Модуль и его приложения



Екатеринославская муниципальная общеобразовательная

«Средняя общеобразовательная школа №2 с.Екатеринославка».

Методическое пособие

Модуль и его приложения

Выполнили:

Молочева А., ученица 10 класса,

Рыльченко Ю., ученица 10 класса

Руководитель:

Легенчук О.И..

2010 г.

Содержание информационного проекта «Модуль и его приложения» позволит интересующимся изучением математики получить определённый набор теоретических сведений по теме, познакомиться со способами решения некоторых задач, содержащих модули, заняться отработкой способов решения, используя тренировочные упражнения.

Материал проекта выходит за рамки школьной программы общеобразовательной школы и может оказаться полезным всем учащимся, стремящимся совершенствовать свои знания в образовательной области «математика».

Раздел 1.

Теоретический материал.

Определение модуля.

Модулем числа а называется само это число, если оно неотрицательно, и противоположное ему число, если оно отрицательно.

‌ ‌‌│а │= .

Например:

| 4 |= 4; | -4 | = -(-4) = 4, так как -4< 0; | 0 | = 0; │π -2 │= π – 2, так как π – 2 > 0.

Геометрически ‌‌│а │ — расстояние от точки О до точки, изображающей число а;

│а — в│ — расстояние между точками а и в.

Свойства модуля.

│ а│ 0.

│ав│=│а││в│

│а│2 = а2.

│а│=│-а│.

, в ≠ 0.

│а│ ≥ а.

Если │а│= │в│, то а = в или а = -в.

│а + в│≤│а│+│в│.

│а + в│=│а│+│в│ тогда и только тогда, когда ав ≥ 0.

│а│+│в│ = а + в тогда и только тогда, когда а ≥ 0 и в ≥ 0.

│а — в│ = │а│+│в│ тогда и только тогда, когда ав ≤ 0.

│а│-│в│≥0 тогда и только тогда, когда а2 – в2 ≥ 0.

13. = │а│.

Геометрическая интерпретация модуля.

Равенство │х │ = а задаёт на оси ОХ пару точек, расположенных на расстоянии а от точки О(0).

Пример.

│х │= 5 задаёт пару точек, изображённых на рисунке:

Равенство |х – а | = г задаёт на оси ох пару точек, расположенных на расстоянии г от точки а, т е точки х=а-г и х=а+г.

Пример:

Равенство вида │х — 2│= 3 задаёт пару точек, расположенных на расстоянии трёх единичных отрезков от точки 2.

Неравенство |х — а| < г задаёт на оси ох точки, расстояние от которых до точки а меньше, чем г, т е все точки из промежутка ( а- г; а + г).

Пример:

Неравенство вида │х — 2│< 3 задаёт на оси точки из промежутка

(-1; 5).

Неравенство |х – а | > г задаёт на оси ох точки, расстояние от которых до точки а больше, чем г, т е все точки из множества (-∞; а – г) (а + г; +∞).

Пример:

Неравенство вида │х — 2│> 3 задаёт на оси точки из промежутков

(-∞; -1) и (5; +∞).

Неравенство |х — а| ≤ г задаёт на оси ох точки, расстояние от которых до точки а не больше, чем г, т е все точки из множества (-∞; а – г] [а + г; +∞).

Пример:

Неравенство вида │х — 2│≤ 3 задаёт на оси точки из промежутка

[-1; 5].

Неравенство |х – а | ≥ г задаёт на оси ох точки, расстояние от которых до точки а не меньше, чем г, т е все точки из множества (-∞; а – г] [а + г; +∞).

Пример.

Неравенство вида │х — 2│≥ 3 задаёт на оси точки из промежутков

(-∞; -1] [5; +∞).

4. Способы решения уравнений, содержащих модуль.

| f(x)| = a

А) если а < 0, то решений нет.

Б) если а = 0, то f(x) = 0.

В) если а > 0, то ;

|f(x)| = | g(x)|.

Решить совокупность уравнений ;

|f(x)| = g(x)

Решить совокупность двух систем:

Уравнения вида | f 1(x) ||+ | f2(x) | + …+ |f3(x)| = g(x).

Решают методом интервалов. Сущность этого метода заключается в следующем:

— найти нули выражений, находящихся под знаком модуля (критические точки);

— разбить найденными точками область допустимых значений уравнения на промежутки, на каждом из которых выражения под знаком модуля сохраняет знак;

— решить уравнение на каждом из промежутков, раскрывая модульные скобки;

-объединить ответы, полученные при решении уравнений на промежутках.

Следует отметить, что любое из уравнений вида 1-4 также можно решить методом интервалов.

5. Способы решения неравенств, содержащих знак модуля.

1.|f(x)| < a.

А) Если а≤0, то решений нет.

Б) Если а >0, то решением является система .

2. |f(x)| > a.

А) Если а <0, то решением являются любые х из области определения функции f(x).

Б) Если а=0, то решением являются все х из области определения функции f(x), кроме тех х, которые обращают функцию в ноль.

В) Если а>0, то решением является совокупность .

3. |f(x)| >|g(x)|.

Решение равносильно неравенству f2(x) >g2(x).

4..

Решение равносильно системе

5. .

Решение равносильно совокупности

Неравенства, содержащие сумму нескольких модулей.

Решаются методом интервалов. Сущность метода заключается в следующем.

— Найти нули выражений, находящихся под знаком модуля (критические точки);

— разбить область допустимых значений уравнения на промежутки, на каждом из которых выражения под знаком модуля сохраняет знак;

— решить неравенство на каждом из промежутков, раскрывая модульные скобки;

-объединить ответы, полученные при решении неравенств на промежутках.

Следует отметить, что любое из неравенств вида 1-5 можно решить методом интервалов.

Сводная таблица.

Простейшие выражения с модулем.

а

Выражение

Равносильное выражение

Множество решений

Графическое решение

а > 0

│х│= а

{-а; а}

‌‌

│х│≥а

(-∞; -а] [а; +∞)

│х│>а

(-∞; -а) (а; +∞)

│х│≤а

[-а; а]

│х│<а

(-а; а)

а=0

│х│≥0

х €R

│х│>0

х≠0

(-∞; 0) (0; +∞)

│х│≤0

х = 0

{0}

│х│<0

Ø

а<о

│х│≥а

х €R

│х│≤а

Ø

Раздел 2.

Практическая часть

Чему равен | у |, если у — положительное число?

Чему равен | у |, если у — отрицательное число?

Чему равен | у |, если у = 0?

Раскрыть модульные скобки (представить выражение в виде, не содержащем знака модуля): а) | 1 — √2|;

б) |π – 3 |;

в) │7 — 5√2 │;

г) | √3+√5 |;

д) | √5 — 2 |;

Может ли быть отрицательным значение суммы: а)  2 + | x |; б) | x | + 6?

Может ли равняться нулю значение разности: а)   2| x | – | x |; б) 3| x | – | x |?

При каких значениях y верно равенство: а)   – y = | – y |; б) – y = | y |?

7. Изобразить на действительной оси ОХ точки х, удовлетворяющие соотношениям:

а) │х│ = 4; б) │х│4; в) │х│ 4; г) │х│ 4; д) │х│ 4.

│х – 1 │ = 1; б) │х – 1 │ 1; в) │х – 1 │ 1; г) │х – 1 │ 1;

д) │х – 1 │ 1.

8. Раскрыть модульные скобки:

| х4 + 1 |;

│х – 3 │;

│х – 5 │ + │х – 2 │;

2 — х + ¼ |;

| х2 + 2х + 2 | ;

| х — х2/4 — 1|;

| -х2 + 3х — 4|;

Упростить выражение:

Упростить выражение:

9. Решить уравнения^

| х – 3 |= 2

2-3х – 2 | = 3

2 + 5х +5 |= 1

|5 + 2х |= 0

| -2х | = 4.6

| 3 – х | = 8

| х5 — 8х4 + 2х3 – 6х2 -12 | = -3

|3 — |х + 2 || = 4

|| х | + 2 | = 1



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | Вперед → | Последняя | Весь текст




sitemap
sitemap