Математика Волшебство и магия в квадрате



МБОУ СОШ №6 г. ТОРЖОК ТВЕРСКАЯ ОБЛАСТЬ

Проектная работа по теме «Волшебство и магия в квадрате»

выполнила Петрачкова Анна

учащаяся 8 «А» класса

МБОУ СОШ №6,

учитель Трофимова О. В.

2012 год

ВОЛШЕБСТВО И МАГИЯ В КВАДРАТЕ

В незапамятные времена, научившись считать, люди познали меру количества — число. Вглядываясь в сочетания чисел, они с изумлением увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, удивительную и полную тайны; тайны необъяснимой и поэтому загадочной и многозначительной.,! Оказалось, что располагая числа правильными рядами, один под другим, в случае удачи можно, складывая их слева направо и сверху вниз, каждый раз получать одно и то же число. Наконец, кто-то придумал разделить числа линиями так, что каждое из них оказалось в отдельной клетке, как птицы в доме птицелова. Так посвященные увидели квадрат, населенный числами, неизвестно что сулящий его владельцу, но, конечно, обладающий магической силой.

Е.Я.Гуревич. Тайна древнего талисмана

Из глубины веков

Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные… Как только их не называли! «Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими -магическими*, писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множество тайн… Знакомьтесь: магические квадраты — удивительные представители воображаемого мира чисел. Магическим квадратом л-го порядка называется квадратная таблица размером п х п, заполненная натуральными числами от 1 до п2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают магические квадраты четного и нечетного порядка (в зависимости от четности п). Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали, его постоянной. Магические квадраты возникли в глубокой древности в Китае. Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является I таблица Ло шу (ок# 2200 г. до н. э.). Она имеет размер 3x 3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15 (рис. 1). Согласно одной из легенд, прообразом Ло шу стал узор из связанных черных и белых точек, украшавший панцирь огромной черепахи, которую встретил однажды на берегу реки Ло-шуй мифический прародитель китайской цивилизации Фуси. Жители Поднебесной считали таблицу Ло шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя. Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и другие страны* На Востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях. На рис, 2 изображен магический квадрат 4-го порядка, известный еще древним индусам Он интересен тем, что сохраняет свойство быть магическим после последовательной перестановки строк (столбцов).

4

9

2

3

5

7

8

1

6

7

12

1

14

2

13

8

11

16

3

10

5

9

6

15

4

Рисунок 1

Рисунок 2

Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий. К удивительным квадратам проявляли интерес и средневековые арабские математики, приводившие их примеры в своих сочинениях. Древние греки были знакомы с простейшим (3-го порядка) магическим квадратом. В одном из арабских манускриптов конца VIII в. упоминается его автор (который на самом деле лишь открыл заново то, что было известно за много веков до него) – философ -новопифагорец Апполон из Тиана, живший в начале нашей эры. Европейцев с удивительными числовыми квадратами познакомил византийский писатель и языковед Мосхопулос. Его работа была первым специальным сочинением на эту тему и содержала примеры магических квадратов разного порядка, составленных самим автором. В Средневековой Европе, как и на Востоке, магическим квадратам часто приписывали различные мистические свойства. Поэтому не удивительно, что они пользовались особой популярностью у прорицателей, астрологов и врачевателей. Бытовало даже поверье, что выгравированный на серебряной пластине магический квадрат защищает от чумы. Вначале XVI в. знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив его на гравюре «Меланхолия».

Квадрат Дюрера имеет размер 4 х 4 и составлен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна 34. Оказывается, 34 равны и суммы других четверок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрального квадрата (рис. 4, а), а также образующих четыре равных квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат (рис. 4, б). А вот числа 15 и 14 в I нижней строке квадрата указывают дату создания гравюры — 1514 г.

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

Рисунок 4,а Рисунок 4,б

В середине XVI в. в Европе появились первые сочинения, в которых магические квадраты предстали в качестве объектов математического исследования. Так было положено начало их новой жизни. Затем последовало множество других работ, в частности таких известных математиков, как Штифель, Баше, Паскаль, Ферма, Бесси, Эйлер, Гаусс.

Например, Баше де Мезириак* описал простой графический способ построения квадратов нечетного порядка. Последний не раз переоткрывался и, вероятно, был изобретен еще в древности. Отметим, что в XVI-XVII вв. составлением магических квадратов занимались с таким же увлечением, с каким сегодня придумывают и разгадывают кроссворды. Любопытно, что именно в одной из книг Баше магические квадраты впервые предстали как математическая забава. Примерно в то же время Пьер де Ферма разработал общий метод построения квадратов четного порядка, а Френикль де Бесси** вычислил и построил все различные квадраты 4-го порядка (всего их насчитывается 880). Дальнейшее развитие теории магических квадратов оказалось связано с развитием теории чисел и комбинаторики. В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений. За последнее столетие значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Для их успешного решения требуются не столько специальные знания, сколько смекалка и умение подмечать числовые закономерности. Решение таких задач не только доставит удовольствие тем, кто интересуется математикой, но и послужит прекрасной «гимнастикой для ума», в чем читатель скоро сможет убедиться сам.

Нет предела совершенству

Среди множества магических квадратов некоторые выделяются особыми свойствами: числа, из которых они составлены, удовлетворяют различным дополнительным условиям. * Клод Гаспар Баше де Мезириак — французский математик и поэт XVII века. Известен, в частности, тем, что перевел с греческого и издал в 1621 г. «Арифметику» Диофанта, снабдив книгу подробными комментариями. ** Бернар Френикль де Бесси — французский математик XVII в., занимавшийся в основном теорией чисел.

Так, у изображенного на рис. 5 магического квадрата 5-го порядка суммы пятерок чисел в клетках, расположенных на «разломанных» диагоналях (клетки закрашены одним и тем же цветом), равны постоянной магического квадрата — числу 65. Квадрат с таким свойством называется совершенным.

1

15

24

8

17

9

18

2

11

25

12

21

10

19

3

20

4

13

22

6

23

7

16

5

14

Рисунок 5

Легко убедиться в том, что квадрат останется совершенным, если подвергнуть его таким преобразованиям, как поворот и симметрия. Оказывается, существуют и другие преобразования, сохраняющие это свойство. Так, квадрат останется совершенным после того, как его верхнюю строку переставить вниз или левый столбец перенести к правой стороне (либо наоборот, нижнюю строку поместить сверху, а правый столбец -слева). Отметим другое, следующее отсюда свойство: если расположить рядом два одинаковых квадрата так, чтобы у них была общая сторона, получится своеобразный паркет, в котором числа, оказавшиеся в любой группе клеток размером 5 x 5 образуют совершенный квадрат (рис. 6).

1

15

24

8

17

1

15

24

8

17

9

18

2

11

25

9

18

2

11

25

12

21

10

19

3

12

21

10

19

3

20

4

13

22

6

20

4

13

22

6

23

7

16

5

14

23

7

16

5

14

Рисунок 6

Кстати, упоминавшийся ранее древнеиндийский квадрат также является совершенным. Некоторые магические квадраты отличаются симметричным рисунком. Рассмотрим следующий квадрат 5-го порядка (рис. 7). Что интересного можно заметить в расстановке образующих его чисел? Во-первых, четные и нечетные числа располагаются симметрично как относительно центра квадрата, так и относительно каждой из четырех его осей симметрии.

11

24

7

20

3

4

12

25

8

16

17

5

13

21

9

10

18

1

14

22

23

6

19

2

15

Рисунок 7

Во-вторых, суммы пар чисел занимающих центрально-симметричные клетки, одинаковы и вдвое больше числа, стоящего в центре. И это не случайно. Натуральные числа 1,2, … 25 являются членами арифметической прогрессии. Как известно, суммы членов равноудаленных от концов прогрессии, равны:

А1+ аn=a2 + a n-1 = … Но именно по этому принципу построены все двенадцать пар чисел. Имеем: г

1 + 25 = 2 + 24 = … = 12 + 14 = 26 = n2 + 1

Наконец, оставшееся число 13 — непарное и помешается в центре квадрата. Кроме того это единственное из двадцати пяти чисел, которое совпадает с номером своей клетки (если пронумеровать вес клетки по порядку построчно сверху вниз).

11

24

7

20

3

4

12

25

8

16

17



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | Вперед → | Последняя | Весь текст




sitemap sitemap