % = 500 x 0,6 = 300 насосов высшей категории качества.

Ответ: 300 насосов высшей категории качества.

Задача вида 2.

Нахождение числа по его проценту

Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть разделить на то, сколько процентов она составляет от числа.

Если известно, что а % числа х равно в, то х = в : 0,01а.

Так как задачи процент по числу и число по его проценту очень похожи и часто непонятно какой это тип, старайтесь внимательно читать текст. Если вам встречаются слова «который», «что составляет» и «который составляет», скорее всего перед вами задача число по его проценту.

Пример 2: за контрольную работу по математике отметку»5» получили 12 учеников, что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе?

Решение:

Неизвестное число – 100%.

1) 12:30=0,4 учеников составляет 1%.

2) 0,4*100=40 учеников в классе.

Ответ: 40 учеников в классе.

Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение:

Итак, нам неизвестно сколько всего страниц в книге . Но мы знаем, что часть, которую прочитал ученик ( 138 страниц) составляет 23 % от общего количества страниц в книге. Так как 138 стр. — это всего лишь часть , само количество страниц, естественно, будет больше 138. Это поможет нам при проверки.

Задача вида 3.

Сколько процентов число составляет от другого числа

Чтобы найти, сколько процентов число составляет от другого числа, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и умножить на 100 %.

Пример 3: из 1800 га поля 558 га засажено картофелем. Какой процент поля засажен картофелем?

Решение:

1800 га составляют 100%.

1) 1800:100=18 га составляет 1%.



2) 558:18=31; 558 га составляют 31%.

Ответ: ; 558 га картофеля составляют 31%.

из 200 арбузов 16 оказались незрелыми. Сколько процентов всех арбузов составили незрелый арбузы?

Решение:

О чем спрашивают? Об незрелых арбузах. Значит, 16 делим на общее количество арбузов и умножаем на 100 %.

Ответ: 8 % — составляют незрелые арбузы от всех арбузов.

Однако эти виды задач не выделяются, так как в качестве основного способа решения задач на проценты принят способ приведения к единице. Он обладает определенными преимуществами:

а) проще для выполнения вычислений;

б) приучает учащихся к выделению числа, принимаемого за 100%;

в) требует проведения в процессе решения конкретной задачи соответствующих рассуждений, которые не включают запоминания правил решения того или иного вида задач на проценты.

Учебник предполагает решать некоторые задачи на проценты с помощью уравнений. Эта рекомендация относится по существу к двум видам задач: нахождение числа по данному числу его процентов и нахождение процентного отношения двух чисел. Учащиеся сталкиваются с определенными трудностями в процессе решения задач на проценты, что связано в основном с недостаточной осознанностью учащимися способа приведения к единице. Поэтому отработка сущности этого способа в два действия имеет решающее значение в обучении решению задач на проценты, особенно на начальном этапе усвоения знаний. Задачи, рассмотренные в примерах 2 и 3, могут быть решены с помощью уравнений. В V классе решение задач с помощью уравнений вызывают у учащихся значительные трудности.

Эта тема является одной из последних в курсе V класса. Далее авторы специально к теме не возвращается. Это не очень удачно, так как тема объективно трудная.

5. Задачи на проценты в вариантах ГИА по математике

Задачи на проценты в вариантах государственной итоговой аттестации по математике за курс 9 класса представлены как в первой части (с выбором ответа), так и во второй части (представить полное решение задачи).

Задача 1:

В первой смене летнего лагеря отдыхали 550 школьников. Во второй смене число мальчиков сократилось на 4%, а число девочек увеличилось на 4%. Всего же во второй смене отдыхало 552 школьника. Сколько мальчиков отдыхало в первой смене?

Решение:

Пусть было х мальчиков, тогда стало (х-0,04х) чел. Девочек было (550-х) чел., а стало (550-х)+0,04(550-х)=(572-1,04) чел.

х-0,04х+572-1,04х=552

Ответ: 250 мальчиков.

Задача 2:

Колхоз обычно засевал пшеницей и ячменем 125 га угодий. После увеличения площади посевов пшеницы на 10% и уменьшения площади посева ячменя на 8% занимаемая ими площадь стала равной 124 га. Какова была первоначальная площадь пшеничного поля?

Решение:

Пусть было засеяно х га пшеницы, тогда 1,1 га стало. Ячменя было (125-х) га, а стало (125-х)-0,08(125-х)=(115-0,92х) га.

1,1х+115-0,92х=124

х=50.

Ответ: Первоначальная площадь пшеничного поля 50 га.

Задача 3:



На складе хранилось 500 м3 досок и бруса. После продажи 10% досок и 15% бруса осталось 445 м3 пиломатериалов. Сколько кубических метров досок продали?

Ответ 40 м3.

Задача 4:

Две фракции областной думы объединяли 60 депутатов. При раздельном голосовании по законопроекту проголосовали «против» 15% членов первой фракции и 10% — второй, а поддержали законопроект 52 депутата этих фракций. Сколько депутатов входит в первую фракцию?

Решение:

Пусть х депутатов в I фракции, тогда во II фракции (60-х) депутатов. Проголосовали «против» 0,15х депутатов из первой фракции и 0,1(60-х) депутатов из второй фракции. Поддержали законопроект 0,85х депутатов из первой фракции и (54-0,9х) депутатов из второй фракции.

0,85х+54-0,9х=52

х=40.

Ответ: 40 депутатов.

Задача 5:



В двух школах поселка училось 640 мальчиков. Через год число мальчиков в первой школе увеличилось на 5%, а во второй уменьшилось на 10%, а общее количество мальчиков стало равным 612. сколько мальчиков училось в первой школе первоначально?

Задача 6:

В контейнере хранилось в общей сложности 500 кг гвоздей и шурупов. После продажи 10% гвоздей и 5% шурупов их масса уменьшилась до 460 кг. Сколько килограммов гвоздей продали?

Решение:

Пусть было х кг гвоздей, тогда стало 0,9х кг. Было (500-х) кг шурупов, а стало (475-0,95х) кг.

0,9х+475-0,95х=460

х=300.

300 кг гвоздей было.

0,1·300=30 кг гвоздей продали.

Ответ: Продали 30 кг гвоздей.

Задача 7. Некоторый товар поступил в продажу по цене 600р. В соответствии с принятыми в магазине правилами цена товара в течение недели остаётся неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 10% от текущей цены. По какой цене будет продаваться товар в течение третьей недели?

1) 420 р. 2) 486р. 3) 480 р. 4) 120 р.

Задача 8. Туристическая фирма организует трехдневные автобусные

экскурсии. Стоимость экскурсии для одного человека составляет 3500р.

Группам от 3 до 10 человек предоставляется скидка в 5%, более 10 человек – 10%. Сколько заплатит за экскурсию группа из 12 человек?



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap
sitemap