физика.4 модуль. Теория



17.1. Магнитное взаимодействие движущихся электрических зарядов

Сила взаимодействия между двумя точечными неподвижными электрическими зарядами, помещенными в вакууме на расстоянии r друг от друга (рис. 17.1), определяется законом Кулона (формула (11.2)).

Рис. 17.1

Рассмотрим вопрос, будет ли сила взаимодействия между зарядами та же, если они движутся с постоянной скоростью так, как это показано на рис. 17.1, б. Для того, чтобы ответить на этот вопрос, поставим вначале мысленный эксперимент.

Пусть в некоторой точке пространства (например, вблизи Земли) имеется точечный заряд Q. Предположим, что на некотором удалении от этого заряда в момент времени t=0 возник другой заряд (например, вблизи Луны). Важно знать начнется ли взаимодействие между зарядами сразу же как только возник заряд q. Если бы это было так, то скорость передачи взаимодействия от одного заряда к другому равнялась бы бесконечности. Однако этот вывод противоречит теории относительности, в которой устанавливается предел для скорости материальных объектов, а также скорости передачи любого вида взаимодействия. Этот предел равен скорости света в вакууме. Таким образом, взаимодействие между зарядами Q и q начнется не ранее, чем через промежуток времени  =l/c, где l расстояние между зарядами, а c – скорость света в вакууме.

Продолжим рассмотрение рис. 17.1, б. Пока «сигнал» от заряда Q распространяется к заряду q, последний успеет сместиться на некоторое расстояние v и окажется в точке A. Таким образом, заряд «почувствует» заряд Q не на расстоянии r, а на расстоянии R=c. Очевидно,

,

отсюда

и, следовательно,

.

(17.1)

Таким образом, если взаимодействие между неподвижными зарядами осуществляется на расстоянии r, то в случае их движения расстояние на котором происходит взаимодействие, возрастает до значения R. В связи с этим в законе Кулона (см. 12.1) произведем замену :

(17.2)

или

.

(17.3)

Из (17.3) и (17.2) видно, что наряду с силой Кулона между движущимися зарядами возникает дополнительная сила взаимодействия

,

(17.4)

которую назовем силой магнитного взаимодействия.

Если скорость зарядов направлена вдоль линии, их соединяющей (рис. 17.1, в), то Fm=0, поскольку в этом случае эффект запаздывания компенсируется лоренцевым сокращениям длины.

И наконец, рассмотрим случай, когда скорость v направлена под углом   к линии, соединяющей заряды q и Q (рис. 17.1, г). Разложим скорость v на две составляющие: . Параллельная составляющая скорости не приводит к к появлению силы магнитного взаимодействия – появление этой силы обуславливается лишь перпендикулярной составляющей

.

Подставив в формулу (17.4) вместо v, получим, что в общем случае сила магнитного взаимодействия

.

(17.5)

Обозначим

,

(17.6)

где  0 – магнитная постоянная СИ, и перепишем выражение (17.5) в виде

.

(17.7)

Если ввести формальное представление о «магнитном заряде»:

,

(17.8)

то силу магнитного взаимодействия (17.7) можно представит в виде

.

(17.9)

аналогичном закону Кулона (11.2).

Отметим, что в отличие от электрического заряда – объективной характеристики частицы, «магнитный заряд» является чисто формальным понятием, не связанным с каким-либо внутренним свойством частицы.

17.2. Сопоставление электрического и магнитного взаимодействий

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

1. Между двумя неподвижными точечными зарядами возникает сила электростатического взаимодействия, значение которой определяется законом Кулона:

МАГНИТНОЕ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

1.Между движущимися электрическими зарядами, кроме силы электрического взаимодействия, возникает сила магнитного взаимодействия:

.

(17.10)

.

(17.10а)

2. Взаимодействие между неподвижными зарядами осуществляется через электростатическое поле, силовая характеристика которого – вектор напряженности :

2. Магнитное взаимодействие движущихся электрических зарядов осуществляется через магнитное поле, силовая характеристика которого вектор магнитной индукции

.

(17.11)

.

Или

.

(17.11а)

3. На заряд, помещенный в электростатическое поле действует сила

3. На заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила, которая называется силой Лоренца. Из (17.11а) при Fm=FЛ следует

.

(17.12)

.

(17.12а)

или в векторной форме

.

Из (17.12а) при q=1, v=1, sin  = 1 следует B=FЛ, т.е. модуль вектора магнитной индукции численно равен силе Лоренца, действующей на единичный положительный заряд, движущийся с единичной скоростью в магнитном поле в направлении наибольшего действия силы.

4. Напряженность электростатического поля точечного заряда

4. Вектор магнитной индукции, создаваемый движущимся электрическим зарядом

.

(17.13)

Или

.

(17.13а)

(Эта формула получается подстановкой (17.10) в (17.11)).

(Эта формула получается подстановкой (17.10а) в (17.11а)).

Формула (17.13а) называется формулой Лоренца.

5. Силовые линии электростатического поля разомкнуты: они выходят из положительного заряда и обрываются на отрицательном или уходят в бесконечность.

5. Силовые линии магнитного поля замкнуты сами на себя. Этот факт установлен экспериментально. Например, силовые линии магнитного поля прямолинейного проводника с током имеют вид концентрических окружностей (рис. 17.2).

6. Характеристикой электростатического поля, не зависящей от свойств среды, служит вектор электростатического смещения

6. Характеристикой магнитного поля, не зависящей от свойств среды, служит вектор напряженности магнитного поля

.

(17.14)

.

(17.14а)

где  – диэлектрическая проницаемость среды.

где  – магнитная проницаемость среды.

Рис. 17.2

17.3. Закон Био-Савара-Лапласа

Вектор магнитной индукции движущегося заряда определяется формулой Лоренца (17.13а). Поскольку ток – это направленное движение зарядов, то каждый из них в некоторой точке пространства создает магнитное поле. Суммарное магнитное поле, создаваемое всеми зарядами, можно найти, исходя из принципа суперпозиции

,

где  – вектор магнитной индукции, создаваемой i-м движущимся зарядом.

Согласно этим соображениям, найдем вектор магнитной индукции, создаваемый проводником с током произвольной формы (рис. 17.3).

Рис. 17.3

Выделим внутри проводника элементарный объем dV=Sdl, внутри которого находится заряд dQ, который в силу малости объема можно считать точечным. Этот заряд двигаясь со скоростью , создает в точке A магнитное поле с вектором индукции , значение которого можно найти с помощью формулы Лоренца:

,

где 0 – магнитная проницаемость среды, в которой находится проводник.

Преобразуем dQv в формуле Лоренца следующим образом:

,

где I – сила тока в проводнике, а dl=vdt – элемент длины.

Таким образом,

,

(17.15)

Для нахождения суммарной индукции B в точке A нужно продифференцировать выражение (17.15) по всей длине проводника:

.

(17.16)

Поскольку , то напряженность магнитного поля

.

(17.17)

Формула (17.15) представляет собой закон Био-Савара-Лапласа. Этот закон позволяет рассчитать магнитные поля, создаваемые проводниками с током любой конфигурации.

17.4. Магнитное поля прямолинейного проводника с током

Найдем вектор магнитной индукции в точке A, отстоящей от прямолинейного проводника с током на расстояние R. С этой целью воспользуемся законом Био–Савара–Лапласа (17.16). Для вычисления интеграла (17.16) выразим переменные r и dl через .

Согласно рис. 17.4 имеем

;

.

(17.18)

Рис. 17.4

Продифференцируем последнее равенство

(17.19)

С помощью (17.18) и (17.19) подынтегральное выражение в (17.16) можно преобразовать к виду

.

Подставим полученное выражение в формулу (17.16) и проинтегрируем в пределах от  1 до 2 (рис. 17.4).

(17.20)

Формула (17.20) применима для проводника единичной длины. Для бесконечно длинного проводника следует положить 1 = ,  2 = . Тогда из (17.20) следует

(17.21)

17.5. Магнитное поле кругового тока

Пусть по проводнику в виде тонкого кольца радиуса a протекает ток I. Найдем вектор магнитной индукции в точке A, расположенной на оси кольца и отстоящей от его центра на расстоянии R (рис. 17.5).

Выделим на кольце элемент тока Idl. В точке A он создает вектор магнитной индукции . Разложим на две составляющие:

.

Перпендикулярная составляющая не дает никакого вклада в общую индукцию в точке A, поскольку на кольце всегда найдется симметрично расположенный элемент тока Idl, который дает

противоположно направленную составляющую .

Рис. 17.5

Из рис. 17.5 видно, что

.

Так как , то sin  = 1, следовательно,

;

.

Интегрируя по всему контуру, получаем:

,

,

где S – площадь, охваченная круговым током.

Произведение силы тока I на площадь, ограниченную круговым током, называется магнитным моментом кругового тока (витка):

,

(17.22)

Рис. 17.6

где  – единичный вектор, перпендикулярный к плоскости витка с током. Направление находится по правилу правого винта (рис. 17.6).

Таким образом, модуль вектора магнитной индукции на оси кругового тока

.

(17.23)

При R>>a из (17.23) следует

.

(17.24)

Сопоставляя (17.24) и (11.9), приходим к выводу, что круговой виток с током создает магнитное поле, которое, как и электрическое поле диполя, на больших расстояниях убывает как 1/R3.

В центре кругового витка (R=0) из формулы (17.23) получаем

.

Поскольку pm=IS=Ia2, то

.

(17.25)

17.6. Циркуляция вектора

В электростатике было показано, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю (см. §  11.6). Этот результат свидетельствует о потенциальном характере электростатического поля.

Рис. 17.7

Выясним теперь, сему равна циркуляция вектора магнитной индукции . Рассмотрим простейший случай, когда магнитное поле создаётся бесконечным прямолинейным проводником, а контур интегрирования совпадает с линией индукции. Тогда выражение для циркуляции вектора с учётом (17.21) будет иметь вид

.

(17.26)

Подставляя в (17.26) значение из (17.21) и учитывая, что , получаем

.

(17.27)

Выражение (17.27) можно обобщить на случай, когда контур имеет произвольную форму и охватывает несколько проводников с током:

.

(17.28)

Знак «+» в формуле (17.28) выбираем в том случае, если направление тока и направление обхода удовлетворяют правилу левого винта, и «–» – в противном случае.

Как видно из (17.28), циркуляция вектора магнитной индукции отлична от нуля. Это означает, что магнитное поле имеет непотенциальный характер – для него нельзя ввести понятие потенциала. Магнитное поле является вихревым.

Если учесть, что B= 0H, то из (17.28) можно получить выражение для циркуляции вектора напряженности магнитного поля:

.

(17.29)

Последнюю формулу называют иногда законом полного тока.

Формулы (17.28) и (17.29) применяют для расчета магнитных полей. В некоторых случаях такой расчет значительно проще, чем основанный на законе Био–Савара–Лапласа

17.17. Магнитное поле тороида, соленоида

Рис. 17.8

Тороид – это «бублик», на который намотан металлический провод (рис. 17.8, а). Обозначим N – общее число витков; r – радиус средней линии тороида; I – сила тока. Рассчитаем магнитное поле, создаваемое тороидом в точках A, B и C (рис. 17.8, б).

Точка A. выберем замкнутый контур в виде окружности, проходящей через точку A. Поскольку внутри выбранного контура токов нет, то правая часть в (17.28) равна нулю и, следовательно, в этой точке B=0.

Точка C. Как и в предыдущем случае, выберем замкнутый контур в виде окружности, проходящей через точку C. Правая часть в (17.28) в этом случае равна NI-NI=0. Таким образом, на основании (17.28) получаем, что в точке C B=0.

Точка B. Снова выберем замкнутый контур в виде окружности, совпадающей со средней линией тороида. Контур охватывает N токов одинакового направления, поэтому правая часть в (17.28)

.

(17.30)

Из соображений симметрии можно заключить, что в любой точке средней линии тороида магнитная индукция направлена по касательной к этой линии и всюду одинакова по модулю. Поэтому

.

(17.31)

Подставим (17.30) и (17.31) в (17.28):

.

(17.32)

где  – число витков на единицу длины тороида.



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | Вперед → | Последняя | Весь текст




sitemap
sitemap