Применение свойств модуля при решении задач и построении графиков функции



Введение

Существенной характеристикой числа, как в действительной, так и в комплексной области, является понятие его абсолютной величины или модуля.

Это понятие имеет широкое распространение в различных отделах физико-математических и технических наук. Например, в математическом анализе одно из фундаментальных понятий- понятие предела- в своем определении содержит понятие абсолютной величины числа. В теории приближенных вычислений – понятие абсолютной погрешности приближенного числа (разность между самим числом и приближенным числом). В механике основным первоначальным понятием является понятие вектора, важнейшей характеристикой которого служит его абсолютная величина.

В работе показано как применение свойств модуля приводит к рациональному решению уравнений, неравенств, построению графиков функций.

Рассмотри последовательно понятие абсолютной величины числа.

Абсолютная величина действительного числа

Абсолютной величиной действительного числа a называется неотрицательное число, взятое из двух чисел a и –a.

Из этого следует, что

Примеры на определение модуля:

1.

Нанесем на ось только корни подмодульных выражений:

-2 3 x

Ответ:

2. Решить уравнение:

Так как когда

_ +–+

-3 -1 2 x

Ответ: (–3;–1]

3.Решить уравнение:

Так как

Ответ:

4.Решить неравенство:

и т.д.

Можно избежать появления модуля:

и далее имеем разность квадратов и решаем методом интервалов.

5.Решить уравнение:

ОДЗ: x<0

У модуля действительного числа 9 свойств:

1)Свойство вытекает из определения:

Пример:

1.

Ответ: x=5

2. ОДЗ:

Ответ: (0; 1)

2)

3)

Пример:

1.Найти наибольшее значение функции:

Если

(–

Если

[–2,5; 2]

Если

[2; ]

В каждом случае учитывалась монотонность функции.

Ответ:

2.

Ответ:

3.

Решение:

= –1

4) Модули противоположных чисел равны. Это свойство можно доказать.

Рассмотрим левую часть:

Рассмотрим правую часть:

Пример:

Исследовать на четность и нечетность функцию:

D(y) = R – область определения симметрична относительно начала координат.

Вывод: функция четная.

5)

Пример:

1.

0 <

Ответ: 0 <

2.

1+

3.

Так как обе части неравенства неотрицательны, то при возведении обеих частей неравенства в квадрат получим неравенство, равносильное данному:

Интересно отметить:

Разделим обе части неравенства на

(На делить обе части нельзя, т.к. в данном неравенстве может равняться 0;

–1 <

4.

— ответ

5.

Неравенства неотрицательны и

Ответ:

6.

7.

Модуль суммы меньше суммы модулей, то есть разных знаков.

Ответ:

8.

Пример:

ОДЗ:

Модуль суммы меньше суммы модулей

Ответ:

9. — расстояние от точки А до точки В.

Пример:

Можно сделать так:

Ответ: [0;1]

Также можно этот пример решить устно:

надо найти множество чисел таких, что сумма расстояния от них до 0 и 1 равно 1.

Это отрезок [0;1]

Построение графиков функций и уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

1. Заметим, что

По определению абсолютной величины имеем:

Отсюда построение:

Строим график функции

Ту часть графика, которая находится в нижней полуплоскости, симметрично отражаем относительно оси OX.

Пример:

Строим график

Ту часть графика, которая лежит в 3 и 4 четверти, зеркально отражаем относительно оси OX.

y

8

3

0 1 2 3 4x

2., так как , то есть данная функция четная ⇒ ее график симметричен относительно оси OY.

Отсюда построение:

Строим график

Достроим левую часть симметрично правой относительно оси OY

Пример:

y

1

–2п – –п – 0 п 2пx

-1

3. Отметим: это не функция.

Построение:

Строим графики рассматривая график, где

Пример:

y

5

4

3

2

1

-2 -1 0 12x

4.

Пример:

График симметричен относительно оси OX

y

0 1x

5.

График симметричен относительно оси OX и OY

Построение:

Строим

y

a

-a 0 a x

-a

Модель комплексного числа.

Число вида

число, что называется комплексным.

Модулем комплексного числа называется квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части (). Это длина – радиус вектора точки M, изображающей число .

=

это расстояние от О (0;0) до z

это уравнение окружности с центром О и радиусом r = 4

Геометрический смысл

Пусть

формула расстояния между двумя точками с координатами () и ()

это расстояние от

Докажем, что – уравнение окружности с центром в точке и радиусом равным Так как – расстояние между , то множество всех точек Z, удовлетворяющих уравнению — это множество точек, расстояние от которых до точки равно

Пусть различные точки комплексной плоскости.

Тогда — уравнение прямой перпендикулярной к отрезку с концами в точках и проходящей через его середину.

уравнение прямой, перпендикулярной к отрезку с концами A (0;2) и B (1;0)



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap
sitemap