Применение различных методов нахождения расстояний и углов в пространстве



Итоговая работа

«Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике»

Выполнила: Кузьмина Надежда Дмитриевна (269-524-019)

Примерное планирование учебного времени

«Применение различных методов нахождения расстояний и углов в пространстве»

(20ч, из них 16ч+4ч-проверочные работы)

Тема

Кол-во часов

Задачи на нахождение расстояний и углов в пространстве (вводный урок)

1

Модуль 1. Нахождение расстояний в пространстве

9

Вычислительный метод нахождения расстояния от точки до прямой

1

Координатный и векторный методы нахождения расстояния от точки до прямой

1

Вычислительный метод нахождения расстояния от точки до плоскости

1

Координатный и векторный методы нахождения расстояния от точки до плоскости

1

Вычислительный метод нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми

1

Координатный и векторный методы нахождения расстояния от точки до прямой между скрещивающимися прямыми

1

Решение задач на нахождение расстояний в пространстве

1

Проверочная работа № 1

2

Модуль 2. Нахождение углов в пространстве

10

Вычислительный метод нахождения угла между двумя прямыми

1

Координатный и векторный методы нахождения угла между двумя прямыми

1

Вычислительный метод нахождения угла между прямой и плоскостью

1

Координатный и векторный методы нахождения угла между двумя прямой и плоскостью

1

Вычислительный метод нахождения расстояния угла между плоскостями

2

Координатный и векторный методы нахождения угла между плоскостями

1

Решение задач на нахождение углов в пространстве

1

Проверочная работа №2

2

План-конспект урока

«Координатный и векторный методы нахождения расстояния от точки до плоскости»

Цель урока: отработка навыков решения задач на нахождение расстояния от точки до плоскости с использованием координатного и векторного методов, формирование навыков составления уравнения плоскости, проходящей через три точки,закрепление навыков выбора системы координат, разложения вектора по векторам.

Организационный момент – 1 минута.

Фронтальный опрос — 2 минуты.

На прошлом уроке мы рассматривали вычислительный метод решения задач на нахождение расстояния от отчки до плоскости. Давайте вспомним, как можно найти расстояние от точки до плоскости, используя этот метод?

использование определения расстояния от точки до плоскости (на чем опирается?);

— использование метода параллельных прямых (на чем опирается?);

— использование метода объемов (на чем опирается?);

— использование метода подобия (на чем опирается?).

При нахождении расстояний в пространстве вычислительным методом возникают трудности, связанные с дополнительными построениями и необходимыми обоснованиями, соповождающими эти построения. Избавить нас от такого рода трудностей могут координатный и векторный методы.

Работа в парах со взаимопровекой – 3 минуты.

Вариант 1

Вариант 2

Изобразите многогранник, указанную систему координат и

определите координаты вершин многогранника

Куб AD1 с ребром a. Начало координат — в точке А; прямая AD — ось х, прямая AB — ось у; прямая АА1 — ось z.

(1 балл)

Куб AD1 с ребром a. Начало координат — в точке B; прямая BA — ось х, прямая BC — ось у; прямая BB1 — ось z.

(1 балл)

Правильная четырехугольная пирамида MABCD, сторона основания которой равна а, а васота h. Начало координат — в цента О квадрата ABCD; прямая, проходящая через точку О параллельно AD, — ось х; прямая ОМ — ось z.

(1 балл)

Правильная четырехугольная пирамида MABCD, сторона основания которой равна а, а высота h. Начало координат — в цента О квадрата ABCD; прямая, проходящая через точку О перпендикулярно AD, — ось х; прямая ОМ — ось z.

(1 балл)

Групповая работа 20-25 минут.

Учащиеся разбиваются на две группы. Первая группа работает над координатным методом, а вторая над векторным. Задача каждой группы изучить свой метод решения и приготовиться к выступлению — объяснению сущности своего метода другой группе. Ребята работают с тремя учебными модулями: теоретический модуль, подготовительный модуль и практический модуль. Роль учителя заключается в консультировании учащихся по ходу их самостоятельной работы, помощи в подготовке выступления.

1 группа «Координатный метод нахождения расстояния от точки до плоскости»

Теоретический модуль (3-5 минут)

Координатный метод

Вычисление расстояния от точки до плоскости.

Пусть дана точка М(x0, y0, z0) и плоскость α, заданная уравнением в прямоугольной декартовой системе координат.

Расстояние от точки М до плоскости α можно вычислить по формуле

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Иногда удобно использовать уравнение плоскости в отрезках ,

если известны координаты точек (a;0;0), (0;b;0), (0;0; c) пересечения данной плоскости с координатными осями Ox,Oy , Oz соответственно.

Пример 1. Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть

Для точки N:

То есть

Для точки К:

То есть

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: a, b, c и d. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю. К примеру, пусть , тогда решая систему, получаем: . А уравнение плоскости примет следующий вид: , умножим на -3, чтобы коэффициенты стали целыми:

Пример 2. В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами Высота параллелепипеда . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Решение: Введем систему координат, как показано на рисунке, и найдем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A1DB.

По очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение , получаем систему уравнений:

Выберем тогда .

Уравнение плоскости A1DB будет иметь вид: .

Используя формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости, вычисляем искомое расстояние:

: 2

Подготовительный модуль (4-6 минут) с последующей взаимопроверкой

Решите следующие задачи:

Вариант 1

Вариант 2

Найти расстояние от точки М(-3;1;2) до плоскости, заданной уравнением .

(1 балл)

Найти расстояние от начала координат до плоскости, заданной уравнением

(1 балл)

Найти расстояние между параллельными плоскостями, заданными уравнениями

(1 балл)

Найти расстояние между параллельными плоскостями, заданными уравнениями

(1 балл)

Указание. Чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, достаточно выбрать точку на одной из плоскостей.

Практический модуль (8-10 минут) — работы проверяются учителем.

Решите следующие задачи координатным методом:

Вариант 1

Вариант 2

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости ВСА1.

(2 балла)

1. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости СА1В1.

(2 балла)

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости SCD.

(2 балла)

2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SDЕ.

(2 балла)

Подготовка выступления от группы (3-5 минут)

2 группа «Векторный метод нахождения расстояния от точки до плоскости»

Теоретический модуль (3-5 минут)

Векторный метод

Пусть дана плоскость α, содержащая два неколлинеарных вектора , точка А принадлежит плоскости α, точка М вне плоскости α, .

Чтобы найти расстояние от точки M до плоскости α, то есть длину перпенди-

куляра MP ( ), представим вектор в виде

Неизвестные коэффициенты x, y находятся из условия перпендикулярности

вектора векторам :

Искомое расстояние (длина вектора ) выражается следующим образом:

Пример. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки А1 до плоскости BDC1.

Решение. Введем базисные векторы. Пусть , тогда , . Выразим векторы , , через базисные векторы , ,:

, ,

Пусть МА1 BDC1, где M BDC1.

Вектор , поэтому

Далее имеем

Так как

то имеем

Отсюда получаем

Подготовительный модуль (4-6 минут) с последующей взаимопроверкой

Решите следующие задачи:

Вариант 1

Вариант 2

Составить таблицу скалярных произведений для базисных векторов таких, что , .

Найти , если

(1 балл)

Найти , если

(1 балл)

В параллелепипеде A…D1 точка М – центр граниСС1D1D. Найти разложение вектора по векторам .

балл)

В параллелепипеде A…D1 точка М – центр грани AA1B1B. Найти разложение вектора по векторам .

(1 балл)

Практический модуль (8-10 минут) — работы проверяются учителем.

Решите следующие задачи векторным методом:

Вариант 1

Вариант 2

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости ВСА1.

(2 балла)

1. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости СА1В1.

(2 балла)

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости SCD.

(2 балла)



2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SDЕ.

(2 балла)

Подготовка выступления от группы (3-5 минут)

Выступления участников групп 10-12 минут .

Результат выступления оценивается другой группой на основе голосования (по пятибальной шкале), оценка выставляется отдельно, независимо от общего рейтинга.

Домашнее задание — 1 минута.

Задачи, предложенные группам в практическом модуле необходимо решить другим методом (участники группы «Координатный метод» решают векторным, участники группы «Векторный метод» — координатным).

Подведение итогов – 1 минута.

Лист контроля

Фамилия, имя, класс



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap sitemap