Лекция 1



Электродинамика сплошных сред

Теория поля

Часть вторая

Соловьев Александр Петрович

Лекция № 1

Литература:

1. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред, 1957 – 1982 гг. изд.

2. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц. Курс теоретической физики. Т. 2.

Теория поля 2002 г.

3. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны.

4. Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн.

5. Кацеленбаум Б. З. Высокочастотная электродинамика.

6. И. Е. Иродов. Основные законы электромагнетизма. М., Высшая школа,1983.

Введение

Электродинамика – это очень большой раздел науки. Она является eтеоретическим инструментом радиоинженера. Естественно, мы затронем только основополагающие вопросы электродинамики сплошных сред.

Данный курс посвящен: а) теории электромагнитных полей в материальных средах и в) теории макроскопических электрических и магнитных свойств веществ.

Мы рассмотрим некоторые вопросы распространения электромагнитных волн в материальных средах и, в частности, в некоторых радиотехнических устройствах, используемых в СВЧ (сверхвысокие частоты) (диапазон длин волн λ – 1 м – 0,1 мм) и оптическом диапазоне (λ – 0,1 мм – 0,1 μк) длин волн.

1. Уравнения Максвелла

Из первой части курса «Теория поля», прочитанного вам в предыдущем семестре, вы узнали основные законы электродинамики, описывающие изменения и связь электрических и магнитных полей, которые описываются уравнениями Максвелла. В системе единиц СИ и СГСЕ они имеют вид:

СИ СГСЕ

rotH = + je rotH = + je

rotE = rotE = (1)

divB = 0 divB = 0

divD = ρe divD = 4πρe

где H, E, B и D есть векторы напряженности и индукции магнитного и электрического полей; ρе и jе – объемные плотности электрического заряда и тока (вектор). При этом jе = jпр + jстор + jк есть сумма плотностей токов проводимости, стороннего и конвекционного.

Эти уравнения дополняются материальными уравнениями, связывающие между собой индукции напряженности полей:

СИ СГСЕ

B = μоμ H B = μ H (2)

D = εоε E D = ε E ,

где: εо ≈ 9*1012, [Ф/м] и μо ≈ 1,26*106, [Гн/м] – электрическая и магнитная постоянные; а ε и μ – диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, для вакуума ε = 1 и μ = 1. Константы εо и μо имеют следующую связь со скоростью распространения электромагнитных волн в вакууме c = 3*108 [м/с]:

1/εоμо = c2 (3)

Из уравнений (1) и (2) можно получить следующие уравнения:

jпр = σE – закон Ома в дифференциальной форме

divjе + – закон сохранения заряда (непрерывности).

Векторное электрическое поле Е можно описать через скалярный потенциал φ. Их связь имеет вид:

E = grad φ

Напомним (из векторной алгебры, или аналитической геометрии), что такое rot a, div a, grad a , где а(r) и а(r) некая векторная а и скалярная а функция координаты r. Они являются результатом соответствующего действия векторного оператора (в прямоугольной системе координат он имеет вид , здесь i, j и k – единичные вектора в направлениях осей x, y и z , соответственно) на вектор а или скаляр а – rot a (векторное произведение векторов), div a и grad a (скалярные произведения векторов и вектора на скаляр, соответственно). В прямоугольной системе координат результат этих действии имеет вид:

rot a = ) +) +),

div a =

grad a =

В уравнениях (1) и (2) ε и μ для различных сред могут быть функциями f(t, r, ω и т.д.) – от времени t, координаты r, частоты переменного электромагнитного поля ω и т. д.

Если ε и μ постоянные и не являются функциями переменных f(t, r, ω и т. д.) – например, для вакуума, то уравнения Максвелла упрощаются и принимают вид:

СИ СГСЕ

rotH = εоε + je rotH = + je

rotE = μоμ rotE = (5)

divH = 0 divH = 0

divE = ρe/ εоε divE = 4πρe/ ε

Уравнения (5) асимметричны относительно B и D. Для симметрии чисто формально вводят магнитные заряды ρm и токи jm и тогда уравнения Максвелла (при ε и μ – константы) выглядят так:

rotH = εоε + je rotH = + je

rotE = μоμ jm rotE = jm (6)

divH = ρm/ μоμ divH = ρm/ μ

divE = ρe/ εоε divE = 4πρe/ ε

1.1. Волновое уравнение

Если взять rot от первых двух уравнений Максвелла, то получатся известные вам волновые уравнения, используемые в задачах нахождения распределения и возбуждения волн. Получим их.

Из аналитической геометрии (или векторной алгебры) известно соотношение: rot(rot a) ≡ = ≡(2a = grad(div a) – 2a

Тогда после взятия rot от первых двух уравнений Максвелла (6) получим:

2H = grad ρm + εоε rot je



(7)

2E = grad ρe + μоμ + rot jm

Можно увидеть дуализм в уравнениях (7). При переходе от первого ко второму и наоборот надо производить замену EH, ε ↔ –μ, jе ↔ –jm, ρе ↔ – ρm.

Уравнения (7) используют в задачах возбуждения полей некими зарядами и токами (антеннами).

Штырь длиной l он же вектор le вектор

Коаксиальная линия

Pe = ρele – диполь Герца – линейная антенна

Pm

n

S

I – круговой ток

Pm = ISn– рамочная антенна, где S – площадь кругового тока, n – единичный вектор или нормаль к контуру, направление которого связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (при вращение ручки буравчика по направлению движения часовой стрелки, совпадающем с направлением кругового тока остриё буравчика указывает направление вектора Pm).

Если в уравнении (7) нет токов и зарядов (ρm, ρе, jе, jm = 0), то (7) принимает вид:

2H = 0

(8)

2E = 0

Напомним – это при ε и μ – константы.

1.2. В интегральной форме уравнения Максвелла имеют вид:

в СГСЕ

1) –обобщенный закон Био-Савара

L S

Здесь: L – замкнутый контур, Hτ – тангенциальная составляющая вектора H к элементу контура (это вектор, направление которого соответствует выбранному направлению обхода по контуру L);

S – поверхность, натянутая на контур L и ограниченная им. Форма этой поверхности любая – плоская, выпуклая и т. д.



– нормальная составляющая плотности токов проводимости или стороннего к элементу поверхности ;

Dn – проекция вектора D на нормаль к .

Первое слагаемое в подынтегральном выражении еще называют плотностью тока смещения.

2)

L S

– циркуляция вектора напряженности электрического поля E равна скорости изменения потока индукции магнитного поля B через поверхность S, натянутой на контур L, взятой с обратным знаком.

3) – это теорема Гаусса для вектора B

S

– она говорит об отсутствии магнитных зарядов (опытные данные).



В подынтегральном выражении Bn – проекция B соответствует его проекции Bn на нормаль к dS – элементу поверхности S.

3) – это теорема Гаусса для вектора D

S V

Она является обобщенный закон взаимодействия зарядов. Здесь S – замкнутая поверхность, а V – внутренний объем, ограниченный этой поверхностью S. ρ – плотность сторонних зарядов.

Материальные уравнения те же

D = εE

B = μH

Описание электрического поля через электрический потенциал

– циркуляция вектора E по замкнутому контуру L

L

– физически это означает, что работа по перемещению единичного точечного заряда в статическом электрическом поле по замкнутой траектории равна нулю.








sitemap
sitemap