Применение определённого интеграла для вычисления площадей и объёмов тел



Министерство образования Российской Федерации

Государственное учреждение

Среднего профессионального образования-

ПЕТРОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ

Л.И. Файвушкина

Алгебра и начала анализа.

Методическое пособие по изучению теоретического

материала и руководство к практическим занятиям.

Санкт-Петербург

2012

Введение

Методическое пособие рассчитано на студентов для самостоятельного изучения курса «Алгебра и начала анализа» по теме «Определенный интеграл и его применение в математике, физике». Первая часть пособия содержит необходимый теоретический материал для выполнения представленных заданий. Материал дан концентрированно, логично, без многословных ссылок, что дает возможность студенту самостоятельно пользоваться данной работой и использовать ее в процессе самообразования.

Все упражнения данного пособия составлены в порядке возрастающей трудности, подобранны разноуровневые задачи:

Базовый уровень – минимум

Базовый средний уровень

Базовый повышенный уровень

Повышенный уровень

Углубленный уровень

Большое количество разнообразных заданий с иллюстрациями способствует активизации интереса к данной теме. Данное методическое пособие дает возможность индивидуализировать работу со студентами, его можно использовать при объяснении нового материала в группах с различной подготовкой, а также оно может использоваться как пособие по самообразованию.

Тема: «Определенный интеграл»

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная снизу отрезком оси OX, сверху – графиком непрерывной функции y=f(x), принимающей неотрицательные значения, а с боков – отрезками прямых x=a, x=b.

y

y=f(x)

Oabx

y

y=f(x)

Oabx

y y=f(x)

Oabx

y

y=f(x)

O abx

Площадь криволинейной трапеции.

y f(b)

f(x+) C 1 N1

y=f(x)

B f(x) C N

A S

aOx b x

Пусть Обозначим SABCH за S(x).Придадим x приращение такое, что

. Тогда S(x) получит приращение

MCNKMCN1K1

разделим на

По теореме о пределе промежуточной функции имеем:

Если

Если

Sтрапеции=

Sтрапеции

Определенный интеграл. Формула Ньютона- Лейбница.

Во многих задачах надо найти не значение какой-либо первообразной в некоторой точке, а разность этих значений в заданных точках a и b.

В самом деле: если

Таким образом, правая часть этого равенства не зависит от выбора С.

Итак, разность значений первообразной в точках a и b не зависит от того, какую именно первообразную функции мы выбираем.

Эту разность называют определенным интегралом от функции по отрезку [a;b] и обозначают

Итак

где

Разность

Итак: ,

где F1(x)=f(x)- формула Ньютона- Лейбница.

Мы видим : численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченный прямыми y=0, x=b, x=a и графиком непрерывной и неотрицательной на

В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Правила нахождения определенного интеграла.

Свойства определенного интеграла.

Заметим, что во всех этих свойствах предполагается, что рассматриваемые функции имеют первообразные на рассматриваемых промежутках.

Доказательство:

Пусть F(x) – первообразная для , тогда

т

См. чертеж:

y

S1 S2

Ox

a c b

Наглядный геометрический смысл.

Свойства аддитивности площади плоской фигуры:

S=S1+S2

a=b, то

Физический смысл очевиден:

перемещение точки за нулевой промежуток времени от t=a до t=a равно 0.

Функцию

определенный интеграл с переменным верхним пределом, является одной из первообразных для

Доказательство:

Пусть F(t) первообразная для

ч.т.д.

Приведем свойства определенного интеграла, связанных с неравенствами:

Доказательство:

Пусть

Так как по условию

Из возрастания этой функции следует, что значит

Доказательство:

По условию

Следовательно

Геометрический смысл.

S1 < S2

y

y=g(x)

S2 y=f(x)

OS1x

a b

то

Доказательство:

Из свойства следует

но

Геометрический смысл.

y

A

B

O x

ab

m (b – a) — это площадь прямоугольника, целиком содержащегося внутри криволинейной трапеции aABb.

M (b – a) – это площадь прямоугольника, содержащего внутри себя трапецию aABb, т.о. это неравенство выражает соотношение между площадями трех фигур: двух прямоугольников и криволинейной трапеции.

Теорема о среднем значении.

Если функция непрерывна на отрезке то внутри отрезка существует такая точка C, что

Доказательство:

Пусть m и M – наименьшее и наибольшее значение непрерывной функции на отрезке тогда согласно свойству выполняется неравенство:

Пусть

тогда

По теореме о промежуточном значении непрерывной функции (если функция епрерывна на отрезке то она принимает на этом отрезке любое значение M, лежащее между и , т.е. существует такая точка C, a < c < b, что имеем: на отрезке существует такая точка C, что , т.е что

Упражнения.

1.Базовый — минимум:

Вычислить:

а) б)

Указания:

а) не забудь разделить на 2;

б)

2. Базовый – средний уровень:

Вычислить:

а) б)

Указания:

а)

б) применим формулу понижения степени:

Решение:

а)

Ответ:

б)

Ответ:

3. Базовый – повышенный уровень:

Вычислить:

а) б) x+1 + x-1 )dx

Указания:

а)

(не забудь разделить на 3)

y

б) 4

3

2

S1 S2 S3

-2 -1 0 1 2x

Рассмотрим промежутки:

Ответ: x+1 + x-1 )dx=10

Эту задачу можно решить иначе:

S1=

S₂=4

S1+S2+S3=10 кв.ед.

4. Повышенный уровень:

Вычислить:

Указания:

Умножать числитель и знаменатель на

y

2

K

ОК=2 -2 0 1 2

-2

Вычислить:

Указания:

Замена переменной:

Если

5.Углубленный уровень:

Вычислить:

а)

Указания:

Замена переменной:



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | ... | Вперед → | Последняя | Весь текст




sitemap
sitemap