Практическое занятие 5 Угол между двумя прямыми- условие параллельности и перпендикуля



ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

КОЛЛЕДЖ ГОРОДСКОЙ ИНФРАСТРУКТУРЫ И СТРОИТЕЛЬСТВА №1

(ГБОУ КГИС №1)

Методические рекомендации

по проведению практического занятия по дисциплине «Математика»

Практическое занятие №5. Угол между двумя прямыми; условие параллельности и перпендикулярности прямых;

условие компланарности двух прямых.

Автор-составитель:

преподаватель Пархоменко Е.А.

2012

Практическое занятие №5.

Тема: Угол между двумя прямыми; условие параллельности и перпендикулярности прямых; условие компланарности двух прямых.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по вычислению угла между двумя прямыми; определению условия параллельности и перпендикулярности прямых; условия компланарности двух прямых. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Задачи:

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2009.

Щипачев В.С. Основы вышей математики. — М.: Высшая школа, 2009 — 480с.

Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. — Ростов-на-Дону «Феникс»,2008-380с.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Ход практического занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

Изучить теоретический материал по теме «Угол между двумя прямыми; условие параллельности и перпендикулярности прямых; условие компланарности двух прямых».

Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

Выполнить самостоятельную работу по вычислению угла между двумя прямыми; определению условия параллельности и перпендикулярности прямых; условия компланарности двух прямых.

Ответить на контрольные вопросы.

Теоретические сведения и методические рекомендации

по решению задач.

Прямую линию можно определить как геометрическое место точек, принадлежащих одновременно двум непараллельным плоскостям. Пусть уравнения плоскостей P1 и P2 заданы, тогда

Реферат угол между прямыми

определяет прямую линию, и систему (11) называют общим уравнением прямой линии. Реферат угол между прямымиРассмотрим теорию прямой линии в пространстве R3. Очевидно, прямая линия будет полностью определена, если на ней фиксировать точку M0(x0, y0, z0) и вектор Реферат угол между прямыми,параллельный этой прямой (рис. 2). Точку M0 иногда называют начальной точкой, а вектор Реферат угол между прямыми— направляющим вектором прямой. Получим наиболее употребительные формы уравнения прямой в пространстве. Пусть Реферат угол между прямыми— радиус-вектор начальной точки M0, Реферат угол между прямыми— радиус-вектор текущей точки М прямой. Тогда вектор Реферат угол между прямымиколлинеарен направляющему вектору прямой Реферат угол между прямыми, следовательно,

Реферат угол между прямыми

где t — некоторое число, называемое параметром. Уравнение (12) называется векторным параметрическим уравнением прямой. Если Реферат угол между прямымито можно перейти от уравнения (12) к параметрическим уравнениям прямой в координатном виде:

Реферат угол между прямыми

Изменяя значения t, можно получить координаты любой точки, лежащей на прямой. Из уравнений (13) получим:

Реферат угол между прямыми

Отсюда

Реферат угол между прямыми

Уравнения (14) называются каноническими уравнениями прямой.

Пример 1. Уравнение прямой задано в общем виде

Реферат угол между прямыми

Необходимо записать уравнение прямой в каноническом виде.

Решение. Для записи уравнений (14) нам нужно знать координаты какой-либо точки M0 на прямой и координаты какого-либо направляющего вектора Реферат угол между прямымипрямой. Находим координаты точки M0(x0, y0, z0). Для этого одну из координат задаем произвольно (так, чтобы оставшаяся система двух уравнений с двумя неизвестными имела единственное решение), скажем, z0 = 0. После этого решаем систему относительно x0 и y0

Реферат угол между прямыми

Для определения вектора Реферат угол между прямыминам нужны координаты еще одной точки M1 на прямой (рис. 3), тогда в качестве направляющего вектора можно взять вектор Реферат угол между прямыми

Реферат угол между прямыми



Для вычисления координат M1 берем, например z1 = 1, а x1и y1 находим из решения системы

Реферат угол между прямыми

Тогда Реферат угол между прямыми

Канонические уравнения прямой имеют вид

Реферат угол между прямыми

Один из направляющих векторов можно было найти и как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, то есть

Реферат угол между прямыми

Пример 2. Заданы канонические уравнения прямой Реферат угол между прямымиНеобходимо перейти к общим уравнениям.

Решение. Записываем данные уравнения в виде системы.

Реферат угол между прямыми

Последняя система и дает ответ.

Углом между двумя прямыми в пространстве будем называть любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку пространства параллельно данным прямым. Следовательно, угол между двумя прямыми — это угол φ между их направляющими векторами, т.е.

Реферат угол между прямыми

Условие перпендикулярности двух прямых — это условие перпендикулярности их направляющих векторов:

Реферат угол между прямыми

а условие параллельности двух прямых — это условие параллельности (коллинеарности) их направляющих векторов:

Реферат угол между прямыми

Рассмотрим теорию прямой линии в пространстве R2.

Выделим особо тот частный случай, когда одна из плоскостей в системе (11) есть плоскость Оху, и, следовательно, рассматриваемая прямая лежит в координатной плоскости Оху.

В этом случае система (11) может быть записана в виде:

Реферат угол между прямыми

Рассмотрим вектор Реферат угол между прямыми. Он расположен в плоскости Оху, перпендикулярен к плоскости Ax + By + D = 0 и, следовательно, перпендикулярен к прямой, определяемой системой (18).

Поскольку далее будем рассматривать только точки плоскости Оху, то третьи координаты точек и векторов не будем записывать, всегда подразумевая, что они равняются нулю. Как уже отметили, уравнению Ax + By + D = 0 в плоскости z = 0 соответствует прямая. Поэтому в аналитической геометрии на плоскости уравнение

Реферат угол между прямыми

называют общим уравнением прямой.

Пусть B ≠ 0, тогда общее уравнение прямой (19) можно записать в виде:

Реферат угол между прямыми

где Реферат угол между прямыми

Выясним геометрический смысл коэффициентов k и b. Рассмотрим вектор Реферат угол между прямыми, очевидно, что он направлен вдоль прямой (19), т.к.

Реферат угол между прямыми

поэтому вектор Реферат угол между прямыминазывают направляющим вектором прямой (19).

Найдем точку M0 пересечения прямой (20) с осью ординат. Т.к. абсцисса точки M0 равна нулю, то ее ордината равна b, т.е. M0(0,b). Обозначим через φ угол между вектором Реферат угол между прямымии осью Ох (рис. 4).

Реферат угол между прямыми

Тогда

Реферат угол между прямыми

поэтому Реферат угол между прямыми

Таким образом, k есть тангенс угла между заданной прямой и осью абсцисс, а свободный член b есть ордината точки пересечения прямой с осью ординат.

Число k называют угловым коэффициентом прямой, а b — начальной ординатой.

Уравнение (20) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Очевидно, что уравнением прямой вида (20) можно описать любые прямые, кроме прямых, параллельных оси ординат, которые описываются уравнением x = а, где а = const.

Приведем еще два вида уравнений прямой на плоскости.

Пусть даны две точки M0(x0, y0) и M1(x1, y1). Требуется написать уравнение прямой, проходящей через эти точки. Для случая плоскости канонические уравнения (14) примут вид:

Реферат угол между прямыми

Вектор Реферат угол между прямымиможет быть взят в качестве направляющего вектора прямой. И, следовательно, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M0 и M1, примет вид

Реферат угол между прямыми

С помощью (21) запишем параметрические уравнения прямой

Реферат угол между прямыми

Пусть прямая не перпендикулярна оси Ох, т.е. m ≠0, тогда, исключив параметр t из уравнений (23), получаем

Реферат угол между прямыми

где Реферат угол между прямыми

Уравнение (24) называют уравнением прямой, проходящей через точку M0(x0, y0) и имеющей угловой коэффициент k.

Для вычисления угла между прямыми можно пользоваться методами вычисления угла между двумя векторами. Пусть заданы две прямые своими общими уравнениями

Реферат угол между прямыми

Их направляющими векторами являются векторы

Реферат угол между прямыми

Тогда косинус одного из углов между прямыми вычислим по формуле

Реферат угол между прямыми

Условие параллельности двух прямых есть условие параллельности их направляющих векторов, т.е.

Реферат угол между прямыми

Условие перпендикулярности двух прямых есть условие перпендикулярности их направляющих векторов, т.е.

Реферат угол между прямыми

Если две прямые заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами

Реферат угол между прямыми

то поскольку A1 = k1, B1 = -1 и A2 = k2, B2 = -1, то условие перпендикулярности принимает вид:

Реферат угол между прямыми

Реферат угол между прямыми

а условие параллельности прямых

Реферат угол между прямыми

› Выполнить самостоятельную работу по вычислению угла между двумя прямыми; определению условия параллельности и перпендикулярности прямых; условия компланарности двух прямых.

Практическая работа №5.

Угол между двумя прямыми; условие параллельности и перпендикулярности прямых; условие компланарности двух прямых.

Вариант 1

1.Найти угол между прямыми:

1) 2








sitemap sitemap