теория вероятностии



1.Основные понятия и формулы комбинаторики.

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Pn = n!,

где n! = 1 * 2 * 3 … n.

Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

Amn = n (n — 1)(n — 2) … (n — m + 1).

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

С mn = n! / (m! (n — m)!).

Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

Amn = Pmmn.

З а м е ч а н и е. Выше предполагалось, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам. Например, если среди n элементов есть n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями

Pn (n1, n2, …) = n! / (n1! n2! … ),

где n1 + n2 + … = n.

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

П р а в и л о   с у м м ы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

П р а в и л о   п р о и з в е д е н и я. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

2.Случайные события и действия над ними. Виды событий

Под испытанием будем понимать реализацию комплекса условий. Эту реализацию называют также опытом. Классическим примером испытания в теории вероятностей является извлечение шара из урны, содержащей большое число шаров.

Явление, возникшее в результате испытания, называется исходом испытания, или событием. События обозначаются буквами .

События бывают трех типов:

Одни из них неизбежно возникают при каждом испытании данного вида. Это достоверные события .

Другие, наоборот, никогда не появляются. Это невозможные события .

События третьего типа характеризуются тем, что они в данном испытании могут произойти, а могут и не произойти. В каких случаях они произойдут, а в каких нет – заранее сказать нельзя. Такие события называются случайными.

События бывают простые и сложные. Простое событие не разлагается на другие.

Сложные события представляют собой комбинации простых событий. Если наступление события обязательно влечет за собой наступление события , то событие является сложным.

События бывают совместными и несовместными. Два или более событий называются совместными, если они могут одновременно наступить при осуществлении одного испытания. Иными словами, это события, которые содержат одни и те же простые события. Например, событие состоит из событий ; событие – из , то события и будут совместными, поскольку в каждое из них входит событие .

Несовместными называют такие события, которые не могут наступить одновременно при одном опыте, т.е. они не содержат ни одного общего события. Если событие состоит из событий ; а событие – из таких, что ни одно из событий в не совпадает с событиями из , то события и – несовместные.

Назовем суммой событий и такое событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из этих событий ( или ). Определение суммы распространяется на любое число слагаемых.

Событие, состоящее в наступлении обоих событий и будем называть произведением событий и и обозначать или .

Событие, которое наступает тогда и только тогда, когда событие не наступает называется противоположным событию и обозначается . Из определения следует, что два события противоположны тогда и только тогда, когда они несовместимы: сумма их образует вcе выборочное пространство, т. е.

.

Разностью двух событий (или ) называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает и не наступает

Графическая интерпретация соотношений между событиями может

быть сделана с помощью диаграммы Эйлера – Венна:

Полной группой событий называется совокупность событий такая, что в результате опыта наступит одно и только одно из этих событий.

3. Аксиоматическое определение вероятности

Пусть — пространство элементарных исходов некоторого испытания, а — -алгебра событий, определенная на этом пространстве. Каждому событию множества ставится в соответствие величина , называемая вероятностью события и удовлетворяющая следующим условиям:

А1. .

А2. Вероятность достоверного события .

А3. Если в последовательности событий события попарно несовместны (т.е. ), то .

Таким образом, вероятность есть функция , удовлетворяющая условиям А1-А3, или, как говорят, нормированная (вероятностная) мера, заданная на множестве . Аксиомы А1-А3 называются аксиомами теории вероятностей.

Заметим, что аксиома А3 эквивалентна двум следующим аксиомам (без доказательства):

А4. Если и несовместны, то .

А5. Если и , или и , то .

Определение 3. Тройка , где — пространство элементарных исходов, — -алгебра его подмножеств, а вероятностная мера на называется вероятностным пространством.4.Теорема сложения и умножения вероятностей. Независимые события. Условная вероятность

Теорема 1. (Сложения вероятностей)

Вероятность суммы двух совместных событий и равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления

.

Вероятность суммы несовместных событий рвана сумме их вероятностей, т.е.

.

.

События и называются независимыми, если вероятность не зависит от того, произошло событие или нет.

Событие называется зависимым от события , если вероятность события зависит от того, произошло или не произошло событие .

Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место, называется условной вероятностью .

Теорема 2. (Умножения вероятностей)

Вероятность произведения двух зависимых событий и равна произведению вероятности одного их этих событий на условную вероятность другого, при условии, что первое наступило:

.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Определение 1. Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место событие , называется условной вероятностью события относительно события и обозначается .

Легко заметить, используя классическое или геометрическое определение вероятности, что (см. рис14), однако для произвольного пространства , доказать это невозможно, поэтому в аксиоматической теории понятие условной вероятности дается как определение.

Определение 2. Условной вероятностью события относительно события называется величина, равная

,

(при условии .5.Формула полной вероятности

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .

По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как  — априорными вероятностями.

6.Понятие дискретной случайной величины. Закон распределения дискретной одномерной случайной величины. Функция распределения F(X), ее свойства.

Величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, заранее неизвестно какое именно, считается случайной.  Дискретной случайной величиной называется такая переменная величина, которая может принимать конечную или бесконечную совокупность значений, причем принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определенной вероятностью.  Сотношение, устанавливающее связь мужду отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины.Если обозначить возможные числовые значения случайной величины Х через х1, х2, …, хn,…, а через рi = Р(Х = хi) вероятность появления значения хi, то дискретная случайная величинаполностью определяется таблицей:

xi

х1

x2

xn

pi

p1

p2

pn

Таблица называется законом распределения дискретной случайной величины Х.

  Дискретная случайная величина может быть задана функцией распределения.  Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), выражающая вероятность того, что Х примет значение, меньшее чем х:F(x) = P(X < x) =  pi, где суммирование по хi < x

  Вероятность попадания случайной величины Х в промежуток от  до  выражается формулой 

Р( <= X < ) =F( ) - F()

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.

Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина  с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины называется функция , задаваемая формулой:

.

То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины  называют функцию , значение которой в точке  равно вероятности события , то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых .

 непрерывна справа:[1]

 не убывает на всей числовой прямой.

.

.

Распределение случайной величины  однозначно определяет функцию распределения.

Верно и обратное: если функция  удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что  является её функцией распределения.

По определению непрерывности справа, функция  имеет правый предел  в любой точке , и он совпадает со значением функции  в этой точке.

В силу неубывания, функция  также имеет и левый предел  в любой точке , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция  либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

7.Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто построение закона или ряда распределения представляет весьма трудоемкую задачу, либо закон распределения неизвестен вовсе. На практике иногда бывает достаточно описать случайную величину «суммарно», указав ее отдельные числовые параметры, до некоторойстепени характеризующие существенные черты распределения случайной величины. К таким параметрам можно отнести среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины; число, характеризующее степень разбросанности значений случайной величины относительно среднего и др. Назначение таких характеристик – выразить компактно, в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения. Все эти характеристики называются числовыми характеристиками случайной величины.

Так, для полной характеристики успеваемости учащегося и прогнозирования получения им оценки в будущем можно построить ряд распределения его оценок. Однако достаточно часто успеваемость характеризуется лишь одной, средней оценкой.

Числовые характеристики играют большую роль в теории вероятностей, поскольку, оперируя ими, можно значительно упростить ряд практических вероятностных задач и получить важные результаты. Например, в тех случаях, когда на численный результат эксперимента оказывают влияние отдельные случайные величины и их достаточно много, то закон распределения результирующей случайной величины, оказывается, не будет зависеть от законов распределения составляющих величин. В этих случаях для анализа результирующей величины необходимо лишь знать некоторые числовые характеристики отдельных случайных величин.

Рассмотрим наиболее важные числовые характеристики случайной величины.

6.2.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую значения , …,  с вероятностями , …,.

Сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений называетсяматематическим ожиданием случайной величины и обозначается М[X].

M[X] = ×+×+…+×=                         (6.3)

         Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Равенство будет тем точнее, чем больше число испытаний.



         Математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений. Поэтому можно сказать, что математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси, т.е. указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Такое среднее значение является «представителем» случайной величины и может замещать ее при грубых оценочных расчетах.

         Свойства математического ожидания случайной величины:

1.                Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине:

М[C]=C.

2.                Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М[C×Х]=C×M[X].

3.                Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

М[Х+Y]=M[X]+M[Y].

4.                Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

М[Х×Y]=M[X]×M[Y].

(Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения принимает другая величина.)

         Итак, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

          Математическое ожидание M[X] числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p появления события одинакова,  равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

M[X]=np.

         Действительно, в примере 6.4 n=3, а p=0,6 и M[X]= n×p=3×0,6=1,8.

6.2.2. Дисперсия дискретной случайной величины

         Можно привести пример двух дискретных случайных величин Х и Y, которые имеют различные возможные значения и при этом одинаковые математические ожидания. Рассмотрим следующие ряды распределения Х и Y: 

X

-100

100

 

Y

-1

1

p

0,5

0,5

 

p

0,5

0,5

Математические ожидания величин Х и Y равны друг другу:

M[X] = -100×0,5+100×0,5 = -50+50 = 0

M[Y] = -1×0,5+1×0,5 = -0,5+0,5 = 0

         Возможные значения величин Х и Y значительно отличаются. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, нельзя судить ни о ее возможных значениях, ни о рассеянии значений около математического ожидания.

         Зададимся вопросом, как можно задать величину разброса возможных значений величины. На практике эта величина чрезвычайно важна. Например, ее необходимо знать, оценивая кучность поражения мишени при стрельбе из пистолета. На первый взгляд, кажется, что необходимо проанализировать отклонение случайной величины от M[X].

         Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: Х – М[Х].

         Однако оказывается, что математическое ожидание отклонения случайной величины равно 0:

М[Х – М[Х]]=0.

         Действительно, М[Х – М[Х]]= М[Х] – M[М[Х]]= М[Х] – M[Х]=0.

         Это объясняется тем, что одни отклонения положительны, а другие – отрицательны. И в результате их взаимного сложения значение отклонение будет равно 0. Поэтому отклонение случайной величины нельзя использовать для оценки ее рассеяния. Для этого чаще всего вычисляют среднее значение квадрата отклонения, называемое дисперсией.

         Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D[Х] = М[(Х – М[Х])2].                                       (6.4)

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую значения , …,  с вероятностями , …,. Используя в выражении (6.4) определение математического ожидания (6.3), получим следующую формулу для вычисления дисперсии:

D[Х] = =

×+×+…+×.              (6.5)

         Для вычисления дисперсии также можно пользоваться следующей формулой:

D[Х] = М[Х2] – (М[Х])2.                                       (6.6)

Докажем формулу (6.6). Раскрыв квадрат разности, получим:

 D[Х] = М[(Х – М[Х])2] = М[Х2 – 2×Х×М[Х]+ М[Х]2].

Учитывая, что М[Х] – это некоторое постоянное число, раскроем предыдущее равенство так: D[Х] = М[Х2]–M[2×Х×М[Х]]+M[М[Х]2] = М[Х2]– 2×(М[Х])+(М[Х])2  = М[Х2] – (М[Х])2.

Таким образом, D[Х] = М[Х2] – (М[Х])– (М[Х]) =× +× + … + ×– (М[Х])2.

Свойства дисперсии случайной величины:

1.                Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D[C]=0.

2.                Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D[C×Х]=C2×M[X].

3.                Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D[Х+Y]=D[X]+D[Y].

4.                Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D[Х–Y]=D[X]+D[Y].        

         Рассмотрим случайную величину X – число появления события А в n независимых испытаниях и найдем ее дисперсию. Вероятность появления события А в каждом испытании постоянна. По прежнему будем обозначать ее через p, а вероятность непоявления события А через q=1–p.

Дисперсия D[X] числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p появления события одинакова, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

M[X]=npq.

 Средним квадратическим отклонением случайной величины X  называется квадратный корень из дисперсии:

.

         6.2.4. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

         Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин , …, , которые имеют одинаковые распределения, и следовательно, одинаковые характеристики (математическое ожидание М, дисперсию D, среднееквадратическое отклонение s. Введем новую случайную величину — среднее арифметическое рассматриваемых величин:

и изучим числовые характеристики .

Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию каждой из этих величин:

М()=М.

Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в nраз меньше дисперсии каждой из этих величин:

D()=D/n.

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в  раз меньше среднего квадратического отклонения каждой из этих величин:

s()=s/.

Таким образом, среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина. С увеличением n величина  почти перестает быть случайной и приближается к постоянной М. Тем самым оправдывается рекомендуемый в практической деятельности способ получения более точных результатов измерений: одна и та же величина измеряется многократно, и в качестве ее значения берется среднее арифметическое полученных результатов измерений.

8.Схема Бернулли. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теорема Муавра-Лапласа

Проводятся  опытов, в каждом из которых может произойти определенное событие («успех») с вероятностью  (или не произойти — «неудача» — ). Задача — найти вероятность получения ровно  успехов в опыте.

Решение:

Количество успехов — величина случайная, которая имеет биномиальное распределение.



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | Вперед → | Последняя | Весь текст




sitemap
sitemap