Лекция 3



Лекция 3

Электростатика проводников

Мы начнем с изучения постоянных электрических полей, создаваемых заряженными проводниками.

1. Поле внутри и снаружи проводника

В электростатическом случае:

а) Поле E внутри проводника E = 0

I вариант от противного. Если E ≠ 0, то следует возникновение тока, распространение тока связано с диссипацией энергии и потому не может само по себе, без внешнего источника энергии, поддерживаться в стационарном состоянии.

II вариант. Поместим проводник, например металлический, во внешнее электрическое поле или сообщим ему какой-либо заряд. Тогда на все заряды проводника начнет действовать электрическое поле. Отрицательные заряды (электроны в металле квазисвободные и могут относительно свободно перемещаться внутри проводника от атома к атому) сместятся против поля (за малую долю секунды) так, что установится такое распределение зарядов, при котором во всех точках внутри проводника электрическое поле станет нулевым E = 0. То есть, в случае наличия внешнего статическом электрического поля (поля создаваемое сторонними зарядами) в проводнике, изначально даже незаряженного, появляются индуцированные заряды, которые создают во всем пространстве (как внутри, так и снаружи проводника) свое электрическое поле. Поле, создаваемое этими зарядами внутри проводника, полностью компенсирует поле сторонних зарядов.

б) Так как внутри проводника поле E = 0, то плотность избыточных (индуцированных или нескомпенсированных) зарядов внутри проводника также всюду равна нулюинд. внутр.= 0). Это следует из теоремы Гаусса для вектора E

εο – Теорема Гаусса для вектора E, (1)

S

т. к. внутри проводника E = 0, то, поток вектора E сквозь любую замкнутую поверхность внутри проводника также равен нулю. Это значит, что внутри проводника избыточных зарядов нет!

в) Электрические избыточные заряды появляются в проводнике лишь на поверхности проводника с некоторой плотностью σ, в общем случае различной в разных точках поверхности. Избыточный заряд находится в очень тонком поверхностном слое. Его толщина около двух межатомных расстояний: порядка 20Аοο – Ангстрем 1Аο = 10-8м) в твердом теле и в жидкости; ≈ 100Аο в газе.

г) Равенство поля E = 0 внутри проводника, согласно связи E с φ

E = – grad φ означает, что φ = const во всех точках внутри проводника, т. е. любой проводник в электрическом стационарном поле представляет собой эквипотенциальную область (φ = const), следовательно, и его поверхность также является эквипотенциальной.

д) Из того, что на поверхности проводника φ = const следует, что у самой этой поверхности поле E перпендикулярно этой поверхности, т. е. направлено по нормали к ней в каждой точке. Если бы это было не так, то под действием касательной составляющей Et заряды пришли бы в движение, и равновесие зарядов было бы невозможным. Итак, Et = 0 – тангенциальная составляющая электрического поля Et = 0 на поверхности проводника равна нулю Et = 0 – это граничное условие для E на поверхности проводника.

е) Заметим, в точках, не слишком близких к поверхности проводника (тела) среднее поле E в пустоте фактически совпадает с истинным (микрополем) полем e (и справедливо – д). Эти две величины E и e отличаются друг от друга лишь на расстояниях в непосредственной близости к телу (на расстояниях менее 20Аο), где еще сказывается влияние нерегулярных молекулярных полей. Последнее обстоятельство, однако, не отражается на виде усредненных уравнений поля.

ж) Точные микроскопические уравнения Максвелла для стационарного поля в пустоте:

div e = 0 rot e = – ,

где h – микроскопическая напряженность магнитного поля. Так как среднее магнитное поле предполагается = 0, то и производная < > = 0 в результате усреднения равна нулю, и мы находим, что постоянное электрическое поле в пустоте удовлетворяет обычным макроскопическим уравнениям:

div E = 0 rot E = 0,

т. е. является потенциальным: E = – grad φ и потенциал φ удовлетворяет уравнению Лапласа. Δφ = 0 (Δ = 2)

При наличии в вакууме свободных зарядов с плотностью ρсв(r) мы имеем:

div e = ; Δφ = – – уравнение Пуассона.

2. Поле у поверхности проводника

Пусть на поверхности проводника имеется поверхностный заряд с плотностью σ, тогда напряженность электрического поля E непосредственно у поверхности проводника связана с локальной плотностью поверхностного заряда σ.

Для определения этой связи используем теорему Гаусса. Пусть проводник граничит с вакуумом. Выберем в виде цилиндра замкнутую поверхность S, охватывающую элемент поверхности проводника (внутри и снаружи) площадью dS (см. рис.1). Так как вектор E перпендикулярен

поверхности проводника, то E dS, поэтому боковую поверхность цилиндра ориентируем перпендикулярно элементу поверхности dS , а торцы параллельно dS. При таком выборе форы замкнутой поверхности поток вектора E через замкнутую поверхность S будет равен только потоку через ее наружный торец (потоки через торец внутри проводника (там E = 0) и боковые поверхности (там E параллельно ей) равны нулю). Тогда мы имеем:

EndS = qвнутр. / εο = σdS /εο

S

Здесь En – проекция вектора E на внешнюю нормаль n, но |E| = En, т. к. Et = 0. После сокращения dS получаем связь σ с E на поверхности проводника, граничащего с вакуумом

СИ СГСЕ

|E| = En = σ/εο = 4πσ

Это соотношение следует из общего микроскопического уравнения:

div e = 4πρ (ρ – плотность распределения зарядов). После усреднения ρ получаем: div Е = 4π, где – средняя плотность заряда.

Итак, если σ > 0, то En > 0, т. е. En↑↑n, где n – внешняя нормаль; если σ < 0, то наоборот.

Отметим, что в общем случае поле E вблизи проводника зависит не только от локальной плотности σ заряда на поверхности проводника. Оно определяется всеми зарядами рассматриваемой системы, как и само значение σ.

3. Силы, действующие на поверхность проводникапондермоторные силы

Пусть заряженный проводник (заряженная поверхность) граничит с вакуумом. Тогда на его элемент поверхности ΔS действует сила ΔF равная

ΔF = σΔSE0 ,

где σ – поверхностная плотность заряда, σΔS – заряд элемента поверхности ΔS, E0 – напряженность поля, создаваемая в точке нахождения элемента ΔS всеми остальными зарядами системы – заряды, находящиеся вне элемента ΔS. Сразу отметим, что E0E вблизи данного элемента поверхности ΔS.

Найдем связь поля E с полем E0 и соответственно само поле E0.

Пусть Eσ – напряженность поля, создаваемая зарядами на площадке вблизи ее поверхности. Размер площадки ΔS выбираем малым настолько, что его можно считать плоским и в его пределах значения σ и, соответственно E0 и E постоянны. В этом случае элемент ΔS можно считать равномерно заряженной плоскостью. Тогда поле Eσ, создаваемое заряженной плоскостью, можно определить, используя теорему Гаусса (для нашего случая см. рис.2, выбор положения и формы замкнутой поверхности и порядок рассуждений аналогичен действиям, сделанным чуть выше):

2EσΔS = σΔS /εο,

S

здесь поле Eσ существует как снаружи, так и внутри проводника, причем там и там они равны по величине, но противоположно направлены, при σ >0 они направлены от элемента поверхности ΔS и перпендикулярны ей (как показано на рис.2), поэтому поток вектора Eσ через замкнутую поверхность S равен потоку через два торца цилиндра ΔS и равен 2EσΔS. Таким образом

Eσ =это величина полей от заряженной плоскости по обе ее стороны, а их направление определяется знаком поверхностного заряда σ и перпендикулярно поверхности.

Внутри проводника поле E равно нулю, и в тоже время равно сумме полей Eσ и E0 , следовательно, по модулю эти поля равны Eσ = E0 и противоположно направлены. Снаружи проводника эти поля, так же, равны по величине, но направлены в одну сторону и тогда , т.к. поле E равно (его значение мы определили в предыдущем пункте 2.)

E = = Eσ + E0 = 2 E0 ,

здесь n наружная нормаль к поверхности проводника в точке определения поля. Отсюда

E0 = .

И тогда сила ΔF, действующая на элемент поверхности ΔS равна

ΔF = σΔSE0 = ΔS ,

а сила F, действующая на единицу поверхности, или поверхностная плотность сил (F = ΔF/ΔS) будет имеет вид:

F =

Видно, что независимо от знака σ и направления вектора поля E вблизи поверхности, сила F всегда направлена наружу от проводника (как и наружная нормаль n), стремясь его растянуть.

4. Свойства замкнутой проводящей оболочки

а) Так как в состоянии равновесия избыточных зарядов внутри проводника нет (мы это установили), следовательно, удалив часть внутренней оболочки (создав полость), мы поле не изменим. То есть распределение зарядов на наружной поверхности проводника не изменится, следовательно, если в полости нет зарядов, то электрическое поле в полости Eвнутри = 0. Таким образом, внешние заряды (заряды на поверхности и вне проводника) не создают поля внутри проводника и в полости (при этом на внутренней поверхности полости зарядов тоже нет). На этом основано экранирование тел – электростатическая защита, экранировка.

б) Пусть в полости есть заряды и их суммарный заряд равен q. Так как всюду в проводнике E = 0, следовательно, будет равен рулю и поток вектора E через замкнутую поверхность внутри проводника, окружающую полость. Тогда из теоремы Гаусса следует, что 1) алгебраическая сумма зарядов внутри полости и индуцированных зарядов на ее поверхности равна нулю. Отсюда следует 2) суммарный индуцированный на поверхности полости заряд равен – q суммарному заряду внутри полости с обратным знаком и распределен на ней так, что, создаваемое им поле снаружи полости полностью компенсирует поле от зарядов, расположенных внутри полости (т.к. поле внутри проводника равно нулю).

Так как поле вне полости равно нулю (внутри проводника), то можно удалить внешнюю часть проводника, оставив тонкую оболочку. Тогда вне этой оболочки поле от зарядов внутри полости и индуцированных на ее поверхности так оболочки же равно нулю. В силу электрической нейтральности вещества на внешней поверхности проводника так же появятся индуцированные заряды. Их суммарный заряд qнар.инд. равен по величине и противоположен по знаку заряду индуцированному на поверхности полости и, соответственно, равен суммарному заряду q внутри нее. Индуцированные заряды qнар.инд. будут распределены на внешней поверхности проводника так, что создаваемое ими поле внутри проводника равно нулю, а снаружи определяется суммарным зарядом q внутри полости (независимо от их расположения) и формой наружной поверхности проводника.

Таким образом, замкнутая проводящая оболочка разделяет все пространство на две части – внутреннюю и внешнюю, в электрическом отношении не зависящие друг от друга. (Все справедливо в рамках электростатики).

Частный случай замкнутой поверхности – бесконечная проводящая плоскость. Это надо понимать так, что любое перемещение зарядов внутри полости не изменяет поля снаружи проводящей оболочки, следовательно, распределение зарядов на внешней оболочке тоже не изменится. То есть поле снаружи проводящей оболочки не изменяется, а, следовательно, не изменится и распределение зарядов на наружной поверхности проводящей оболочки.

5. Энергия электростатического поля проводников, электроемкость, конденсаторы

1. Рассмотрим какой-либо уединенный проводник (т. е. далеко удаленный от других). Из опыта следует, что между зарядом q проводника и его потенциалом φ (полагаем φ на ∞ = 0) есть линейная связь (прямо пропорциональная), следовательно: q / φ = const = С – электроемкость, или сокращенно емкость. Величина емкости С зависит от размеров и формы проводника. Размерность емкости C, [Ф] (Фарада) – в СИ, и С, [см] – в СГСЕ.

2. Конденсаторы.

Если проводник не уединен, то его емкость будет существенно увеличиваться при приближении к нему других тел (проводников), т. к. поле данного проводника вызывает перераспределение зарядов на окружающих телах, т. е. появление индуцированных зарядов.

Пусть заряд проводника q > 0, следовательно, отрицательные индуцированные заряды на других телах оказываются ближе к проводнику, чем положительные. Так как потенциал проводника равен алгебраической сумме потенциалов собственного заряда и зарядов, индуцированных на других телах, то он (потенциал проводника) уменьшается при приближении к нему других незаряженных тел. Следовательно, его емкость C возрастает. Такие системы проводников называют конденсаторами. Простейший конденсатор – это две параллельные пластины из проводников, отстоящих на небольшом расстоянии друг от друга. В электросхемах емкость обозначают так ┤├ .

В конденсаторах все поле Е в основном сосредоточено внутри между обкладками (заряды на обкладках q и – q, разность потенциалов U).

C = ,

где q – заряд на положительно заряженной обкладке.

С зависит от геометрии (размеров и формы обкладок, зазоров между ними) и от заполняющей конденсатор среды.

3. Энергия электростатического поля заряженных проводников в вакууме

Энергия We электрического поля в объеме V равна (в СГСЕ)

We =

V

Здесь интеграл по всему объему V пространства вне проводников, т. к. внутри проводника Е = 0. Используем связь E = – grad φ и тогда

We =

V

Используем известное выражение из векторной алгебры для произведения трех векторов a(bc) = c(ab) – b(ac) и тогда получим

We = – +

V V

Полагаем, что в пространстве между заряженными проводниками (вне проводников) зарядов нет, следовательно, div Е = 0 и второй интеграл = 0.

Первый интеграл по объему согласно теореме Остроградского-Гаусса преобразуется в интеграл по поверхностям на проводниках и на бесконечно удаленной от проводников поверхности. Но на последней Е = 0 и потенциал φ на бесконечности принимаем равным нулю, φ = 0.

Тогда, полагая потенциал на каждой поверхности n-ого проводника равным (или просто потенциал проводника) φa (a – 1……N – индекс n-ного проводника), а его заряд равным qа можно записать для We:

We = ,

Sa

Здесь интеграл по замкнутой поверхности проводника с индексом «а» Sa.

Так как φа = const на поверхности проводника, следовательно, его можно вынести за знак интеграла, а и тогда

We =

Можно ввести емкость по аналогии

qa = ,

где Caa – (при b = a) коэффициенты емкости, а Cab – (при b ≠ a) коэффициенты электростатической индукции.

Если ввести обратное выражение для потенциала через заряд, то

φa = ,

где коэффициенты составляют обратную матрицу матрице Cab .

Коэффициенты Cab = Cba , = , Caa > 0 и > 0 , а при a ≠ b Cab и < 0 .

Если меем только два проводника (обычный конденсатор), то полагая потенциал одного проводника равным нулю, например φ1 = 0 , а разность потенциалов φ1 – φ2 = U = φ2 , получим для We

We = C22U2. Известное вам выражение для энергии конденсатора имеет вид We = CU2 . Видно, что C22 = C.



sitemap
sitemap