Множество комплексных чисел — реально или виртуально



Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 5

Тема: «Множество комплексных чисел — реально или виртуально?»

Автор: Понкратов Владимир Александрович, МОУ средняя общеобразовательная школа №5, 10Б класс

Научные руководители:

Алехина Татьяна Федоровна, учитель математики первой квалификационной категории МОУ средняя общеобразовательная школа №5, Россия, Мурманская область, город Апатиты,

Мухина Ирина Анатольевна, учитель информатики высшей квалификационной категории, МОУ средняя общеобразовательная школа №5, Россия, Мурманская область, город Апатиты

Апатиты

2013

Содержание

Введение.3

Цель.3

Задачи.3

Методы исследования.4

Обзор литературы.5

1) Что называется комплексным числом?5

2) Изображение на плоскости5

3) Тригонометрическая запись6

4) Возможные действия и операции7

I.Сложение комплексных чисел7

II.Вычитание комплексных чисел7

III.Умножение комплексных чисел8

IV.Деление комплексных чисел8

V.Сопряжение8

VI.Свойства модуля комплексных чисел8

Основная часть.10

1) Извлечение корня10

2) Решение квадратных уравнений10

Практическая часть.11

Вывод.13

Источники информации.14

Приложение.15

Введение.

Понятие числа развивалось и изменялось на протяжении всей истории человечества. С течением времени числовые системы расширялись, становились более сложными, включая как составные части ранее известные числовые системы. У более сложной системы больше различных возможностей по ее использованию и применению, но при этом и само построение такой системы и знание многочисленных деталей требуют больших усилий и большего времени.

На данный момент известно 5 числовых систем: натуральные числа N, целые числа Z, рациональные числа Q, действительные числа R и комплексные числа C. Комплексные числа – сложнейшая числовая система, над которыми можно совершать любые алгебраические операции.

В XVI веке при изучении кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Итальянский ученый Дж.Кардано вывел формулу корней кубического уравнения: x3+px+q=0:

x=u+v,

где u=

v=

uv= —

При решении кубических уравнений, дискриминант которых отрицательный, получался парадоксальный результат: корни уравнения – действительные числа, а при вычислении значений uи vнеобходимо находить корни из отрицательных чисел.

Чтобы объяснить получившийся парадокс, Кардано предложил ввести числа новой породы. Он называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины.

Дальнейшее развитие математики «узаконило» такие числа (они получили название «комплексные числа», расширило область их применения. На основе комплексных чисел были решены многие задачи теории упругости, аэро- и гидродинамики, квантовой теории поля.

В школе эта система рассматривается мало, а тема трудная и объемная. А ведь она может пригодиться при дальнейшем обучении. Именно поэтому я выбрал эту тему.

Цель.

Изучить свойства комплексных чисел и уметь (научиться) работать с ними.

Задачи.

1) Выяснить, какие числа называются комплексными;

2) Изучить свойства комплексных чисел;

3) Рассмотреть, как решаются квадратные уравнения в комплексных числах;

4) Научиться извлекать квадратный корень из произвольных чисел.

Методы исследования.

1) Изучение различных источников, сравнение материалов

2) Подбор материала

3) Проверка степени усвоения темы

4) Решение задач в комплексных числах.

Обзор литературы.

1) Что называется комплексным числом?

Для начала вспомним «обычные» школьные числа. В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой R.

Небольшой отход от темы: не пытайтесь представить комплексное число в действительности.

Комплексным числом Z называется число вида Z=a+bi, где a и b – действительные числа, i– так называемая мнимая единица. Число a называется действительной частью (Re Z) комплексного числа Z, число bi называется мнимой частью (Im Z) комплексного числа Z.

a + bi – это единое число, а не операция сложения. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: Z = bi + a или переставить мнимую единицу: Z = a + ib – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексно число принято записывать именно в таком порядке: Z = a +bi.

Перечислим те минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа:

С1. Существует комплексное число, квадрат которого равен -1.

С2. Множество комплексных чисел содержит все действительные числа.

С3. Операции сложение, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий.

Условия С1 и С2 заставляют добавить ко множеству R действительных чисел, как минимум, один новый элемент и по определению считать, что квадрат этого элемента равен -1. Такой элемент называют мнимой единицей и обозначают i, о чем ранее говорилось. Значит, i2 = -1

Приведем классификацию комплексных чисел:

Т.е., действительные числа – это частный случай комплексных чисел.

2) Изображение на плоскости

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости.

Как упоминалось выше, буквой R принято обозначать множество действительных чисел. Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой С, обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:

Re Z

Im Z

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе. По осям нужно задать размерность. Отмечаем: ноль, единицу по действительной оси, мнимую единицу i по мнимой оси:

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

Z1 = 0, Z2= -3, Z3 = 2

Z4 = i, Z5 = —i, Z6 = 4i

Z7 = 2 + 3i, Z8 = -4 + i, Z9 = -3 – 3i, Z10 = — i

Рассмотрим следующие комплексные числа: Z1 = 0, Z2= -3, Z3 = 2. Все эти числа – действительные. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось ReZ  обозначает в точности множество действительных чисел R, то есть на оси ReZ сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел R является подмножеством множества комплексных чисел C .

Числа Z1 = 0, Z2= -3, Z3 = 2– это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа Z4 = i, Z5 = —i, Z6 = 4i – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси ImZ.

В числах Z7 = 2 + 3i, Z8 = -4 + i, Z9 = -3 – 3i, Z10 = i и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже).

Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не  чертят, потому что они сливаются с осями.

Помимо обычного построения комплексного числа на плоскости можно также на комплексной плоскости производить арифметические операции с этими числами. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел на комплексной плоскости выполняется по правилам векторов.

3) Тригонометрическая запись

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:

Z = Z * (Cos + iSin),

где Z — модуль комплексного числа, а — аргумент комплексного числа.

Модулем комплексного числа называется число .

Для объяснения достаточно применить теорему Пифагора к треугольнику. Длины его катетов равны a и b, а, значит, длина гипотенузы равна

Комплексное число Zзадается формулой: Z=Cos + iSin. Абсцисса х точки Р равна Cos, а ордината y равна Sin.

4) Возможные действия и операции

Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от действий с обычными числами.

Сложение комплексных чисел

Для того, чтобы выполнить сложение двух комплексных чисел, нужно сложить их действительные и мнимые части.

Пример: Сложить два комплексных числа: Z1 = 1 + 3i, Z2 = 4 – 5i.

Z1 + Z2 = (1+3i) + (4-5i) = (1+4) + (3i+(-5i)) = 5-2i

При сложении комплексных чисел сохраняется правило: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Для того, чтобы выполнить вычитание двух комплексных чисел, нужно вычесть из одного комплексного числа другое, то есть произвести отдельно операцию вычитания действительных частей и мнимых.

Пример: Найти разность двух комплексных чисел: Z1 = -2 + i, Z2 = 3 + 4i

Z1 – Z2 = (-2+i) – (3+4i) = -2 + i – 3 – 4i = –5–3i

Умножение комплексных чисел

Для произведения комплексных чисел существует формула:

(a + bi) * (с + di) = (ac – bd) + (bc + ad)i

Разумеется, надежнее понимать, как она получена, чем ее учить.

Пример: Z1 = 1 – 2i, Z2 = 3 + i. Вычислить: Z1Z2

Z1Z2 = (1-2i)(3+i)=1*3 + 1*i – 2i*3 – 2i*i = 3+i-6i-2i2 = 3-5i-2(-1)=3-7i+2=5-5i

Z1Z2 = (1-2i)(3+i) = (1*3-(-2)*1)+(-2*3+1*1)i=5-5i

Деление комплексных чисел

Рассмотрим уравнение (с+di)z = a+bi, где комплексное число с+di0. Умножим обе части уравнения на сdi, получим:

(сdi)(c+di)z = (cdi)(a+bi)

(c-(di)2)z = ac-(di)a+c(bi)-bdi2

(c2+d2)z = (ac+bd)+(bc-ad)i

z = + i

Итак, получена формула для частного двух комплексных чисел:

= + i

Опять же, совсем не обязательно запоминать эту формулу. Что действительно стоит помнить, так это прием умножения числителя и знаменателя дроби на сdi. Это называется сопряжением. То есть, в данном примере, выражение сdi – сопряженное число.

Сопряжение

Итак, если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой, то получится комплексное число, сопряженное данному. Если данное число обозначено буквой Z, то сопряженное число обозначают :

Z = x + yi; = x – yi.

Операция перехода к сопряженному числу – это новая операция, которая содержательна именно для множества комплексных чисел. У этой операции много полезных свойств.

Например, сопряженным для числа 3 + 2i будет число 3 – 2i.

Используя понятие сопряженного числа, общее правило нахождение частного можно сформулировать так: следует и числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное знаменателю.

Свойства модуля комплексных чисел

Модулем комплексного числа Z = a+bi называются число . Обозначение:

Z= . Например, найдем модуль комплексного числа 21-20i:

21-20i = = = = 29

Z1 * Z2 = Z1 * Z2

Z 0; Z = 0 Z = 0

= Z

*Z = Z2или =

=

Zn = Zn, n N

Z1 + Z2Z1 + Z2

Последнее свойство принято называть неравенством треугольника, т.к. оно имеет

наглядный геометрический смысл: длина одной стороны треугольника не больше суммы длин двух других его сторон.

Основная часть.

1) Извлечение корня

Квадратным корнем (или корнем второй степени) из комплексного числа Z называют комплексное число, квадрат которого равен Z. Множество всех квадратных корней из комплексного числа Z обозначают . Извлечь квадратный корень из комплексного числа Z – это значит найти множество

Например, извлечем квадратный корень из -1. По определению следует решить уравнение Z2 = -1,т.е. (x+yi)2 = -1. Раскрывая скобки в левой части, получаем:

(x2-y2) + 2xyi = -1 + 0*i

Из второго уравнения системы следует, что либо x=0, либо y=0. Если y=0, то x2 = -1 (действительных корней в этом уравнении нет). Если x = 0, то –y2 = -1, y2 = -1, y = 1. Значит, система имеет два решения: (0;1), (0;-1). И, соответственно, уравнение Z2 = -1 имеет ровно два корня: 0+1*i = i и 0-1*i=-i. Более кратко: = i. Действуя по такой же схеме, можно извлечь квадратный корень из любого отрицательного числа.

Также, можно запомнить: если d<0, то = *i

2) Решение квадратных уравнений

Т.к. все арифметические операции над действительными числами вместе со свойствами этих операций имеют место и для комплексных чисел, то сохраняется и формула корней квадратного уравнения.

Например, решить уравнение Z2 – 3Z + 8,5 = 0

D=(-3)2-4*1*8,5=9-34=-25

Z1,2 = = = = 1,5 2,5i

Ответ: Z1 = 1,5 + 2,5i; Z2 = 1,5 — 2,5i

Решим уравнение такого вида: Z4 – 1 = 0

Разложим левую часть на множители:

(Z2 – 1)(Z2 + 1) = 0

Z2 = 1 Z2 = -1

Z1,2 = 1Z3,4 = i

Практическая часть.

Задания по комплексным числам.

Вычислить:

i(-3+2i)

i(-3+2i)= -3i + 2i2 = -3i -2

(1+i)2

1 + 2i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i

* = = -i

i2 + i-2

i2 + i-2 = -1 + (i2)-1 = -1 + (-1)-1 = -2

Решить уравнение:

z2 –3z+8,5=0

= = =

z4-1=0

(z2-1)(z2+1)=0

z2=1; z2=-1

= 1; = i

Записать комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

5

5=5+0i

= 0

z=5(Cos 0 + i Sin 0)

3i

3i=0+3i

=

z=3(Cos + i Sin

-2-2i

= —

z=2 (Cos (-) + i Sin (-))

Работа в комплексной плоскости

а) Изображение комплексных чисел на плоскости

Изобразить на комплексной плоскости следующие числа: -3+5i, 3+3i, -7-i, 1-2i.

б) Арифметические операции в комплексной плоскости



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap
sitemap