Загадка русских саженей



Окружной конкурс

проектно-исследовательских и реферативных работ

школьников по математике

Загадка русских саженей

ГБОУ СОШ №629 ЮАО

117405 Варшавское шоссе д. 156Б

тел./факс: (495)386-12-59

Email: sch[email protected]sinergi.ru.

Автор Осмоловская Дарья Анатольевна,

учащаяся 8 «Б» класса

8 495 389 31 23.

Руководитель учитель математики

Щелконогова Ольга Юрьевна

8 495 389 67 53

Email: Olja[email protected]yandex.ru

2013г

Оглавление

1.Введение. 3стр

2.Академик Б. А. Рыбаков о метрике русскойархитектуры средних веков 4стр

3. Анализ древнерусских мер по ШевелевуИ.Ш. 8стр

4.Исследование системы русскихсаженей более позднего периода А. Пилецким. 10стр

5.Заключение. 14стр

6.Библиография. 17стр

Введение

Искусство — завуалированнаяалгебра, отнимающая жизнь у тех, ктостремится приподнять ее покрывало.

Б у р д е л ь

Долгое время считали, что зодчие Древней Русистроили все «на глазок», без особых математическихрасчетов. Однако новейшие исследования показали, чторусские архитекторы хорошо знали математическиепропорции, о чем свидетельствует анализ геометриидревних храмов. Для соблюдения этих пропорций, со-здания соразмерных, гармоничных композиций необхо-димы определенные меры длины.

Основной строительной единицей длины ДревнейРуси была сажень. Слово «сажень» происходит от слова«досягать» и определяется досяганием рук человека.Казалось бы, должен существовать один эталон длины,одна сажень и ее производные, части сажени: локти,вершки, пяди и т. д. Однако известно, что на Руси былонесколько саженей, значительно отличающихся по раз-мерам. Расстояние от земли до конца пальцев вытяну-той вверх руки человека среднего роста определялоразмер «большой сажени», равный 216 см. Расстояниемежду концами пальцев простертых в стороны рук опре-деляло размер мерной, или маховой, сажени, равной около 176 см. Расстояние от конца пальцев простертойруки до земли, равное двум шагам, или 5/6 роста чело-века, называли прямой саженью. Указанные сажениопределялись пропорциями тела человека. Но числосаженей было больше.

Эти данные поразили меня и заинтересовали.

Целью моей проектной работы стало:

-исследование системы русских мер, её значимости в становлении и развитии русского зодчества и архитектуры.

В ходе выполнения работы были поставлены задачи:

-изучить и проанализировать исторические материалы, литературу по теме;

-расширить свои представления об истории математики и русского зодчества;

-приготовить презентацию;

Академик Б. А. Рыбаков о метрике русскойархитектуры средних веков

Б.А.Рыбаков с 1949 года изучал метрику русскойархитектуры средних веков, пытался обосновать мате-матически существовавшие в те времена системы мер,используемые при создании архитектурных сооружений.По его мнению, в Древней Руси в период с XI поXVII в. существовало семь видов саженей, применявшихся одновременно:

Простая, или прямая…… 152,76 см;

Мерная, или маховая…… 176,4 см;

Морская……….. 183 см;

Трубная……….. 187 см;

Сажень без четы…….. 197,2 см;

Косая, казенная…….. 216 см;

Великая, косая……… 249,46 см.

Во многих случаях измерение одного и того же храма производилось одновременноразными видами саже-ней. Очевидно, это не было случайностью, а продиктова-но какой-то идеей зодчего. Оказалось, что длинысаженей взаимосвязаны определенными геометрически-ми соотношениями. Так прямая сажень относится к «ко-сой» сажени как сторона квадрата к его диагонали(216=152,7-√2) (откуда и название — косая). Такоеже соотношение существует между мерной и великойсаженями: 176,4•√2=249,4. Сажень без четы оказа-лась искусственно созданной мерой, которая являетсядиагональю половины квадрата, сторона которого равнамерной сажени.

Таким образом, наличие в Древней Руси несколькихразличных мер длины не является игрой случайности,итогом принципа: «у каждого зодчего своя сажень», астрого продуманным, математически обоснованнымпринципом создания системы мер длины. Оказалось, чтоодновременное употребление разных мер длины при по-стройке даже одного здания было характерно не толькодля русских архитекторов, оно применялось и народамидругих стран. Так, В. Л. Ворониной установлен тот жепринцип геометрической соподчиненности различныхмер длины на примере архитектуры Средней Азии.

Графическим выражением двух систем мер длиныДревней Руси (одной, основанной на простой сажени, идругой, основанной на мерной сажени) являются, помнению Б. А. Рыбакова, хорошо известные «вавилоны»,которые представляют собой систему вписанных квад-ратов и прямоугольников. Наименование «вавилоны»взято из русских источников XVII века и является отра-жением схематического изображения в плане знамени-того храма-зиккурата — Вавилонской башни.

Для построения мерного «вавилона» Б.А.Рыбаковв качестве основы берет мерную сажень, равную176,4 см (по разным источникам ее величина колеблетсямежду 176,0 и 176,8 см).

Рис. 1

На основе этой сажени строится квадрат, а затем и прямоугольный «вавилон»,длинная сторона которого равна мерной сажени, а ко-роткая — 2/3 от нее.

Из полученной таким образом геометрической фигу-рыБ.А.Рыбаков «вывел» все виды древнерусских са-женей (рис. 1). Великая сажень — диагональ квадра-та, сажень без чети — диагональ половины квадрата,мерная сажень — сторона квадрата, косая сажень —диагональ прямоугольного «вавилона», прямая са-жень — диагональ короткой половины «вавилона», труб-ная сажень — диагональ длинной половины «вавилона»и так далее. Все сажени оказываются связаннымив удивительно простую и стройную геометрическую си-стему, содержащую систему мер Древней Руси. Оказа-лось, что из построений «вавилона» вытекают не толькосажени, но и другие меры длины. Так, отрезки БТ иЕЖ на рисунке отвечают локтю (44,1 сантиметра) иравны 1/4 мерной сажени. Отрезки ГФ и ШЗ равны1/2 локтя «смоленского» и равны 1/8 великой сажени.

Совокупность русских саженей можно построить ипо несколько другому принципу — по системе диагона-лей. В основе такого построения лежит квадрат со сто-роной, равной 1/2 мерной сажени. Диагональ его будетравна половине великой сажени. Отложив диагональ напродолжении стороны квадрата, получим прямоугольниксо сторонами а и а√2. Диагональ его будет равнаа√3 = прямой сажени. Продолжив построение по это-му принципу, мы получим последовательно:

а√3 = 152,76 — прямая сажень;

а√4 = 176,4 — мерная сажень;

а√5 = 197,21 — сажень без чети;

а√6 = 216,04 — косая сажень;

а√8=249,46—великаясажень.Этоуже былов Древнем Египте. Действительно, «система диагона-лей» в нахождении гармонических пропорций была из-вестна еще в период строительства пирамид, три тыся-челетия до творений русских зодчих. Что это? Порази-тельный факт преемственности знаний, истоки которыхзародились в Древнем Египте, затем распространялисьв Грецию, Рим, Византию, Европу и Древнюю Русь?!Или это проявление единства законов познания, зако-нов художественного творчества, идущих в своей есте

ственной эволюции от простого к сложному, от целыхчисел к иррациональным, от отдельных фактов и твор-ческих находок к их стройной системе?!

Б.А.Рыбаков впервые представил древнерусскиемеры длины как единую систему. В этой системе рус-ских мер господствующей является идея квадрата, со-отношение 1:√2, и всю систему русских саженей мож-но рассматривать как своеобразную «вариацию на темуквадрата». Сопряженность русских мер была основойсоздания гармонических пропорций архитектурных со-оружений, она и сохранила всю совокупность этих мердлины как единую метрологическую систему ДревнейРуси, в основу которой положены пропорции человече-ского тела.

Анализируя геометрию «вавилона», Б. А. Рыбаковнашел здесь около десятка отношений, очень близкихк золотой пропорции.

Интересно еще одно построение, выполненноеБ. А. Рыбаковым. Если в «вавилоне» со сторонойв 176,4 см мы продолжим стороны среднего по величиневписанного прямоугольника до пересечения их со сторо-нами наибольшего прямоугольника, то получим по уг-лам четыре маленьких прямоугольника со сторонами25,835 см и 18,265 см, что соответствует распространен-ному в XII веке формату русского кирпича. Так, в Ус-пенской церкви Елецкого монастыря в Чернигове основ-ными размерами кирпича являются; 26×18,5×5 см и25 × 18 × 4,5 см.

Можно лишь удивляться столь геометрически краси-вой, продуманной и удобной системе мер, отраженнойв «вавилоне». Недаром Б. А. Рыбаков назвал «вавилон»логарифмической линейкой зодчих Древней Руси.

Анализ древнерусских мер

по Шевелеву И.Ш.

И.Ш.Шевелев продолжил анализ древнерусскихмер и предложил свою систему их построения. По егоданным, сажень в 197,2 см, не имевшая собственнойпары, была окрещена саженью без пары, без чети, а современем — в сажень без чети. Ее считали искусственносозданной мерой, диагональю половины квадрата, сто-рона которого равна мерной сажени. Это значит, чтосажень без чети связана с мерной саженью как 2 и√5 (Рис. 2), то есть как диагональ квадрата в прямоугольникедва квадрата. Морская сажень — искаженное слово за-морская. Ее длина 183 см связана с длиной римскоймеры пасс (148 см) в пропорции (√5—1):1. Пропор-ция церкви Покрова на Нерли осуществлена связью2:√5, применением сажени без чети и мерной. Про-порции шатровых храмов в селе Красном близ Кост-ромы и в Коломенском построены на ос-нове пропорции 1:(√5—1), применением малой и мер-ной саженей.

Далее Шевелев показал, что малая сажень в 142,7 смсвязана с мерной саженью, как 1 и (√5—1). Получи-лось, что непарные сажени Руси — без чети и малая —оказались парными к мерной сажени в 176,4 см —основной мере Древней Руси, равной росту человекаили размаху рук. И. Ш. Шевелев свел все эти построе-ния в наглядный рисунок (рис. 2), на котором изобра-жен прямоугольник со сторонами 1:2, вписанный вполукруг. Полученные величины отрезков отвечают рус-ским саженям, золотой пропорции, пропорциям Парфе-нона, циркулям античности. Наличие нескольких саже-ней на Руси получило убедительное объяснение: онибыли необходимы для обеспечения определенной про-порциональности в архитектуре.

Таким образом, строительные меры Древней Русивыбирались совершенно не случайно, они взаимосвязаны-

Рис.2

в стройную, логически осмысленную систему.Основой этой системы являются пропорции тела сред-него человека, а развитием системы — геометрическиепропорции квадрата и прямоугольника, равного двумквадратам. На основании сведений, полученных раз-личными авторами, И. Ш. Шевелев определил простуюи наглядную взаимосвязь русских саженей, их геомет-рическую сопряженность, основанную на соотношенияхв квадрате и «двух квадратах». По его мнению, всерусские сажени образуют пары, связанные отношения-ми 1:√2; 1:(√5—1) и 2:√5.

Получилась стройная система парных мер, причем вкаждой паре присутствует либо мерная, либо большаясажень, отвечающие размерам тела человека. Системапарных мер облегчала соблюдение гармонических про-порций, организацию самого строительства. Нетруднозаметить, что отношение в парных мерах 1:(√5—1)равно половине золотой пропорции. Золотой пропорцииотвечает также отношение великой косой сажени(248 см) и малой сажени (153 см). Все восемь саже-ней в системе И. Ш. Шевелева являются производнымипростой геометрической фигуры — квадрата, и их си-стему по праву можно назвать вариацией на темуквадрата. Как считает И. Ш. Шевелев, геометрическаягармония самых различных архитектурных сооруженийот Парфенона до русских храмов построена на взаимо-связи трех чисел: 1; 2 и √5, то есть на соотношениисторон и диагонали двух квадратов.

Исследование системы русскихсаженей более позднего периода

А. Пилецким.

Однако в архитектурных сооружениях Руси приме-нялись и другие принципы пропорциональности, и дру-гие сажени. А. Пилецкий исследовал систему русскихсаженей, описанных в трудах по древнерусской метро-логии и архитектуре более позднего периода. Особен-ное внимание он уделил архитектуре XVII—XVIII ве-ков, которая отличается «виртуозностью белокаменнойрезьбы и мастерством ее сочетания с красной кирпич-ной кладкой». Так, по его данным, Рождественскаяцерковь в Нижнем Новгороде имеет на фасаде три ярусабелокаменного декора. Высота первого яруса 441, вто-рого—498, третьего—468 см. Без знания метрикирусских зодчих невозможно объяснить, чем вызваныразличия в размерах ярусов. А вот при пересчете вы-сот на древнерусские меры первый ярус составит2 сажени по 176 см, второй ярус — 2 сажени по197,4 см и третий ярус — 2 сажени по 186,4 см.

Это уже определенная система пропорций, но естествен-но возникает вопрос: почему размеры ярусов отмеря-лись разными саженями?

Подобный подход к членению целого на части обна-ружен А. Пилецким и в других сооружениях этого пе-риода. Так, Смоленская церковь в Гордеевке имеет дваяруса: первый 2 сажени по 244 см и второй — 2 са-жени по 230,4 см. Введенский собор в Сольвычегодскеимеет два яруса декора, равные 2 сажени по 258,4 сми 2 сажени по 244 см. Характерно, что сажень 258,4 смназвания не имеет, но обнаружена во многих памят-никах русской архитектуры.

Изучив метрику русских храмов XVII—XVIII веков,А. Пилецкий установил применение зодчими этого пе-риода десяти различных саженей. В их число входитказенная (217,6 см), народная (176 см), малая(142,4 см), греческая (230,4 см), церковная (186,4 см),простая (150,8 см), великая (244см),царская (197,4см),без названия (258,4 см), без названия (159,7 см).

И вновь возникает вопрос:зачем русским зодчим понадобилось так много различ-ных саженей, какая система объединяет их в единоецелое? А может быть, никакой системы нет, а различ-ные «архитектурные шкалы» в разных районах странывырабатывали свои меры длины? Характерно, что сре-ди десятка саженей нет парных с отношением длин1:√2, поэтому и нет здесь косой сажени, равной диа-гонали квадрата. Несколько пар саженей связаны отно-шением в фигуре «два квадрата» — отношением малойстороны к диагонали без малой стороны, то есть1:(√5—1). А это отношение, как известно, равно полови-не золотой пропорции. Три пары саженей связаны золотойпропорцией. Остановимся только на одной из них: отно-шение одной сажени без названия (258,4 см) к другой(159,7 см) равно 1,6180338. Такой удивительной точно-сти выражения золотой пропорции мы не встречали нив одной паре саженей, ни в одном архитектурном соору-жении! Может быть, эта пара саженей без названия ибыла создана для точного воспроизводства золотой про-порции?

Как видим, рассмотренная совокупность саженей су-щественно отличается от той, что была описана Рыбако-вым и Шевелевым. От прежних саженей сохранилось только три: малая (142,4 см), народная (176 см) и цар-ская (197,4 см), остальные же существенно отличаются.Создается впечатление, что эта система саженей болееизощренная, более точная, о чем свидетельствуют отно-шения в парных саженях. Здесь также сохраняетсяантропометрический принцип: в основе лежит народная,или мерная, сажень (176 см), равная росту человека, сней связана малая сажень, равная расстоянию от вытя-нутой руки до земли (142,3 см). Характерно, что размерпоследней уточнен, что дает более точное соотношение двух саженей, отвечающее половине золотой про-порции.

Отдельные соотношения саженей мы определили —они отвечают золотой пропорции. Это интересно, но этоеще не дает основания утверждать, что вся система рус-ских саженей построена на основе этой пропорции. Нуж-но искать другие закономерности, связывающие все десятьсаженей в систему мер длины

Рис. 3

Разместим сажени в рядпо возрастанию длины — от самой короткой малой са-жени (142,4 см) до самой большой без названия(258,4 см), Нетрудно видеть, что разница в длинах со-седних саженей небольшая и довольно равномерная.Если рассчитать отношения длин рядом расположенныхсаженей, то для семи пар получим одно и то же отно-шение, равное 1,059. Отклонение от этой величины уразличных пар удивительно малое — всего 0,004%!Можно лишь удивляться достигнутой точности в отно-сительных размерах саженей этого ряда. Только междудвумя парами саженей интервал оказался большим иравным 1,102. Похоже, что между ними существовалинекоторые особые отношения длин. Но и без них совер-шенно ясна основа создания системы мерных саженей —это модуль 1,059. Этому модулю отвечают и соотноше-ния ярусов описанных выше русских храмов (Рожде-ственская, Смоленская церкви).

Как известно, модуль в точных науках — это особоважный коэффициент, а в архитектуре — часть построй-ки, служащая единицей измерения для придания сораз-мерности зданию. Похоже, что и при создании системырусских саженей, описанных А. Пилецким, был выбранмодуль 1,059. При этой величине модуля каждая из семисаженей отличается от соседней на 1/17 часть длины.

Нетрудно заметить, что число 1,059 очень близко к .

Расположим все сажени — от самой маленькой досамой большой — на чертеже, на равном расстоянииодна от другой (рис. 3). Получилось три группы мердлины, ограниченных прямыми линиями. При таком от-ношении размеров саженей практически очень легко ипросто производить их проверку, изготовление, конструи-рование новых образцов: по двум точкам на прямой все-гда можно найти третью.

Графическое изображение саженей наглядно иллю-стрирует их закономерное расположение в системе. От-ношение длин саженей в каждой группе равно 1,059, от ношение крайних саженей в группах равно 1,102, четы-ре пары саженей связаны отношением половины золотойпропорции, а три пары — золотой пропорции. В этой си-стеме саженей просматривается и еще одна закономер-ность: отношение ряда саженей укладывается в числа17/16; 18/16; 19/16. Известно, что в русской метрологиибыло принято деление сажени на 2, 4, 8, 16 частей, чтоудобно производить сложением шнура пополам. Так,русский вершок ровно 32 раза укладывается в малойсажени.

Можно предполагать, что эти или подобные им не-сложные геометрические построения и расчеты и леглив основу создания столь гармоничной системы саженей.Пока это только гипотеза. Медленно вместе с читателеммы продвигались к разгадке тайны создания системырусских саженей, снимая один покров за другим, выяв-ляя все новые и новые закономерности. Осталось объ-яснить, почему русские зодчие подчинили систему мердлины модулю, равному 1,0590? Чем замечательна этавеличина, не она ли заставила «звучать колонны»?

Известно, что темперированный звукоряд в совре-менной музыке состоит из 12 интервалов, которые вы-ражаются числами; 1, 21/12, 22/12; 23/12; 24/12 и т. д. — до2 12/12 = 2. Каждый отдельный звуковой интервал, называемый в музыке малой секундой, — это =1,059.Естественно, напрашивается вывод, что система мерныхрусских саженей построена по такому же принципу, чтои темперированный звукоряд в музыке, и величина про-порционального модуля 1,059 равна малой секунде зву-коряда. Трудно допустить, что выбор русскими зодчи-ми размерного модуля равным 1,059 и его соответствиесекунде звукоряда является случайным совпадением.Слишком высока точность соблюдения отношения 1,059в системе русских саженей!

Очевидно, в истории русского зодчества в этот пе-риод произошел «переход к новой системе мер и про-порций», который и привел к новому стилю в зодчестве,поднял гармонию творений архитектуры на качественноновый, более высокий уровень. Характерно, что три па-ры новых саженей обеспечивали золотую пропорцию —критерий гармонии и красоты. Подобно тому, как вистории музыки простая гамма, существовавшая со вре-мен Пифагора, уступила место темперированному зву-коряду, так и в эволюции архитектуры одна системаопорции, существовавшая со времен греческой класси-и, уступила место другой системе русской архитек-рыXVII—XVIIIвеков. Известно, что XVII век был «переходным» в историирусской культуры. В этот период началась смена ста-ых эстетических взглядов и традиций, сложившегосятиля, отработанной многими поколениями художниковехники и исполнения и т. д. В XVII веке, особенно воторой его половине, начала меняться древнерусскаяудожественно-эстетическая система. Как указывает. А. Баженова, «итоговый характер русской эстетиче-кой мысли XVII века диктовал необходимость сохране-ния еще прочных древнерусских эстетических канонов итрадиций, и одновременно из новых условий и потребно-стей времени рождалось… требование изменения старыхканонов, возникновения новых форм художественнойкультуры, а также новых понятий и критериев оценок».Этот переломный период потребовал, в частности, исоздания новой системы мерных саженей.

Становится понятным несоответствие систем русскихсаженей, описанных Б. А. Рыбаковым, и более позднейсистемы, описанной А. Пилецким. Первая система мери пропорций строилась на основе соотношений квадратаи «двух квадратов». Вторая, более поздняя система са-женей, сохранив из опыта прошлого ряд наиболее эсте-тически ценных отношений, и прежде всего золотую про-порцию, была создана на более высоком математиче-ском и эстетическом уровне. Она соединила эти пропор-ции с закономерностями музыкального темперированно-ного звукоряда в цельную и стройную систему.

Заключение.

Создав новую систему саженей, то есть систему мери пропорций, русские зодчие получили богатейший ин-струмент для тонкого архитектурного варьирования, пе-редачи в пропорциях сооружений целой гаммы всевоз-можных оттенков, тонких нюансов, что и обеспечивалосоздание архитектурных произведений более высокогоэстетического уровня. Недаром архитектуру издавна на-зывают застывшей музыкой. Гармоническое сочетаниепропорциональных частей в целом, их соразмерность,органическое единство в архитектуре рождает эмоцио-нальное удовлетворение, эстетическое наслаждение, та-кое же, как и гармоническое сочетание соразмерныхзвуков в музыке.

Французский архитектор Огюст Перре однажды сказал: «Искусство архитектуры заключается в том, чтобызаставить звучать опоры…» Подобно оркестру, звучат ирусские храмы, но для их звучания была нужна системапропорций, своеобразный размерный звукоряд. Его иобеспечивала существовавшая система саженей.

Остается открытым вопрос о том, как была созданасистема саженей, аналогичная темперированному звуко-ряду. Было ли это результатом логически обоснованногорешения или же итогом интуитивного, неосознанного по-иска гармонического сочетания пропорций? Ведь неред-ко интуитивно открытые закономерности значительноопережают их осознанно-логическое постижение.

Ведь и к музыкальной октаве люди пришли интуи-тивно, не понимая сущности, но улавливая благозвучныесочетания. Уже позже наука объяснила сущность музы-кальной октавы, дала ей четкие математические форму-лы. Так и в зодчестве: в стремлении к гармонии формрусские мастера, очевидно, интуитивно пришли к систе-ме саженей, аналогичной музыкальному звукоряду и вто же время основанной на золотой пропорции. В искус-стве и архитектуре интуитивный путь познания являет-ся преобладающим, примером чего может служить таже золотая пропорция. Найденная и применяемая ин-туитивно, она лишь значительно позже была выведенаматематически, стала составной частью научного позна-ния. Возможно, что существуют определенные законыразвития представлений о гармонии, законы продвиже-ния познания по пути приближения к вершинам гармо-нии. И эти законы интуитивно привели творцов прекрас-ного к темперированному звукоряду в музыке и к опи-санной системе саженей в зодчестве.

Следует заметить, что в условиях индивидуальногостроительства, когда каждое архитектурное сооружениебыло неповторимым произведением зодчества, одногоэталона длины или одной пары саженей было недоста-точно. Нужна была развернутая система мерных саже-ней с разнообразными соотношениями. Так, создателюпроизведений живописи необходима не одна-две краски,а целая палитра всевозможных цветов (цветовая окта-ва) для создания разнообразных (цветовых) комби-наций.

Изучение русских саженей, раскрытие тайн русскихзодчих — это не только дань любопытству, это озна-комление с бесценным опытом русских мастеров, с от-крытыми ими «секретами» создания шедевров архитектуры. Как далеко ушла наука наших дней от времен средневековья; как несуразица воспринимается подчас существование многочисленных и «примитивных» мер длиныпрежних времен — всевозможных саженей, в которыхлегко запутаться, локтей, футов, аршин, пядей, шагов,верст и т. п. Какой совершенной представляется намметрическая система мер с ее единственным эталоном —простым и удобным метром.

Но человек всегда, приобретая одно, теряет другое.С введением в обиход метра мы потеряли естественную,.гармоническую систему мер наших предков, основаннуюна пропорциях человеческого тела. Мы получили про-стую и удобную, но обезличенную, чуждую человеку -мертвую» систему мер длины. Отказавшись от системысаженей — хорошо продуманной, основанной на гар-монии пропорций, мы постепенно ушли и от гармониче-ских принципов построения архитектурных сооружений.Вместо сложных, близких к природе очеловеченных про-порций здания с множеством округленных очертаний мыпришли к убогой прямолинейности геометрически пра-вильных сооружений, с квадратами и прямоугольникамифасадов, в которых мертвыми глазницами зияют выруб-ленные прямоугольные окна.

Библиография

1. Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. «Примени математику»,

М., Наука, 1989.

2. Балк М.Б., Балк Г.Д. «Математика после уроков», М., Просвещение, 1971.

3. Четверухин Н.Ф. «Методы геометрических построений», М., Учпедгиз, 1952.

4. Косякин А.С., Никулин А.С., Смирнов А.С. «Землеустроительные

работы», М., Недра, 1988.

5 .Васютинский Н.А. «Золотая пропорция» — М.: Мол.гвардия, 1990.



sitemap
sitemap