Математические парадоксы



Математические парадоксы



Автор работы – Иванова Дарья Сергеевна

Руководитель – Шульгина Наталья Геннадьевна, учитель математики

МБОУ Видновская средняя общеобразовательная школа №5 с углубленным изучением отдельных предметов

Цели и задачи моей работы:

• Узнать, что такое парадоксы и как они зародились;

• Узнать о разновидностях парадоксов;

• Доказательство парадокса «Ряд Гранди»;

• Разобрать несколько наиболее известных парадоксов;

• Рассмотреть шуточный парадокс «Кошки с маслом»;

• Вывод.



…Итак, издревле математики стали замечать, что порой их суждения не столь обоснованы, как хотелось бы, а иногда и вовсе противоречат логике. Их сей факт, естественно, задел, и они дали красивое название таким математическим несовпадениям – парадоксы (от греческого слова «paradoxos», которое значит – «противоречащий обычному мнению»). Часто действительно в парадоксах одна аксиома натыкалась на другую, и они между собой «конкурировали» — победа не могла достаться ни той, ни другой также по практически аксиоме.

Рис.1. Гераклид Понтийский

Парадоксы возникают в современных прикладных науках также часто, как и в древних. В свое время (VII в. до н. э) вавилонские жрецы-астрологи заметили, что некоторые планеты временами замедляют движение, пятятся назад, а затем снова продолжают движение в обычном направлении. Гераклид Понтийский смог объяснить «явление блуждающих светил» с помощью математической теории эпицикла. Но при этом оставались другие проблемы — не все светила вели себя по этой схеме. Долгое время ученые с помощью своих теорий (геометрическая, механическая) не могли объяснить «дуализм света» (XVIII-XIX вв.), только предположение Д.К. Максвелла о электромагнитной природе света разрешило эту проблему. Таким образом, можно считать, что парадоксы возникают в науке там, где теория не описывает процессы должным образом. Разрешение таких парадоксальных явлений ведет в свою очередь к возникновению новых теорий.

В самом широком смысле под парадоксом понимают высказывание, которое расходится с общепринятым мнением и кажется нелогичным (зачастую лишь при поверхностном понимании). В шутку говорят, что все великие открытия переживают три этапа. Вначале о первооткрывателе говорят: «Он с ума сошел», потом – «Здесь что-то есть», а в заключительной стадии – «Это же так просто». Парадокс – это, пожалуй, неотъемлемая часть развития любой области научного исследования. В парадоксах проявляются «горячие точки» науки, пункты ее наиболее вероятных продвижений вперед. Возникновение парадокса дает толчок к новым исследованиям, возможность по-новому посмотреть на существующую теорию и построить более совершенную.

Математики в своё время поделились на две группы: интуиционистов и их противников. Первые заявили, что с появлением парадоксов стало ясно – наука математика изначально неверна в своих положениях. Но, к счастью всего современного человечества, вторых было больше, и они смогли опровергнуть все заявления интуиционистов. Ведь всем известно – не бывает правил без исключений.

Математический парадокс можно определить как истину, настолько противоречащую нашему опыту, интуиции и здравому смыслу, что в нее трудно поверить даже после того, как мы шаг за шагом проследим все ее доказательство. Математическим софизмом принято называть не менее удивительные утверждения, в доказательствах которых в отличие от доказательства парадоксов кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. В любой области математики — от простой арифметики до современной теоретико-множественной топологии — есть свои псевдодоказательства, свои софизмы. В лучших из них рассуждения с тщательно замаскированной ошибкой позволяют приходить к самым невероятным заключениям. Ошибкам в геометрических доказательствах Евклид посвятил целую книгу, но до наших дней она не дошла, и нам остается лишь гадать о том, какую невосполнимую утрату понесла из-за этого элементарная математика.

Логический парадокс — это противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям. Логическая ошибка парадокса в отличие от паралогизма и софизма не обнаружена пока из-за несовершенства существующих методов логики.Различаются такие разновидности логических парадоксов, как апория и антиномия.Апория характеризуется наличием аргумента, противоречащего очевидному, общепринятому мнению, здравому смыслу. Антиномия — наличием двух противоречащих друг другу, одинаково доказуемых суждений.

Рассмотрим один из парадоксов – парадокс ряда Гранди. Имеется бесконечный ряд 1−1+1−… Чему он равен? Можно доказать, что он равен 0, 1 или 0,5.

Один из очевидных методов нахождения суммы ряда – воспринимать его как телескопический ряд и попарно сгруппировать члены:

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

С другой стороны, похожим способом можно получить другой ответ:

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

Таким образом, различной расстановкой скобок в ряде Гранди, можно получить в качестве суммы и 0, и 1. Если считать ряд Гранди расходящейся геометрической прогрессией, то, используя те же методы что и при работе со сходящимися геометрическими прогрессиями, можно получить третье значение ½.

После того, как в конце 17 века в Европе были заложены основы анализа, и до прихода современной строгости, разница между ответами давала пищу для «бесконечных» и «яростных» споров между математиками.

Приведу один хорошо известный парадокс. В небольшом городке цирюльник бреет всех, кто не бреется сам, и не бреет никого из тех, кто бреется сам. Бреет ли цирюльник самого себя? Если цирюльник бреет самого себя, то тем самым он нарушает правило, так как бреет одного из тех, кто бреется сам. Если же цирюльник не бреет самого себя, то он опять-таки нарушает правило, так как не бреет одного из тех, кто бреется сам. Вопрос таков: что делать цирюльнику?

Рис.2. Парадокс «кошки с маслом»

А теперь давайте улыбнемся! Парадокс «кошки с маслом» — это шуточный псевдопарадокс, основанный на двух народных мудростях: «кошки всегда приземляются на лапы» и «бутерброд всегда падает маслом вниз». Противоречие возникает, если рассмотреть кошку, падающую на пол, к спине которой прикреплён бутерброд (маслом вверх). Парадокс представляет особый интерес, если предположить, что кошки действительно всегда приземляются на лапы, а все бутерброды падают маслом вниз. Некоторые в шутку утверждают, что результатом эксперимента станет антигравитация. По их словам, падение кошки замедлится с приближением к земле, и она начнёт вращаться. Это объясняется тем, что кошка будет пытаться приземлиться на лапы, но в то же время бутерброд будет стремиться упасть, как обычно, маслом вниз. В конце концов, кошка должна достигнуть стабильного состояния, зависнув недалеко от земли и вращаясь с большой скоростью. Другие на сто процентов уверены, что кошка во время падения слижет масло с бутерброда и все-таки успеет приземлиться на лапы. На самом деле, никакого противоречия нет. Даже если предположить, что кошки всегда приземляются на лапы, а бутерброды с маслом всегда падают маслом вниз, то в первом случае на лапы приземлится кошка, а бутерброд так и останется «не упавшим»; во втором случае маслом вниз упадёт бутерброд, а кошка будет «не упавшей». Ну, а какой из вариантов наиболее вероятен — это сильно зависит от начальных условий. Правда, остаётся ещё вариант падения этой «конструкции» из кошки и бутерброда на бок, но он не рассматривается, поскольку мы предполагаем абсолютную истинность первых двух утверждений.

Таким образом:

♦ Парадокс в широком смысле — это утверждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями, отрицание того, что представляется «безусловно правильным».♦ Парадокс в более узком и более современном значении — это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы.♦ Все парадоксы имеют одно общее свойство — самоприменимость или циркулярность.♦ Парадоксы возникают в науке там, где теория не описывает процессы должным образом. Разрешение таких парадоксальных явлений ведет в свою очередь к возникновению новых теорий.♦ Устранить парадокс из некоторой теории — значит перестроить ее так, чтобы парадоксальное утверждение оказалось в ней недоказуемым.♦ Решение об отказе от каких-то логических средств, используемых при выводе парадоксального утверждения, должно быть увязано с общими соображениями относительно природы логического доказательства и другими логическими интуициями.♦ Проблемы, связанные с парадоксами, относятся к разным типам и затрагивают все основные разделы логики и математики. Требуется не просто разрешение парадоксов, необходимо их объяснение, углубляющее представления о логических закономерностях мышления.

Используемая литература и ресурсы

Я.И. Перельман «Живая математика». – М.: АСТ, 2008.

http://class-fizika

http://gadaika.ru



http://49l.ru/matematicheskie_paradoksyi

http://ru.wikipedia








sitemap
sitemap