Примеры_задач_по теме_Нахождение площади криволинейной трапеции



Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Площадь параболыПлощадь параболыПлощадь параболы.

Решение. Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

Площадь параболыПлощадь параболы

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

Площадь параболыПлощадь параболы    или    Площадь параболы.

Находим: x1 = -2, x2 = 4.

Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).

Площадь параболы

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

Площадь параболыПлощадь параболыПлощадь параболы

По формуле Ньютона-Лейбница находим:

Площадь параболыПлощадь параболыПлощадь параболы

Задача 2: Определить площадь, ограниченную параболой y = x2 + 1 и прямой x + y = 3.

Решение: Решая систему уравнений

Площадь параболыПлощадь параболы

находим абсциссы точек пересечения x1 = -2 и x2 = 1.

Площадь параболы

Полагая y2 = 3 — x и y1 = x2 + 1, на основании формулы Площадь параболыПлощадь параболыполучаем

Площадь параболыПлощадь параболыПлощадь параболыПлощадь параболыПлощадь параболы

Площадь параболыПлощадь параболыПлощадь параболы

Задача 3. Пусть имеем две функции: Площадь параболы

И нам надо найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями.Преобразуем эти функции к следующему виду.

Площадь параболыНанесём их на декартовую систему координат и обозначим нашу фигуру:Площадь параболыВидим по рисунку, что часть нашей фигуры находится над осью абсцисс и часть под ней. Для того, что бы найти площадь той части, что над осью нужно просто найти интеграл от первой функции в границах от 0 до 2. Что бы найти площадь части фигуры, которая расположена под осью абсцисс, надо вычислить интеграл от второй функции (не забудьте про знак минус) в границах от 0 до 3. Но это будет площадь треугольника OAC, видим, что с этого надо ещё вычесть площадь фигуры ABC (это будет интеграл от первой функции в границах от 2 до 3). Поэтому, выходя из этих данных, мы это всё можем записать одним интегралом:Площадь параболы

Решив этот интеграл, мы и найдём площадь нужной нам фигуры.

Площадь параболы



Задача 4:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = —x2 + x + 4 и y = —x + 1.

Решение.

Найдем точки пересечения линий y = —x2 + x + 4, y = —x + 1, приравнивая ординаты линий: —x2 + x + 4 = —x + 1 или x2 — 2x — 3 = 0. Находим корни x1 = -1, x2 = 3 и соответствующие им ординаты y1 = 2, y2 = -2.

Площадь параболы

По формуле площади фигуры получаем

Площадь параболыПлощадь параболыПлощадь параболыПлощадь параболы

Площадь параболыПлощадь параболыПлощадь параболыПлощадь параболы








sitemap
sitemap