Матрица и матричные вычисления



Государственное образовательное учреждение №321

Реферат по математике

на тему: «Матрица и матричные вычисления»

Выполнила: ученица 9 в кл.

ГОУ СОШ № 321

Центрального района

Винокурова Дарья

Учитель: Буровникова В.Ю.

Санкт-Петербург

2011г.

Оглавление

1.Матричная алгебра2

1.1.Матрицы2

1.1.1.Основные сведения о матрицах3

1.1.2.Виды матриц3

2.1. Операции над матрицами5

2.1.1. Умножение числа на матрицу5

2.1.2. Сложение матриц одинакового размера6

2.1.3. Свойства операций суммирования матриц и произведения матрицы на число6

2.1.4. Вычитание матриц одинакового размера7

2.1.5. Умножение матрицы на матрицу7

2.1.6. Транспонирование матрицы8

2.1.7. Свойства транспонирования матрицы9

3.1. Определители квадратных матриц.10

3.1.1. Введение определителя10

3.1.2. Свойства определителей13

4.1. Обратная матрица16

4.1.1. Свойства обратных матриц16

5.1. Матрицы элементарных преобразований17

5.1.1. Типы матриц элементарных преобразований17

6.1. Метод Гаусса18

1.Матричная алгебра

Матрицы



Матричная алгебра является важным элементом математических расчетов.

Основные сведения о матрицах

Определение. Матрицей с размерами mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита, например A, B, C, …, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: aij, где i – номер строки, j – номер столбца. Числа i и j определяют расположение элемента aijв матрице A и играют роль координат этого элемента в прямоугольной таблице чисел.

Например, матрица

имеет m строк и n столбцов.

Набор

Называется i-й строкой матрицы A, а набор

называется j-м столбцом матрицы A. Любые строки и столбцы матрицы A, в свою очередь, являются матрицами.

Две матрицы А и В одинакового размера называются равными, если они совпадают поэлементно. Равенство записывается как А=В.

Виды матриц

Матрица произвольного размера, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается 0.

Матрица, состоящая из одной строки , называется матрицей – строкой или вектором.

Матрица, состоящая из одного столбца , называется матрицей – столбцом или также вектором.

Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Элементы квадратной матрицы aij, у которых номер строки совпадает с номером столбца, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Например,

— диагональная матрица третьего порядка.

Квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной и обозначается E. Например, матрица

является единичной матрицей четвертого порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы выше и ниже главной диагонали равны нулю, называется треугольной.

Произвольная матрица вила , составленная из двух матриц, разделенных вертикальной чертой, называется расширенной. Например, матрица

является расширенной. Она составлена из квадратной матрицы третьего порядка и единичной матрицы третьего порядка.

Матрица может содержать своими элементами другие матрицы. Например, матрица

может быть записана в виде , где — матрица — строки исходной матрицы.

Квадратная матрица A n-го порядка называется симметричной, если ее элементы подчиняются следующему равенству:

где

2.1. Операции над матрицами

2.1.1. Умножение числа на матрицу

Эта операция производится по следующему правилу: число умножается на каждый элемент матрицы.

Произведением числа на матрицу называется матрица такая, что

Элементы матрицы В вычисляются по формуле

где

Замечание. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Пример.

Пусть даны матрица А и число α:

А = , α = 3

Произведением матрицы А на число α является матрица

C = α × A =

2.1.2. Сложение матриц одинакового размера

Соответствующие элементы матриц складываются.

Суммой матриц А =(aij) и B = (bij) называется матрица C = (cij) такая, что C = A + B. Элементы матрицы С вычисляются по формуле cij = aij + bij, где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2,…, n.

Пример.

Пусть даны матрицы А и В:

А = , B = .

Их суммой, согласно определению, является матрица

C = .

2.1.3. Свойства операций суммирования матриц и произведения матрицы на число

Свойства операций суммирования матриц и произведения матрицы на число, непосредственно вытекающие из определения этих операций. Пусть А, В и С — матрицы, имеющие одинаковый размер, а α и β— некоторые действительные числа. Тогда:

1) А + В = В + А;

2) (А + В) + С = А + (В + С);

3) α (А + В) = αА + αВ;

4) (а + Р)Л = аЛ + (ЗЛ;

5) (αβ)A = (αA)β;

6) А + О = А, где О — нулевая матрица;

7) 0×A =0.

2.1.4. Вычитание матриц одинакового размера

Соответствующие элементы матриц складываются.

Разностью матриц А =(aij) и B = (bij) называется матрица C = (cij) такая, что C = A + (-1) × B. Элементы матрицы С вычисляются по формуле cij = aij + bij, где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2,…, n.

2.1.5. Умножение матрицы на матрицу

Элемент новой матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы. Операция определена при условии, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Произведением матрицы A = (aij) на матрицу B = (bij) называется матрица С = (cij) такая, что C = A × B. Элементы матрицы С вычисляются по формуле

Пример.

Замечание 1. Используя знак сокращенного суммирования, формулу можно записать в виде.

Замечание 2. Введем обозначение матрицы в виде означающее, что матрица содержит m строк и n столбцов. Тогда произведение матриц можно записать следующим образом:

Замечание 3. Порядок матриц-сомножителей существен. Поэтому говорят об умножении матрицы A на матрицу B справа или слева.

Если произведение матриц A × B и B × A, они могут быть матрицами разных размеров.

Если матрицы А и В квадратные, то их произведения A × B и B × A существуют и имеют одинаковый порядок, но в общем случае A × B ≠ B × A

Замечание 4. Умножение единичной матрицы E на квадратную матрицу A не изменяет последней: E × A = A × A.

Замечание 5. Произведение двух ненулевых матриц может дать нулевую матрицу 0, например:

2.1.6. Транспонирование матрицы

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Пусть дана исходная матрица А Тогда, согласно определению, транспонированная матрица А’ (часто используется также обозначение АЦ) имеет вид

A΄ =

Сокращенная форма записи операции транспонирования матрицы:

A=║αij, A’ = ║αij║; i=1, 2, …, т, j=1, 2, …, п.

Пример.

Пусть даны матрицы A и В.

A = , B = .

Соответствующие транспонированные матрицы имеют вид

A΄ = , .

2.1.7. Свойства транспонирования матрицы

1) (Aт)т = А

2) (a × A)т = Ат + Вт, где а – число

3) (А + В)т = Ат + Вт

4) (А × В)т = ВтАт

Свойства операций сложения и умножения:

А + В = В + А

(А + В) + С = А + (В + С)

α (А + В) = αА + αВ

A (B + C) = AB + AC

(A + B)C = AC + BC

C(AB) = (CA)B

α(AB) = (αA)B = A(αB)

3.1. Определители квадратных матриц.

3.1.1. Введение определителя

Свяжем с каждой квадратной матрицей A некоторое число, вводимое по определенному правилу. Назовем это число определителем матрицы и обозначим его |A|.

Определителем матрицы первого порядка A = (a11) назовем число

|A| = (a11)

Определителем матрицы второго порядка

Назовем число, равное

где Mij (индекс j равен 1 или 2) – определитель матрицы первого порядка, полученный вычеркиванием из матрицы A 1 – й строки и j – го столбца.

Например, определитель M11 получен из матрицы А вычеркиванием 1 – й строки и 1 – го столбца. Следовательно, величина определителя M11 равна a22.

Тогда

Определителем матрицы третьего порядка

назовем число, равное

где Mij (индекс j равен 1, 2 или 3) – определитель матрицы второго порядка, полученный вычеркиванием матрицы А 1-й строки и j–го столбца. Например, определитель M11 получен из матрицы А вычеркиванием 1–й строки и 1-го столбца:

Подставим полученные соотношения в приведенную выше формулу:

Из структуры формулы видно, что в каждое слагаемое в правой части входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы.

Воспользовавшись правилом треугольника, можно приведенную выше формулу легко запоминать. Для этого берутся произведения элементов, соединенных линиями. На рисунке слева линиями указаны произведения элементов, которые следует взять со знаком «+», справа – со знаком «-».

Например, величина определителя матрицы

равна

Предположим, что определители матриц, порядок которых меньше n, введены. Определителем квадратной матрицы n – го порядка

назовем число

где Mij – определитель матрицы (n – 1) – го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием 1-й строки j-го столбца.

Введем понятия минора и алгебраического дополнения.

Минором Mij элемента αij матрицы A n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Например, минор M23 элемента α23 матрицы третьего порядка получается вычеркиванием из матрицы 2-й строки и 3-го столбца:

Алгебраическим дополнением Aij элемента αij матрицы А n-го порядка называется минор Mij взятый со знаком (-1)i+j:

Используя понятие алгебраического дополнения, приведенную выше формулу можно записать в виде

3.1.2. Свойства определителей

1) Определитель с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю.

2) Умножение определителя на число равносильно умножению какой-либо строки или столбца определителя на это число.

Умножим любую строку или столбец исходного определителя на число, разложим определитель по этой строке или столбцу, вынесем это число за скобки и свернем оставшееся в скобках выражение в исходный определитель.

3) При транспонировании матрицы величина ее определителя не изменяется: |A|=|Aт|.

4) При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет знак.

В определителе

Переставим, например, первую и вторую строки. Получим

Разложим определитель |A|1 по второй строке, а определитель |A|2 – по первой строке. Получим

Откуда следует |A|1 = -|A|2.



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap
sitemap