Прикладные задачи на экстремумы



Содержание

1.Введение

2.Экстремальные задачи в курсе математики 5 – 6 классов и методы их решения

а) метод оценки,

б) метод перебора.

3. Экстремальные задачи по курсу алгебры 7 – 9 классов и методы их решения

а) экстремальные задачи на составление уравнений с двумя переменными,

б) задачи, решаемые при помощи неравенства ах в,

в) метод опорной функции,

г) метод преобразования плоскости.

4. О решении задач на экстремум при изучении производной в 10 – 11 классах. Различные способы решений.

5. Заключение

6.Используемая литература

В настоящее время получило всеобщее признание то, что успех развития многих областей науки и техники существенно зависит от развития разных направлений математики. К таким направлениям, например, относятся теория вероятностей, линейное и динамическое программирование, теория оптимального управления, математическая экономика и др. Математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений и, в конечном счете, содействует повышению производительности труда и устойчивому поступательному развитию народного хозяйства. Важным условием повышения эффективности производства и улучшения качества продукции является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать разнообразные задачи, выдвигаемые практикой.

Современные учащиеся могут уже в средней школе получать представления о таких важных понятиях, относящихся к развитию промышленности, науки, как «эффективность», «оптимальность», «экстремум», «наибольшее», «наименьшее», «наилучшее», «наиболее выгодное», «наиболее экономичное» и т. д. Это связано в первую очередь с тем, что в процессе трудовой деятельности люди стремятся наилучшим образом использовать материальные и трудовые ресурсы и при заданном объёме производства свести к минимуму (минимизировать) затраты или при заданных ресурсах обеспечить максимальный выпуск продукции. Наряду с этим современный подход к образованию заставляет уделять особое место прикладным аспектам обучения математике. Среди задач математики, которые решают проблемы оптимизации, следует выделить задачи на экстремумы и оптимумы, с которыми в курсе математики школы приходится встречаться чаще всего и которые в свою очередь являются фундаментом рассмотрения оптимизационных задач вообще.

Из математического анализа известно, что если числовая функция F(u) непрерывна, то экстремум F(u) на U может достигаться, лишь в тех точках u U, в которых F'(u) = 0 или F'(u) не существует или является граничной и для множества U. Описанным способом поиска экстремума можно пользоваться, начиная с Х класса во всех тех случаях, когда решение задач сводится к исследованию функции, которая вместе с её производной имеет достаточно простой вид. В большинстве практических задач зачастую вычисление производной представляет большие трудности и нередко даже неизвестно, существует ли производная в интересующих нас точках. Бывает так, что функция F(u) задана лишь таблично или вообще трудно представить задачу в аналитическом виде. В тех случаях, когда производная всё же вычислена, решение уравнения F'(u) = 0 может также привести к серьёзным трудностям.

Важно иметь методические приёмы, способы решения экстремальных задач, не требующих вычисления производной. Это происходит, например, при решении задач на дискретную оптимизацию. Особым типом экстремальных задач являются задачи линейного программирования, которые решаются без помощи производной. Неприменима производная и при решении многих геометрических задач.

Введение экстремальных задач в обучение педагогически оправдано, так как они с достаточной полнотой закладывают в сознание учащихся понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучшими. Решая задачи указанного типа, учащиеся видят, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, с другой – большую и эффективную их применимость к решению практических, жизненных задач. Такая постановка экстремальных задач способствует расширению сферы приложений учебного материала, повышает роль этих задач в осуществлении глубокой цели математического образования школьников – обучать приложению математики в различных областях человеческой деятельности.

Экстремальные задачи могут помочь школьнику ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности. Такие задачи могут серьёзно повлиять на содержание учебного материала, на аспекты применения приложений изучаемой теории на практике. В школе на уроках математики я ставлю более скромную цель: воспитывать учащихся на примерах содержательных экстремальных задач, формировать у них научное мировоззрение, глубокие взгляды на процессы, происходящие как в природе, так и в общественной жизни, показывать важность математических знаний и умений решать задачи.

Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний учащихся. Через задачи они знакомятся с экстремальными свойствами изучаемых функций, рассматриваемых на непрерывном дискретном множествах, с некоторыми свойствами неравенств. Изучая свойства той или иной геометрической фигуры, учащиеся с помощью задач приобретают знания об экстремальных свойствах этой фигуры, а также учатся применять их к решению прикладных задач. Неоценимую важность постановки экстремальных задач в школьном курсе математики я вижу также в воспитании исследовательской культуры учащихся. Ведь все решения таких задач предлагаются на уровне исследования математической модели и на уровне исследования реальной ситуации с использованием оптимизационных средств. Кроме того, в процессе решения большей части экстремальных задач широко и удачно используются эвристические приёмы, которые в отличие от алгоритмических могут подсказать путь решения предлагаемых задач.

Для решения экстремальных задач существуют следующие методы:

1. Метод опорной функции;

2. Метод оценки;

3. Метод перебора;

4. Метод преобразования плоскости.

Рассмотрим некоторые из перечисленных методов на конкретных примерах. В курсе математики 5 – 6 классах учащимся нередко приходится решать задачи в которых допускается несколько или даже много решений, причём далеко не всегда равнозначных. В таких случаях можно ставить дополнительный вопрос: найти наиболее выгодное (или достаточно выгодное по тем или иным причинам) решение, т. е. решать экстремальные задачи. С такими задачами приходится сталкиваться при изучении следующих разделов: «Неравенства», «Площадь и периметр прямоугольника», «Натуральные числа», «Делимость натуральных чисел»,

В некоторых задачах ученикам трудно сразу понять требование задачи о нахождении наименьшего или наибольшего значения величины, если оно подразумевается в задаче.

Пример 1. Масса чугунной болванки 16кг. Сколько болванок потребуется, чтобы отлить 41 деталь массой 12 кг каждая?

Решение. Первый способ. Поскольку масса одной детали 12 кг, то 41 деталь будет весить: 12 41 = 492 кг. Далее рассуждаем так: одна болванка весит 16 кг, поэтому потребуется 31 болванка (492 : 16 = 30 (12 – остаток)). Не обращая на остаток ученики, ученики делают ошибочный вывод. Вместо того чтобы написать «31 болванка», пишут «30 болванок».

Второй способ. Пусть п — количество болванок, тогда 16п – масса болванок, 12 41 – масса деталей. Далее ученикам предстоит сравнить и оценить значение выражений, чтобы поставить соответствующий знак между ними:

16п 12 41, 16п 492, п 492 : 16, п 30. N = {31, 32, 33, …}. Наименьшее число болванок равняется 31.

Если ознакомить учеников с условием задачи и при этом не задавать наводящих вопросов, то на поставленный в задаче вопрос некоторые ученики дают такой ответ: на 41 деталь нужно использовать 41 болванку, т. е. из каждой болванки изготавливают одну деталь. Чтобы исправить ошибку ученика, нужно заставить его тщательно прочитать задачу, обратить внимание на слова «отлить 41 деталь». Подобные ситуации, в которые попадают ученики при решении задач, дают учителю возможности для воспитательной работы. Он формирует у учащихся сознательное отношение к профессии, показывает, что высокий математический уровень знаний становится нужным и полезным в трудовой деятельности.

Поскольку ученики 5 -8 классов встречаются с двойным неравенством, то в этих классах методом оценки можно решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения линейного выражения ах + в, где m x n (m, n – целые неотрицательные числа, m n). При нахождении наименьшего и наибольшего значения выражения ах + в, где m x n, ученики должны уметь: 1) решать двойное неравенство; 2) находить то значение переменной, которое удовлетворяет требованию задачи; 3) оценивать значение выражения. При решении приходится обращаться к таким вопросам: а) Как изменяется сумма при изменении слагаемого? б) Как изменяется разность при изменении вычитаемого и уменьшаемого? в) Как изменяется произведение при изменении сомножителей?

Пример 2. Стоимость телеграммы вычисляется почтовыми работниками по следующему правилу: по 5 рублей за каждое слово и ещё 20 рублей за отправку телеграммы. Какая может быть наибольшая и наименьшая цена телеграммы, если количество слов в телеграмме определяется решением неравенства 17 х 40?

Решение задачи сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения выражения 5х + 20, если 17 х 40 и х N. Сначала можно предложить вычислить значение выражения при нескольких значениях переменной, взятых из промежутка 17 х 40. Заметим, что сумма будет наибольшая, если слагаемое будет наибольшим, т. е. будет равно 5 40, и наименьшая, если слагаемое будет наименьшим, т. е. будет равно 5 17. Заметим, что второе слагаемое постоянно.

Распространёнными задачами, в которых используются элементарные свойства неравенств, являются задачи с экономическим содержанием.

Пример 3. Для обеспечения населения города нужно закупить 3000т картофеля в 4 совхозах. Количество картофеля, которое может продать каждый совхоз, и цена перевозки показаны в таблице:

Количество тонн картофеля

1100

900

800

700

Цена перевозки 1т в рублях

3

2,5

2

2,7

Нужно разработать план закупки картофеля так, чтобы стоимость была наименьшей, и найти эту стоимость. Из таблицы видно, что закупку картофеля нужно определить ценой перевозки 1т (2; 2,5; 2,7; 3), которой соответствует такая последовательность: 800, 900, 700, 1100. Решение задачи сводится к оценке сумм:

1) 800 3000;

2) 800 + 900 = 1700 3000;

3) 1700 + 700 = 2400 3000;

4) 2400 + 1100 3000;

5) 3000 – 2400 = 600;

6) 800 2 + 900 2,5 + 700 2,7 + 600 3 = 7540 (руб.)

Среди экстремальных задач геометрические задачи на вычисление площадей и периметров представляют большой интерес. Решение этих задач методом оценки формирует первое представление о максимальном произведении при постоянной сумме двух переменных и о минимальной сумме при постоянном произведении. Рассмотрим примеры таких задач.

Пример 4. Начертите прямоугольник, площадь которого равна 36 , и вычислите его периметр.

Чтобы после решения этой задачи оставить место для творческой работы учеников, я не ставлю вопроса о наименьшем периметре прямоугольника, площадь которого 36 . Такие задачи направлены на выяснение, нет ли у самого ученика потребности не удовлетворятся тем или иным решением, искать другое. Если ученик не сумел найти несколько решений, то можно продемонстрировать ему эти решения. Дальше ученикам даётся задание сравнить полученные решения, оценить их и указать, в каком случае получается наименьший периметр. Ученик должен проявить сообразительность и сделать вывод, что из всех прямоугольников с постоянной площадью минимальный периметр имеет квадрат. При этом формируется понятие о квадрате как прямоугольнике с равными сторонами. У отдельных учеников возникает вопрос относительно размеров прямоугольника. Учитель объясняет, что размеры могут быть произвольными. Вычерчивая прямоугольник площадью 36 , ученики получают прямоугольники разных размеров. Размеры прямоугольников, их периметры и площади целесообразно записать в виде такой таблицы:

ПЛОЩАДЬ ()

36

36

36

36

36

36

36

ДЛИНА ()

72

36

18

12

9

8

6

ШИРИНА ()

0,5

1

2

3

4



4,5

6

ПЕРИМЕТР ()

145

74

40

30

26

25

24

Оценивая периметры прямоугольников, имеющих постоянную площадь, ученики приходят к выводу, что наименьший периметр будет иметь квадрат, т. е. Р = 24 см при а = в = 6см.

Пример 5. Начертите прямоугольник, периметр которого 36 см, вычислите его площадь.

Решение этой задачи можно оформить в виде такой таблицы:

Периметр (см)

36

36

36

36

36

36

36

36

36

Длина (см)

17

16

15

14

13

12

11

10

9

Ширина (см)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Площадь (

17

32

45

56

65

72

77

80

81

Отсюда вывод: наибольшая площадь S = 81 при а = в = 9 см. Построение прямоугольников и запись решения в виде таблицы помогает лучше видеть, как изменяется площадь прямоугольника с постоянным периметром и как изменяется периметр прямоугольника с постоянной площадью.

Остановимся на решении экстремальных задач в разделе «Натуральные числа». Здесь на первом этапе решаются самые простые задачи, где число рассматриваемых элементов невелико. Это во многом упрощает организацию работы, требует меньше времени и создаёт хорошую возможность детям увидеть особенности применения метода перебора к решению задач.

Пример 6. С помощью цифр 5, 2 и 7 напишите все трёхзначные числа, в каждом из которых все цифры различны. Среди найденных чисел найдите наибольшее и наименьшее число.

Очень часто мы встречаемся с такими фактами. Ученики решили задачу, т. е. нашли числа 527, 572, 275, 257, 752, 725 и указали наибольшее и наименьшее число. Но мала эффективность таких методических приёмов, если ученики не проявили творческого мышления, не увидели никакой новизны, не нашли самостоятельно приёмов составления перестановок, т. е. не нашли алгоритма построения перестановок, не подметили упорядочения чисел, не сделали вывод о том, в каком порядке расположены цифры в наибольшем и наименьшем числе. На первый взгляд, кажется, что это очень простая задача, но она несёт большую теоретическую нагрузку. Ученик знакомится с упорядоченными множествами, с методом перебора, перестановками, с методическими приёмами поиска экстремальной перестановки.

Пример 7. В кабинет математики к началу консультации пришли 3 ученика (А, В, С). Предварительный разговор позволил учителю выяснить, что для рассмотрения вопроса ученика А требуется 5 мин, ученика В – 2 мин, ученика С – 7 мин. после получения ответа на свой вопрос ученик уходит. Как организовать консультацию, чтобы каждый из учеников находился в кабинете как можно меньше времени? Иными словами, учитель хочет как можно меньше задержать каждого из них, т. е. минимизировать общее время, проведённое учениками в кабинете.

Для лучшего понимания задачи можно предложить ученикам записать условие задачи в виде таблицы:

ученик

А

В

С

время

5

3

7

Это даст возможность не только облегчить решение задачи, но и будет содействовать формированию понятия о матрице ( хотя о таком понятии ничего не говорим). Решение этой задачи можно проиллюстрировать такой таблицей:

Очерёдность получения консультации

Время на выяснения вопроса (мин)

Время, затраченное каждым учеником (мин)

Суммарное время (мин )

А, В, С

А, С, ВВ, С, А

5, 3, 7

5, 7,3

3, 7, 5

5; 5+3; 5+3+7



5; 5+7; 5+7+3

3; 3+7; 3+7+5

5+8+15=28

5+12+15=32

3+10+15=28

В, А, С

3, 5, 7

3; 3+5; 3+5+7

3+8+15=26

С, А, ВС, В, А

7, 5, 3

7, 3, 5

7; 7+5; 7+5+3

7; 7+3; 7+3+5

7+12+15=34

7+10+15=32

Оптимальный вариант:

Ученик

В

А

С

Время, нужное для выяснения вопроса (мин)

3

5

7

Время, затраченное учеником (мин)

3

8

15

Суммарное время: 3 + 8 + 15 = 26 мин.

Итак, этот приём решения имеет много общего с решением предыдущей задачи, которая была как бы подготовительной, с её помощью ученикам легче было найти приём решения данной задачи. Последняя дала много интересного и полезного. Здесь была возможность подвести учащихся к пониманию способов построения искомых последовательностей (3, 5, 7) и (3, 8, 5). Ученикам не даются указания, как записывать рекуррентные формулы для нахождения экстремальных перестановок, последовательностей. С этим понятием знакомят учеников в 9 классе. Решение задач на экстремальные перестановки способствует приобретению учениками определённых комбинаторных навыков и знаний, более глубокому пониманию изучаемого материала.

Нахождение наибольших и наименьших значений величин методом перебора рассматривается частично при изучении тем: «Наибольший общий делитель» и «Наименьшее общее кратное». Понятие экстремума в этих темах связывается с понятием наивыгоднейших значений величин.

Решение экстремальных задач в курсе алгебры проходит в два этапа. На первом этапе рассматривается неопределенная задача, текст которой переводится на математический язык в виде неопределённого уравнения (функции), которое допускает много или бесконечно много решений.

На втором этапе по тем или иным признакам, которые заданы в явном или неявном виде, определяется, какое из решений задачи наиболее выгодно. Темы курса алгебры, в которых приходится решать экстремальные задачи и формировать методы их решения, рассматриваем следующим образом:

1) Линейная функция.

2) Системы линейных уравнений.

3) Рациональные дроби.

4) Неравенства.

5) Квадратичная функция.

6) Последовательности. Арифметическая прогрессия.

7) Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.

Ознакомимся с решением экстремальных задач по теме «Линейная функция». Решение этих задач сводится к нахождению экстремума линейной функции у = кх + в, где к и в – постоянные. Если эту функцию рассматривать на отрезке [; ], то она будет иметь на нём наибольшее и наименьшее значение. При к0 наименьшее значение у принимает в точке х = , а наибольшее – в точке х = , при к0 функция у в точке х = принимает наибольшее значение, а в точке х = — наименьшее.

Рассмотрим одну из задач, решение которой сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения линейной функции одной переменной на некотором отрезке и показывает применение линейной функции в практике.

Задача 1. Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 60 км. На шахте А добывается 200 т руды в сутки, на шахте В – 100 т руды в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для её перевозки количество тонн-километров было наименьшим.



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap
sitemap