МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ



Государственное образовательное учреждение

начального профессионального образования

«Профессиональный Лицей №38»

II областные научно-технические чтения

Исследовательская работа

на тему:

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ

Работа выполнена на базе научного общества «Эврика»

Выполнил: обучающийся 1 курса

Группы № 11К

Власов Дмитрий

Научный руководитель

Преподаватель высшей квалификационной категории

Бочарова И.Н.

Балаково 2009

Содержание

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………

3

1 Основная часть

1.1 Краткий исторический экскурс ……………………………………….

4

1.2 Что такое математическая модель? …………………………………..

4

1.3 О математических моделях в экономике…………………………….

6

1.4 Математические модели для описания экономических систем…….

7

1.5 Основные направления экономико-математического моделирования………………………………………………………………

8

1.6 Особенности моделирования социально-экономических систем………………………………………………………………………..

8

1.7 Ход построения экономико-математической модели………………

9

1.8 Постановка задачи линейного программирования…………………..

9

1.9 Каноническая форма линейного программирования………………..

10

1.10Симплекс-метод………………………………………………………..

10

1.11 Задача оптимизации.………………………………………………….

11

1.12 Экономика города Балаково Саратовской области…………………

12

2.Исследовательская часть

14

2.1 Задача №1………………………………………………………………

14

2.2 Задача №2………………………………………………………………..

15

2.3 Задача №3……………………………………………………………..

17

ВЫВОДЫ………………………………………………………………….

19

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………..

20

Введение

Моя будущая профессия связана с торговлей, а значит с экономикой, поэтому меня заинтересовал вопрос: «Каким образом современная математика применяется к изучению экономических и других явлений?». Я долго искал ответ на этот вопрос и пришел к выводу, что с помощью построения и анализа математических моделей изучаемого явления.

Цель моей работы: рассмотреть математические модели в экономике на примере решения задач линейного программирования, адаптированных к социально-экономическим реалиям жизни

При выполнении работы передо мной были поставлены задачи:

Изучить научно-теоретическую и методическую литературу о задачах линейного программирования.

Обработать и обобщить информацию, полученную в результате самостоятельного исследования.

Решить реальные задачи оптимизации, связанные с планированием производства в Балаковском районе Саратовской области.

Основная часть

Краткая историческая справка

19 век

При математическом анализе процесса расширенного воспроизводства использовались алгебраические соотношения

1936г.

Американский экономист В.В. Леонтьев обосновал с помощью метода анализа экономики «затраты-выпуск» межотраслевую модель производства и распределения продукции США.

1939г.

Русский математик Л.В. Канторович открыл метод линейного программирования.

1951г.

Американским учёным Дж. Б. Данцигом разработан эффективный метод решения задач линейного программирования – симплекс-метод.

1975г.

Академик Л.В. Канторович и американский профессор Т. Купманс получили Нобелевскую премию по экономическим наукам за «вклад в разработку теории оптимального использования ресурсов в экономике».

Что такое математическая модель?

Математическая модель – важное понятие современной прикладной математики. Её взаимосвязи с экономикой, информатикой и краеведением позволяют создать адекватное представление об окружающем мире, формировать социально-экономические взгляды людей.

У каждого из нас слово «модель» вызывает различные ассоциации. У одних — это действующие модели роботов, станков, кораблей, у других — муляжи животных, внутренних органов человеческого организма, у третьих — модель самолета, продуваемая потоком воздуха в аэродинамической трубе.

Иногда вместо слова «модель» употребляются иные слова: «макет», «копия», «слепок» и другие. Однако во все эти слова вкладывается приблизительно один и тот же смысл — он состоит в том, что сложное, многогранное явление реальною мира заменяется его упрощенной схемой.

Среди множества всевозможных моделей особую роль играют математические модели. Так называют приближенное описание какого-либо явления внешнего мира, выраженное с помощью математической символики и заменяющее изучение этого явления исследованием и решением математических задач. Таким образом, математика применяется не непосредственно к реальному объекту, а к его математической модели.

И хорошо построенная математическая модель обладает удивительным свойством — ее изучение дает новые, неизвестные ранее знания об изучаемом объекте или явлении.

Хорошо построенная математическая модель обладает удивительным свойством — ее изучение дает новые, неизвестные ранее знания об изучаемом объекте или явлении.

Пример 1. В 1846 г. французский астроном У.Ж.Ж.Леверье (1811 — 1877) открыл новую планету Солнечной системы и назвал ее Нептуном. Открытие этой планеты было сделано чисто математически, путем вычислений, так сказать, «на кончике пера». Анализируя созданную И.Кеплером и И.Ньютоном модель движения планет Солнечной системы, ученые обнаружили, что фактическая траектория движения планеты Уран отклонялась от теоретически вычисляемого движения. Ж.Леверье предположил, что «возмутителем порядка» является неизвестная планета, которая воздействует на планету Уран. Пользуясь моделью Солнечной системы, он определил массу и закон движения новой планеты, так что все противоречия в движении планеты Уран были сняты.

Немецкий астроном И.Г.Галле в 1846 г. наблюдал новую планету в точно указанном Леверье месте.

Аналогичным методом, благодаря использованию расхождения теоретически вычисленной траектории Нептуна с наблюдаемой, в 1930 г. была открыта еще одна планета Солнечной системы, названная Плутоном.

Пример 2. Знаменитый английский физик Дж. К. Максвелл (1831 — 1879), изучая построенную им математическую модель классической электродинамики, из анализа уравнений модели предсказал существование электромагнитных волн, которые позднее были экспериментально обнаружены немецким физиком Г.Р.Герцем (1857 — 1894).

Математические модели, с помощью которых исследование явлений внешнего мира сводится к решению математических задач, занимают ведущее место среди других методов исследования и позволяют не только объяснить наблюдаемые явления, как это было, например, с движением планеты Уран, но и заглянуть туда, где еще в принципе не могло быть опытных, экспериментальных данных.

О математических моделях в экономике

Экономика и математика связаны между собой уже тысячелетия. Само появление чисел, их названий и обозначений, создание систем счисления и всего того, что ныне составляет основу математики, было вызвано к жизни задачами практики, производства, обмена и торговли! И по мере возникновения, становления и развития математики укреплялись и ее связи с экономикой. Поэтому неудивительно, что и современная экономика широко использует математические методы. Эти методы позволяют ей точно м компактно излагать многие основные положения экономическом теории, получать теоретические выводы из изучаемых экономических задач, высказывать прогнозы, давать рекомендации и устанавливать различные связи между экономическими характеристиками. Особенность моделирования экономических процессов состоит в исключительном многообразии и разнородности предмет моделирования. Например, только перечень товаров и ycлуг современном производстве насчитывает десятки миллионов наименовании. Наряду с процессами технического характера, моделирование которых принципиально не отличается от моделей в физике и тexнике, в экономике происходят и социальные процессы где на первый план выдвигаются поведение человека, отношения между

людьми в обществе и т.д. Но математические модели социальных процессов разработаны еще очень слабо. Однако существует большое количество экономических проблем, в которых описание социально-экономических процессов не является необходимым. Именно к таким проблемам, прежде всего и применяются методы математического моделирования.

К экономико-математическому моделированию прибегают с целью отыскания наилучшего решения (в смысле максимума или минимума) задачи управления той или иной социально-экономической системой. В процессе решения данной задачи экономисту необходимо построить и исследовать модель соответствующей экономической системы.

Моделью называют некий объект, который способен в определенных условиях замещать собой исследуемую систему, воспроизводя при этом все интересующие исследователя свойства и характеристики оригинала. При этом модель должна быть более проста для исследования, чем исходная система.

Математические модели для описания экономических систем

Преимущество использования математических моделей для описания экономических систем заключается в следующем:

1. В процессе построения математической модели исследователь может определить существенные и не существенные для исследуемой системы связи и параметры.

2. Математическая модель позволяет установить взаимосвязь между различными параметрами системы, а также описать влияние одних параметров на другие.

3. Математическая модель, в отличие от вербальной, позволяет описать процесс компактно, в виде набора математических соотношений.

4. Построенная математическая модель может быть использована для численного анализа исследуемой системы с помощью ЭВМ. Это позволяет выявить альтернативные сценарии поведения системы.

5. Используя математический аппарат, исследователь может получать новые знания об исследуемой системе, адекватные реальности в той же степени, что и построенная модель.

Математические модели социально-экономических систем можно разделить на поведенческие и феноменологические.

Основные направления экономико-математического моделирования

Основными направлениями математического моделирования в экономике являются:

Математическая экономика занимается построением и анализом феноменологических моделей микро- и макроэкономики, (модели потребительского выбора, модели конкуренции, модели общего равновесия и т. д.).

Финансовая математика занимается построением поведенческих моделей экономических процессов, связанных с предоставлением денег в долг в той или иной форме (помещение средств на банковский счет, вложение средств в инвестиционный проект, инвестиции в ценные бумаги). Критерием оптимальности функционирования системы является максимизация прибыли инвестора и минимизация риска инвестиций.

Исследование операций в экономике занимается построением моделей принятия оптимальных решений в условиях ограниченности ресурсов (модели линейного и нелинейного программирования, модели сетевого планирования, модели управления запасами).

Особенности моделирования социально-экономических систем

Основные особенности моделирования социально-экономических систем заключаются в следующем:

1. Для исследования экономических систем невозможно прибегнуть к построению моделей подобия (натурных моделей). Естественно, что невозможно построить уменьшенную копию фондового рынка или фирмы.

2. В экономике крайне ограничены возможности экспериментальных исследований. Это связано с тем, что все экономические системы взаимосвязаны друг с другом и эксперимент в чистом виде невозможен. Кроме того, эксперимент не позволяет оценить долгосрочных последствий принятия того или иного решения.

Таким образом, единственный способ моделирования экономической системы заключается в построении математической модели соответствующей системы.

К экономико-математическому моделированию прибегают с целью отыскания наилучшего решения (в смысле максимума или минимума) задачи управления той или иной социально-экономической системой. В процессе решения данной задачи экономисту необходимо построить и исследовать модель соответствующей экономической системы.

Моделью называют некий объект, который способен в определенных условиях замещать собой исследуемую систему, воспроизводя при этом все интересующие исследователя свойства и характеристики оригинала. При этом модель должна быть более проста для исследования, чем исходная система.

1.7.Ход построения экономико-математической модели

Ход построения и исследования экономико-математической модели включает в себя следующие этапы:

1. Постановка задачи. На данном этапе формулируется задача построения математической модели, выявляются основные предположения и допущения, которые будут положены в основу модели.

2. Формализация модели. На данном этапе, исходя из сделанных предположений, осуществляется запись модели в виде математических соотношений.

3. Математический анализ модели. На данном этапе с помощью математического аппарата выявляются основные свойства построенной модели, а также добываются новые знания об исследуемой системе, адекватные реальности в той же мере, что и предпосылки, положенные в основу модели.

4. Численный анализ модели с помощью ЭВМ. На данном этапе с помощью вычислительной техники выявляются альтернативные сценарии поведения и развития исследуемой системы.

5. Анализ результатов моделирования. На данном этапе проверяется соответствие реальной действительности тех предположений и допущений, которые были положены в основу модели и (как следствие) возможности применения результатов моделирования на практике.

1.8. Постановка задачи линейного программирования

Многие практические задачи сводятся к системам неравенств относительно нескольких переменных. В качестве примера можно указать задачи, связанные с планированием производства. Обычно эти задачи формируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах, которые, как правило, задаются при помощи ряда неравенств. В итоге приходится искать наибольшее или наименьшее значение некоторой функции в области, которая задаётся системой неравенств.

Задачи такого типа относятся к задачам линейного программирования.

1.9. Каноническая форма задачи линейного программирования

Каждую задачу линейного программирования можно свести к следующей стандартной форме: найти неотрицательные значения переменных x1, x2,…, xn, которые удовлетворяли бы системе уравнений:

а11x1 + a12x2 + ………… + a1nxn = b1

а21x1 + a22x2 + ………… + a2nxn = b2

…………………………………………………

аm1x1 + am2x2 + ………… + amnxn = bm

и обращали в минимум функцию L(x1, x2,…, xn) = c1x1+ c2x2 + … + cnxn.

Так сформулированную задачу специалисты называют общей задачей линейного программирования в канонической форме.

1.10. Симплекс-метод

Симплекс-метод даёт возможность минимизировать функцию на выпуклой многогранной области многомерного пространства путём определённого перебора вершин этой области.

Этот метод используется для решения задач линейного программирования с помощью ЭВМ.

Алгоритм симплекс-метода

Определяется некоторый опорный план, которому соответствует вершина области допустимых решений.

Найденный опорный план (вершина) проверяется на оптимальность. Пусть этот план не оптимален.

Определяется следующий опорный план (вершина) лучший по отношению к предыдущему в результате движения по ребру. Вершина проверяется на оптимальность.

Процесс поиска продолжается до тех пор, пока не будет найдена оптимальная вершина, то есть решение задачи линейного программирования.

1.11. Задача оптимизации

По своей сущности задача оптимизации – это математическая модель определённого процесса производства продукции, его распределении, хранении, переработки, транспортирования, покупки или продажи и т.д. Это обычная математическая задача типа: дано /найти/ при условии, но которая имеет множество возможных решений.

Таким образом, задача оптимизации – задача выбора из множества вариантов наилучшего, оптимального.

Экономико-математические модели представляют обширный и достаточно мощный научно-исследовательский, аналитический инструмент познания.

1.12. Экономика города Балаково

Электроэнергетика нашего города представлена 3 предприятиями, на которых работает более 5 тысяч человек. Основные из них: Саратовская ГЭС и Балаковская атомная электростанция.

На Саратовской ГЭС производство электроэнергии за отчётный период составило 4,6 млрд.кВт.час.

Нефтехимическая отрасль представлена предприятием ОАО «Балаковорезинотехника», ведущем предприятии отрасли, объем производства составил 3,3 млрд. рублей. Хочется отметить, что в рейтинге промышленных предприятий области, составленном комитетом промышленности, науки и технологий области по итогам первого полугодия текущего года, ОАО «Балаковорезинотехника» оказалось на 4 месте. Несмотря на остановку конвейера своего основного потребителя продукции ОАО «АвтоВАЗ» в начале года, предприятие показало лучший результат по прибыльности и второй результат по объёмам произведённой продукции.

Химическая отрасль представлена 8 предприятиями, на которых работает около 8,5 тысяч человек. Основные предприятия — ОАО «Балаковское химволокно» с дочерними предприятиями (ОАО «Полипропилен», ОАО «Нить», ОАО «СКЗ», ОАО «Вискозное волокно», ОАО «Целлофан») и ООО «Балаковские минеральные удобрения».

Основной номенклатурой, обеспечивающей объёмы производства в отрасли, являются волокна и нити химические, минеральные удобрения, серная кислота. Предприятия холдинга ОАО «Балаковское химволокно» (ОАО «Полипропилен», ОАО «Нить», ОАО «Вискозное волокно)

Основной вид деятельности ООО «БМУ» — производство минеральных удобрений. За 2008 года произведено удобрений и кормового монокальцийфосфата в пересчёте на 100% питательных веществ 286,4 тыс.тонн .Выпуск серной кислоты составил 795,2 тыс. тонн.

Машиностроение представлено двумя предприятиями ОАО «ВДМ» и ЗАО «Волжский литейный завод».

В 2008 году выпущен 71 дизель.

Основными предприятиями пищевой отрасли являются: ОАО «Пивкомбинат «Балаковский», ОАО «Мясокомбинат «Балаковский» и ЗАО «Балаковохлеб». Доля отрасли в общем объёме производства составляет 3%.

Виды выпускаемой продукции: хлеб и хлебобулочные изделия, майонез, колбасные изделия , кондитерские изделия , пиво , макаронные изделия Рост производства макаронных изделий связан с вводом в 2002 году новой более производительной линии на ЗАО «Балаковохлеб».

Деревообрабатывающая промышленность представлена производственной компанией «ЕМК» филиал ОАО МК «Шатура».

Другие крупные организации — ОАО «Саратовгэсстрой» и ЗАО «Химформ».

Агропромышленный комплекс всегда играл немаловажную роль в развитии экономики Балаковского муниципального образования. На территории БМО зарегистрировано 30 хозяйств различных форм собственности и 274 крестьянско-фермерских хозяйств.

Валовый сбор зерновых за 2008 год составил 107 тыс. тонн, средняя урожайность 17,6 ц/га.

В строительстве предприятиями и организациями всех форм собственности за 2008 год построено более 9 тыс.кв.м жилья.

Исследовательская часть

Задача №1

С ОАО Пивкомбинат «Балаковский» привозят продукцию на торговую базу «Кристалл» машинами 1тонна и 2 тонны. За 1 час торговый склад может принять не более 10 машин, но при этом не более 8 машин по 1 тонне и не более 6 машин по 2 тонны. Сколько машин по 1 и 2 тонны нужно отправлять с пивкомбината на торговый склад за 1 час, чтобы перевезти наибольшее количество продукции?

Решение

Пусть за один час отправляется x машин по 1 тонне и y машин по 2 тонны. По условию задачи получим систему неравенств:

x≥0,

y≥0,

x≤8,

y≤6,

x+y≤10.

Всего за один час перевозится x +2y тонны продукции. Задача свелась к нахождению наибольшего значения линейной функции: S(x;y) = x + 2y в области, заданной системой неравенств.

Множеством решений данной системы является многоугольник F, изображённый на рисунке.

Среди всех точек многоугольника F функция S(x ; y) = x + 2y принимает наибольшее значение в вершине многоугольника (4;6). Это значение равно S(4;6) = 1∙4 + 2∙6 = 16.

Ответ: 4 машины по 1 тонне и машин по 2 тонны продукции.

Задача №2

Из сёл «Еланка» и «Подсосенки» на склады ОАО «Молоко Поволжья» нужно привезти молоко. ОАО «Еланка» всё сырьё может погрузить на 80 машин, а ООО «Подсосенки» на 100 машин. Склады ОАО «Молоко Поволжья» должны принять: склад №1 – 50 машин, склад №2 – 70 машин, склад №3 – 60 машин. Количество бензина (в литрах), которое расходует одна машина на пробег с полей до склада, задаётся таблицей 1.



Склады

№1

№2

№3

«Еланка»

2

4

5

«Подсосенки»

4

5

3



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap sitemap