Документ Microsoft Office Word (2)



Теория вероятности

Задание № 1

Из урны, в которой находятся 7 черных и 3 белых шаров, вынимают одновременно 2 шара. Тогда вероятность того, что оба шара будут черными, равна …

Для вычисления события A (оба шара будут черными) воспользуемся формулой  где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь два шара из 10 имеющих, то есть  А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь два черных шара из семи имеющихся, то есть  Следовательно,

Задание № 2

Два студента сдают экзамен. Если ввести события (экзамен успешно сдал первый студент) и (экзамен успешно сдал второй студент), то событие, заключающееся в том, что экзамен успешно сдаст только один студент, будет представлять собой выражение …

То, что экзамен сдаст только один студент означает, что или первый сдаст  а второй нет  или первый не сдаст  а второй сдаст  Тогда, согласно определениям сложения и умножения событий, получаем правильный ответ в виде

Задание № 3

Устройство состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы этих элементов (в течение рабочего дня) равны соответственно 0,85 и 0,75. Тогда вероятность того, что в течение рабочего дня будет работать безотказно только один элемент, равна …

Введем обозначения событий:  – в течение рабочего дня безотказно работает i-ый элемент; A – течение рабочего дня работает безотказно только один элемент. Тогда  где  – событие, противоположное событию , причем Так как по условию задачи события  и  независимы, то

Задание № 4

В ящике содержатся 10 деталей, изготовленных на заводе №1; 30 деталей, изготовленных на заводе №2; и 60 деталей, изготовленных на заводе №3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; на заводе № 2 – равна 0,8, а на заводе №3 – равна 0,7. Извлеченная наудачу деталь оказалась отличного качества. Тогда вероятность того, что эта деталь изготовлена на заводе №3, равна …

Предварительно вычислим вероятности события A (наудачу извлеченная деталь окажется отличного качества) по формуле полной вероятности где  – вероятность того, что деталь изготовлена на заводе №1; – вероятность того, что деталь изготовлена на заводе №2; – вероятность того, что деталь изготовлена на заводе №3; – условная вероятность того, что деталь отличного качества, если она изготовлена на заводе №1; – условная вероятность того, что деталь отличного качества, если она изготовлена на заводе №2; – условная вероятность того, что деталь отличного качества, если она изготовлена на заводе №3.Тогда Теперь вычислим условную вероятность того, что эта деталь изготовлена на заводе №3, по формуле Байеса:

Задание № 5

Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:Тогда значения a и b могут быть равны …

Так как сумма вероятностей возможных значений X равна 1, то  Этому условию удовлетворяет ответ:

Задание № 6

Для дискретной случайной величины X:функция распределения вероятностей имеет видТогда значение параметра p может быть равно …

По определению  Следовательно,  и  Этим условиям удовлетворяет, например, значение

Задание № 7

Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:Тогда ее среднее квадратическое отклонение равно …

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X определяется как  где дисперсию  дискретной случайной величины можно вычислить по формуле  Тогда  а

Задание № 8

Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна 0,8. Тогда математическое ожидание дискретной случайной величины X – числа появлений события A в  проведенных испытаниях – равно …

Случайная величина X подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей. Поэтому



Задание № 9

Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 1 мин, равно трем. Тогда вероятность того, что за пять минут прибудут ровно одиннадцать самолетов, можно вычислить как …

Вероятность наступления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона где  интенсивность потока.Так как    то

Задание № 10

Матрица вероятностей перехода однородной цепи Маркова имеет вид  а вектор вероятностей состояний  цепи Маркова на третьем  шаге равен  Тогда вероятность того, что на втором шаге цепь Маркова находилась в состоянии  равна …

Так как вектор вероятностей состояний цепи Маркова на третьем шаге можно вычислить как:  то Вычислим обратную матрицу Тогда  то есть

Задание № 11

Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей:Тогда вероятность  равна …

Воспользуемся формулой  Тогда

Задание № 12

Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения вероятностей:Тогда вероятность  равна …

Воспользуемся формулой  Тогда

Задание № 13



Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей:Тогда ее математическое ожидание равно …

Воспользуемся формулой  Тогда

Задание № 14

Равномерно распределенная случайная величина задана плотностью распределения вероятностейТогда ее функции распределения вероятностей имеет вид …

Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле Тогда:если  то  следовательно если  то если , то Тогда

Задание № 15

Случайная величина X распределена по показательному закону с плотностью распределения вероятностей  Тогда ее математическое ожидание и дисперсия равны …

Плотность распределения вероятностей случайной величины X, распределенной по показательному закону, имеет вид  и математическое ожидание и дисперсия равны соответственно:  Тогда  и

Задание № 16

Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием  и дисперсией  Тогда ее плотность распределения вероятностей имеет вид …

Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины X имеет вид  где   поэтому  Тогда

Задание № 17

Двумерная дискретная случайная величина  задана законом распределения вероятностей:Тогда вероятность  равна …

Задание № 18

Двумерная дискретная случайная величина  задана законом распределения вероятностей:Тогда условное математическое ожидание составляющей Y при условии, что составляющая X приняла значение  равно …

Предварительно составим условный закон распределения составляющей Y при  вычислив условные вероятности вида  по формулам  а именно:Тогда условное математическое ожидание составляющей Y при условии, что составляющая X приняла значение  равно

Задание № 19

Дискретные случайные величины  и  заданы законами распределения вероятностей:Тогда закон распределения вероятностей функции  имеет вид …

Чтобы найти возможные значения случайной величины  сложим каждое возможное значение  со всеми возможными значениями случайной величины  умноженными на : Вероятности этих возможных значений равны произведениям вероятностей слагаемых:    Тогда закон распределения вероятностей функции  примет вид:

Задание № 20

Корреляционная матрица для системы случайных величин  может иметь вид …

Для системы, состоящей из n случайных величин  или случайного вектора  корреляционная матрица R размерности  состоит из элементов  удовлетворяющих условиям: ,  и Этим условиями удовлетворяет, например, матрица

Задание № 21

Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей Тогда вероятность неравенства  можно оценить с использованием неравенства Чебышева как …

Воспользуемся неравенством Чебышева вида:  где  Тогда

Задание № 22

Вероятность изготовления бракованного изделия равна 0,05. Всего было изготовлено 800 изделий. Тогда вероятность того, что бракованных изделий окажется от 2,5 до 7,5%, можно оценить с использованием неравенства Бернулли как  …

Воспользуемся неравенством Бернулли вида  где    Тогда

Задание № 23

Вероятность своевременного погашения потребительского кредита составляет 0,9. Тогда вероятность того, что из 200 выданных кредитов будет своевременно погашено ровно 186 кредитов, следует вычислять как  …

Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение, и это распределение является асимптотически нормальным. Это означает, что при больших значениях числа испытаний  расчет по формуле Бернулли  становится практически невозможным.Поэтому для вычисления таких вероятностей на практике используется локальная формула Лапласа  где    Следовательно,

Задание № 24

Вероятность наступления страхового случая по договору автострахования равна 0,1. Тогда вероятность того, что на 1000 заключенных договоров произойдет не менее 90 страховых случаев, следует вычислить по …

Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение, и это распределение является асимптотически нормальным. Это означает, что при больших значениях числа испытаний  расчет по формуле Бернулли  становится практически невозможным, особенно когда надо вычислять вероятности не отдельного равенства (события)  а неравенств вида  Для вычисления таких вероятностей на практике используется интегральная формула Лапласа  где  – функция Лапласа, а  

Задание № 25

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема Тогда значение  равно …

Объем выборки вычисляется по формуле , где  – сумма частот вариант частичного интервала Тогда

Задание № 26

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема  гистограмма относительных частот которой имеет видТогда значение a равно …

Так как площадь гистограммы относительных частот равна 1, то  Тогда

Задание № 27

Мода вариационного ряда  8, 9, 13, 14, 14, 16, 16, 16, 16, 21 равна …

Модой вариационного ряда называется варианта, имеющая наибольшую частоту. Такой вариантой является варианта 16, частота которой равна четырем.

адание № 28

Из генеральной совокупности X извлечена выборка объема Тогда ее эмпирическая функция распределения вероятностей  имеет вид …

По определению  где  число вариант, меньших x. Тогдаа) при  б) при  в) при  г) при  д) при  Следовательно,

Задание № 29

Интервальная оценка среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака X имеет вид  Если «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение равно  то значение a составляет …

Интервальная оценка среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака имеет вид  если  или  если  Тогда или

Задание № 30

Проведено пять измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 9,5; 9,8; 10,2; 10,3; 10,8. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …

Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле  то есть

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема Тогда выборочная дисперсия равна …

Выборочную дисперсию можно вычислить по формуле Тогда

Задание № 31

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема Тогда выборочная дисперсия равна …

Выборочную дисперсию можно вычислить по формуле Тогда

Задание № 32

Дан доверительный интервал  для оценки вероятности биномиально распределенного количественного признака. Тогда точечная оценка вероятности равна …

Интервальная оценка вероятности биномиально распределенного количественного признака представляет собой интервал, симметричный относительно точечной оценки. Тогда точечная оценка будет равна

Задание № 33

Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид  Тогда выборочный коэффициент регрессии равен …

Если выборочное уравнение парной регрессии имеет вид  то выборочный коэффициент регрессии равен . То есть

Задание № 34

Двусторонняя критическая область может определяться из соотношения …

Двусторонней называют критическую область, определяемую, например, соотношением вида  где  – положительное число, а – уровень значимости.Таким соотношением является



Задание № 35

Наблюдаемое значение критерия  проверки гипотезы  о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому (предполагаемому) значению  может иметь вид …

Для проверки гипотезы  о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому (предполагаемому) значению  применяется статистический критерий который имеет хи-квадрат распределение с  степенями свободы, где n – объем выборки, по которой вычисляется исправленная дисперсия

Задание № 36

Основная гипотеза имеет вид  Тогда конкурирующей может являться гипотеза …

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит основной гипотезе. Условию  противоречит, например, гипотеза

Задание № 37

Вероятность брака при производстве некоторого изделия равна  В этом случае производитель терпит убытки в размере 40 у.е. При изготовлении небракованного изделия производитель получает прибыль в размере 20 у.е.Если изготовлено 3 изделия, то вероятность прибыли производителя равна …

Для получения прибыли необходимо, чтобы все три произведенных изделия были небракованными. Введем дискретную случайную величину X – количество небракованных изделий.Тогда

Задание № 38

Вероятность брака при производстве некоторого изделия равна  В этом случае производитель терпит убытки в размере 40 у.е. При изготовлении небракованного изделия производитель получает прибыль в размере 20 у.е.Если изготовлено 3 изделия, то ожидаемая средняя прибыль (убыток) производителя будет равна ____ у.е.

Составим закон распределения дискретной случайной величины Y – прибыли производителя:Тогда ожидаемая средняя прибыль производителя определяется как математическое ожидание

Задание № 39

Состояния банка    характеризуются годовыми процентными ставками, равными соответственно 7 %, 9 % и 11 %. Эти ставки устанавливаются в начале года и не меняются до следующего года. Размеченный граф состояний с постоянными значениями переходных вероятностей представлен на рисунке:Тогда матрица вероятностей перехода из состояния в состояние имеет вид …

Задание № 40

Состояния банка    характеризуются годовыми процентными ставками, равными соответственно 7 %, 9 % и 11 %. Эти ставки устанавливаются в начале года и не меняются до следующего года. Размеченный граф состояний с постоянными значениями переходных вероятностей представлен на рисунке:Установите соответствие между вектором вероятностей состояний банка  в момент времени (год)  и вектором вероятностей состояний  через один год:1) 2) 3)

Воспользуемся формулой Тогда:1) 2) 3)

Задание № 41

Состояния банка    характеризуются годовыми процентными ставками, равными соответственно 7 %, 9 % и 11 %. Эти ставки устанавливаются в начале года и не меняются до следующего года. Размеченный граф состояний с постоянными значениями переходных вероятностей представлен на рисунке:В 2011 году процентная ставка была равна 9 %. Тогда значение  в начале 2013 года равно …

Воспользуемся формулой Тогда последовательно:Следовательно, значение  в начале 2013 года равно








sitemap
sitemap