дифур



I. Дифференциальные уравнения первого порядка.Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида: F(t,x,x’)=0 — алгебраическое выражение, содержащее функцию, её аргумент и первую производную функции. Также уравнение первого порядка может не содержать производной, в таком случае оно обязательно будет содержать дифференциал. Все слагаемые в выражении должны быть дифференциалами в таком случае:dx+d(x+t)=0 — дифференциальное уравнение, а dx+x+t=0 дифференциальным уравнением не является.Решением дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой в исходное уравнение получается тождество. В общем случае, если решение существует, то существует целое множество решений дифференциального уравнения, образующее класс решений уравнения.Среди дифференциальных уравнений первого порядка отдельно выделяют уравнения:

С разделёнными и разделяющимися переменными.

Однородные уравнения.

Линейные уравнения и уравнения Бернулли.

Уравнения в полных дифференциалах.

В некоторых случаях в уравнении первого порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек» – важно чтобы в ДУ была первая производная Дифуры с разделяющимися переменными схема решения, и не было производных высших порядков – Дифуры с разделяющимися переменными схема решения, Преобразование Диффуров к новым переменным и т.д.

Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций Дифуры с разделяющимися переменными схема решения, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение Дифуры с разделяющимися переменными схема решения

Полный боекомплект. С чего начать решение любого дифференциального уравнения первого порядка?

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение производной: Преобразование Диффуров к новым переменным. Такое обозначение производной многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным, но в диффурах рулит именно оно!

Итак, на первом этапе переписываем производную в нужном нам виде:Дифуры с разделяющимися переменными схема решения

На втором этапе всегда смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы Дифуры с разделяющимися переменными схема решения и Преобразование Диффуров к новым переменным – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:Дифуры с разделяющимися переменными схема решения

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:Дифуры с разделяющимися переменными схема решения

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:Преобразование Диффуров к новым переменнымКак мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу Дифуры с разделяющимися переменными схема решения достаточно записать один раз. Почти всегда её приписывают в правой части.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решенным. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде.  Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, Дифуры с разделяющимися переменными схема решения – это общий интеграл.

Теперь нужно попробовать найти общее решение, то есть попытаться представить функцию в явном виде.



Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях. Когда в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу почти всегда целесообразно записать тоже под логарифмом.

То есть, вместо записи Преобразование Диффуров к новым переменным обычно пишут Дифуры с разделяющимися переменными схема решения.

Здесь Дифуры с разделяющимися переменными схема решения – это такая же полноценная константа, как и Преобразование Диффуров к новым переменным. Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем школьное свойство логарифмов: Дифуры с разделяющимися переменными схема решения. В данном случае:Дифуры с разделяющимися переменными схема решения

Теперь логарифмы и модули можно с чистой совестью убрать с обеих частей:Преобразование Диффуров к новым переменным

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Множество функций Дифуры с разделяющимися переменными схема решения является общим решением дифференциального уравнения Дифуры с разделяющимися переменными схема решения.

Придавая константе Преобразование Диффуров к новым переменным различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Любая из функций Дифуры с разделяющимися переменными схема решения, Дифуры с разделяющимися переменными схема решения, Преобразование Диффуров к новым переменным и т.д. будет удовлетворять дифференциальному уравнению Дифуры с разделяющимися переменными схема решения.

Иногда общее решение называют семейством функций. В данном примере общее решение  Дифуры с разделяющимися переменными схема решения – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.

Многие дифференциальные уравнения довольно легко проверить. Делается это очень просто, берём найденное решение Преобразование Диффуров к новым переменным и находим производную:Дифуры с разделяющимися переменными схема решения

Подставляем наше решениеДифуры с разделяющимися переменными схема решения и найденную производную Преобразование Диффуров к новым переменным в исходное уравнение Дифуры с разделяющимися переменными схема решения:Дифуры с разделяющимися переменными схема решенияПреобразование Диффуров к новым переменным – получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Иными словами, общее решение Дифуры с разделяющимися переменными схема решения удовлетворяет уравнению Дифуры с разделяющимися переменными схема решения.








sitemap
sitemap