Графика и графики



Графика и графики.

Одной из интереснейших тем в курсе математики является тема о преобразованиях графиков. Один из великих людей сказал: «Языком математики можно описать весь мир». А чем, как не графиками, функциональными зависимостями описываются различные процессы: движение материальной точки, процессы биологического роста или убывания, колебание тел. Я предлагаю посмотреть на тему «Преобразование графиков» со стороны художественного искусства.

Объект исследования — взаимосвязь математики с изобразительным искусством, предмет исследования- графики как вид изобразительного искусства. Гипотеза заключается в том, что с помощью графиков функций можно рисовать картины, что рисунки, выполненные в стиле графики можно описать известными графиками функций.

Рассмотрим внимательно репродукцию картины Н.В. Кузмина «Онегин на балу». Если вглСоветская модерновая графика фотоядеться в эти прерывистые линии – то можно увидеть, что они представляют собой графики различных функций. Рисунок выполнен в стиле графики, а что такое графика?

Графика (от греч. Graphike – пишу, черчу, рисую) — вид изобразительного искусства, включающий рисунок и печатные художественные произведения (гравюру, литографию и т д.), основывающийся на искусстве рисунка, но обладающий собственными изобразительными средствами и выразительными возможностями. Графика определялась как искусство, в основе которого лежит линия, или как искусство черного и белого. Такое понятие графики в дальнейшем было расширено. Кроме контурной линии, графика использует штрих и пятно. Активную роль а графике играет фактура использованных материалов, специфика графических техник и приемов. (Большая советская энциклопедия, том 7, стр. 259).

В изобразительном искусстве есть еще одно направление изобразительного искусства, появившегося в 1 четверти 20 века — кубизм. Кубизм (франц. Gubisme – куб) –

Советская модерновая графика фотомодернистское течение в изобразительном искусстве, изображавшее предметный мир в виде комбинаций геометрических тел и фигур. В кубизме сама геометризация форм подчёркивала устойчивость, предметность мира. (Большая советская энциклопедия, том 13, стр. 546). В этой технике работали такие признанные художники как П. Пикассо, Ж. Брак, О. Глез, А. Ле Фоконье и другие. Работа П. Пикассо «Дама с веером»(1909 г.) написанная в стиле кубизма находится в г. Москве, в Музее изобразительных искусств имени А.С. Пушкина.

Кубисты изображали мир, применяя геометрические фигуры, а я задалась мыслью, а почему бы не рисовать графиками?

Особое место в графике занимают не изобразительные элементы – а декоративные мотивы: орнамент, текст, представляющий собой систему графических знаков. Я решила остановиться на рисовании орнамента. В русском орнаменте широко применяется такой элемент как птица.

Рисунки из линейных функцийКонтур головы птицы лучше всего нарисовать с помощью параболы, причем задняя ее часть будет более вытянутая. Следовательно, имеет смысл воспользоваться двумя параболами с различными коэффициенты сжатия. Пусть точка (4,5;11,5) – вершина обеих парабол, окончание клюва – точка (1,75;9,5). Уравнение вида будет иметь вид у=к(х-4,5)2+11,5. Вычислим к, подставляя в уравнение координаты второй точки: 9,5=к(1,8-4,5)2+11,5; получим, 7,5625к=-2; отсюда к≈-0,25. Значит, линия 1 на рисунке задана формулой у=-0,25(х-4,5)2+11,5. Но нам требуется не вся парабола, а лишь та её часть, которая лежит на промежутке [1,75; 4,5]. Продолжая дальше, получаем: 2. у = -0,125 (x-4,5)2+11,5 для х€ [4,5; 7,9] контрольные точки x = 8 , у≈ 9

3. у = -(x -2,3)2 +9,8 для х€ [1,75; 3,3] , x = 1,75, y≈ 9,5, x = 3,3, y≈8,8

4. y = -0,35(x-4)2+9 для х€ [1,5;4], x = 3,3, y≈ 8,8, x = 1,5, y≈ 7,1

5. y = -0,3(x-4)2 +9 для х€ [4;7] , x = 7,3, y ≈ 5,7, x = 5,4, y = 8,4

6. y = -0,4(x-7)2+9,4 для х€ [5,4;7] , x = 5,4, y=8,4,

7. y = -0,04(x-8,5)2+9,5 для х€[7;8,5] , x = 7, y = 9,4 ,

8. y = -0,2(x-8,5)2+9,5 для х€[8,5;13,5] , x = 13,5, y = 4,5

9 y = 2/(х-0,5)+2 для х€[1;5] , x = 1 , y = 6, x = 5, y = 2,4

10. y =-0,1/(х-6)+2,5 для х€[5;5,8] , x = 5, y = 2,4, x = 5,8 , y = 2

11. y =-0,12/(х-6)+1,4 для х€[5;5,8], x = 5,8 , y = 2, x = 5, y ≈ 1,4

12. y =1,4 [3,5;5]

13. (x-3,5)2+(y-0,8)2= 0,36 для х€ [2,9;3,5]

14. (x-4)2+(y-0,5)2= 0,25 для y є [0,5;1]

15. (x-5)2+(y-0,5)2= 0,25 для y є [0,5;1]

16. (x-6)2+(y-0,5)2= 0,25 для y є [0,5;1]

17. (x-7)2+(y-0,5)2= 0,25 для y є [0,5;1]

18. (x-7,5)2+(y-0,5)2= 0,25 для y є [0,5;1] и х є[7,5;8]

19. y= -2(x-7)2+1,5 для х€ [7;7,5] , x = 7,5, y = 0,5

20. y = x-7 +1,5 для х€[7;9,5] , x = 7; y = 1,5 ; x = 9,5; y ~2,4

21. y= (x-12)2+1,5 для х€ [10,6;13,5]

22. y= (x-10,5)2+1,5 для х€ [9,5;11;2]

(x-4,5)2+(y-10,5)2= 0,25 – глаз

24. (4,5;10,5) – зрачок

25. y= 2(x-3,5)2+10 для х€ [3;3,5]

26. y= -2(x-3,5)2+10 для х€ [3;3,5]

27. y= 2(x-8)2+7,5 для х€ [7,5;8,5]

28. y= 2(x-10)2+7,5 для х€ [9,5;10,5]

29. y= 2(x-9)2+6,5 для х€ [8,5;9,5]



30. y= 2(x-11)2+6,5 для х€ [10,5;11,5]

31. y= 2(x-12,5)2+6,5 для х€ [12;13]

32. y= 2(x-8)2+6 для х€ [7,5;8,5]

33. y= 2(x-10)2+5,5 для х€ [9,5;10,5]

y= 2(x-11,5)2+5,5 [11;12]

35. y= 2(x-9)2+5 для х€ [8,59,5]

36. y= 2(x-12,5)2+5 для х€ [12;13]

37. y= 2(x-8)2+4,5 для х€ [7,5;8,5]

38. y= 2(x-11)2+4,5 для х€ [10,5;11,5]

39. y= 2(x-9,5)2+4 для х€ [9;10]



40. y= 2(x-12)2+4 для х€ [11,5;12,5]

41. y= 2(x-11,5)2+3 для х€ [11;12]

42. y= 2(x-13)2+3,5 для х€ -[12,5;13,5]

Рисунки из линейных функций

Для рисования птицы я использовала графики квадратичной, линейной функциями, обратной пропорциональности, у=, уравнение окуружности.

Орнамент состоит из симметричных деталей, поэтому полученный рисунок нужно отобразить относительно оси ОУ. Можно воспользоваться двумя способами: С помощью графика функции у=f|x| и с помощью переноса графиков функций относительно оси ОХ.

Первый способ.

Функция у=f|x| — четная, то достаточно построить у=f(x) для х≥0 из области её определения и отразить полученную часть графика симметрично оси ординат. Для того, чтобы воспользоваться этим способом нужно все формулы квадратичных функций переписать в виде у=ах2+в|х|+с. Выберем одну из квадратичных функций, и выполним преобразование: у=2(х-13)2+3,5, у=2(х2-26х+169) +3,5, у=2х2-52х+341,5.

График функции задается у=2х2-52|х|+341,5. При х≥0, получим у=2(х-13)2+3,5, а при х<0у=2(х+13)2+3,5. Эти два графика действительно симметричны относительно оси ОУ, остается лишь ограничить их области определения промежутками: х€ [12,5;13,5] и х€-[-13,5;-12,5]

Для остальных функций достаточно, у=f(x) записать как у=f|x|.

Второй способ.

С помощью переноса графиков функций относительно оси ОХ. Для этого достаточно у=f(x-а) заменить на у=f(x+а), одновременно поменяв и данные области определения на соответствующие им противоположные промежутки относительно оси ОХ. Например, y= 2(x-3,5)2+10 для х€ [3;3,5] на y= 2(x+3,5)2+10 для х€ [-3,5;-3].

Советская модерновая графика фото

Следующий шаг. Элемент орнамента повторяется n-ое количество раз. И здесь пригодится ещё одно свойство функции — периодичность.

Определение: Функцию называют периодической, если существует такое число Р, что для всех значений из области определения у(х+Р)(х).

Определим период для одного элемента рисунка (при х>0), период Р=14,5. Пользуясь определением периодической функции, подставим период в формулы и в соответствующие им промежутки определения функции:

1. у=-0,25(х-4,5+29Р)2+11,5 для х[1,75+29Р; 4,5].

2. у = -0,125 (x-4,5+29Р)2+11,5 для х€ [4,5+29Р; 7,9]

3. у = -(x -2,3+29Р)2 +9,8 для х€ [1,75+29Р; 3,3]

4. y = -0,35(x-4+29Р)2+9 для х€ [1,5+29Р;4],

5. y = -0,3(x-4+29Р)2 +9 для х€ [4+29Р;7] ,

6. y = -0,4(x-7+29Р)2+9,4 для х€ [5,4+29Р;7] ,

7. y = -0,04(x-8,5+29Р)2+9,5 для х€[7+29Р;8,5]

8. y = -0,2(x-8,5+29Р)2+9,5 для х€[8,5+29Р;13,5] ,

9 y = 2/(х-0,5+29Р)+2 для х€[1+29Р;5] ,

10. y =-0,1/(х-6)+2,5 для х€[5+29Р;5,8] ,

11. y =-0,12/(х-6+29Р)+1,4 для х€[5+29Р;5,8],

12. y =1,4 [3,5+29Р;5]

13. (x-3,5+29Р)2+(y-0,8)2= 0,36 для х€ [2,9+29Р;3,5]

14. (x-4+29Р)2+(y-0,5)2= 0,25 для y є [0,5;1]

15. (x-5+29Р)2+(y-0,5)2= 0,25 для y є [0,5;1]

16. (x-6+29Р)2+(y-0,5)2= 0,25 для y є [0,5;1]

17. (x-7+29Р)2+(y-0,5)2= 0,25 для y є [0,5;1]

18. (x-7,5+29Р)2+(y-0,5)2= 0,25 для y є [0,5;1] и х є[7,5+29Р;8]

19. y= -2(x-7+29Р)2+1,5 для х€ [7+29Р;7,5]

20. y = x-7+29Р +1,5 для х€[7+29Р;9,5] ,

21. y= (x-12+29Р)2+1,5 для х€ [10,6+29Р;13,5]

22. y= (x-10,5+29Р)2+1,5 для х€ [9,5+29Р;11;2]

(x-4,5+29Р)2+(y-10,5)2= 0,25 – глаз

24. (4,5+29Р;10,5) – зрачок

25. y= 2(x-3,5+29Р)2+10 для х€ [3+29Р;3,5]

26. y= -2(x-3,5+29Р)2+10 для х€ [3+29Р;3,5]

27. y= 2(x-8+29Р)2+7,5 для х€ [7,5+29Р;8,5]



28. y= 2(x-10+29Р)2+7,5 для х€ [9,5+29Р;10,5]

29. y= 2(x-9+29Р)2+6,5 для х€ [8,5+29Р;9,5]

30. y= 2(x-11+29Р)2+6,5 для х€ [10,5+29Р;11,5]

31. y= 2(x-12,5+29Р)2+6,5 для х€ [12+29Р;13]

32. y= 2(x-8+29Р)2+6 для х€ [7,5+29Р;8,5]

33. y= 2(x-10+29Р)2+5,5 для х€ [9,5+29Р;10,5]

y= 2(x-11,5+29Р)2+5,5 [11+29Р;12]

35. y= 2(x-9+29Р)2+5 для х€ [8,5+29Р ;9,5]

36. y= 2(x-12,5+29Р)2+5 для х€ [1+29Р 2;13]

37. y= 2(x-8+29Р)2+4,5 для х€ [7,5+29Р;8,5]

38. y= 2(x-11+29Р)2+4,5 для х€ [10, +29Р 5;11,5]

39. y= 2(x-9,5+29Р)2+4 для х€ [9+29Р;10]

40. y= 2(x-12+29Р)2+4 для х€ [11,5+29Р;12,5]

41. y= 2(x-11,5+29Р)2+3 для х€ [11+29Р;12]

42. y= 2(x-13+29Р)2+3,5 для х€ -[12,5+29Р;13,5], где Р пробегает множество целых чисел. Также нужно подставить период и во вторую часть орнамента.

Выполняя работу, я сделала следующие выводы.

1.Создавать картины с помощью графиков не только можно, но и интересно.

2. Рисование графиками помогает видеть картину, как взаимосочетание отдельных линий 3.Учиться мыслить последовательно, плавно переходить от одной линии к другой, отмечая при этом, чем первая отличается от последующей.

4.При описывании графика, повторять многие математические операции: решение линейных и квадратных уравнений, решение пропорций, свойства функции и т.д.

5.Распознавать виды графиков.

6. Формирует навыки четко соотносить линию с известными графиками функций, записывать формулу, соответствующую этой функции, учитывая при этом знания по преобразованию графиков.

Рисование графиками, на мой взгляд, может найти свое применение в областях, где взаимосочетаются точные расчеты с изобразительным искусством, а именно: в архитектуре, художественном труде, в графическом и ландшафтном дизайне.

В заключении хочу поделиться предположением: а может когда-нибудь рисование графиками определится как ещё один стиль в графике и получит свое название, например, — параболизм (рисование параболами).








sitemap
sitemap