Дистанционный курс для учащихся 10 классов Решение задач В13



Текстовая задача В13 — легко!

Алгоритм решения и успех на ЕГЭ

Почему текстовые задачи В13 относятся к простым?Во-первых, все задачи В13 из банка заданий ФИПИ решаются по единому алгоритму, о котором я вам расскажу. Во-вторых, все В13 однотипны — это задачи на движение или на работу.

Главное — знать к ним подход.

Внимание! Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия.Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. А если даже вы забыли формулу для дискриминанта — не беда, напомним.

Но прежде чем перейти к самим задачам — проверьте себя.

Запишите в виде математического выражения:

 на 5 больше 

 в пять раз больше 

 на 8 меньше, чем 

 меньше  в 3,5 раза

 на 1 меньше, чем 

частное от деления  на  в полтора раза больше 

квадрат суммы  и  равен 7

 составляет 60 процентов от 

 больше  на 15 процентов

Казалось бы, на первые три вопроса ответит и второклассник. Но почему-то у половины выпускников они вызывают затруднения, не говоря уже о вопросах 7 и 8. Из года в год я наблюдаю парадоксальную картину: ученики одиннадцатого класса долго думают, как записать, что « на 5 больше ».

Итак, правильные ответы:

 х больше, чем у. Разница между ними равна пяти. Значит, чтобы получить бóльшую величину, надо к меньшей прибавить разницу.

х больше, чем у, в пять раз. Значит, если у умножить на 5, получим х.

z меньше, чем х. Разница между ними равна 8. Чтобы получить меньшую величину, надо из большей вычесть разницу.

 меньше, чем . Значит, если из большей величины вычтем разницу, получим меньшую.

На всякий случай повторим терминологию:Сумма — результат сложения двух или нескольких слагаемых.Разность — результат вычитания.Произведение — результат умножения двух или нескольких множителей.Частное — результат деления чисел.

Мы помним, что .

Если  принять за 100, то  на 15 процентов больше, то есть   115  1,15.

Теперь — сами задания В13.

Начнем с задач на движение.

Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Здесь всего два правила:

Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: , то есть расстояние  скорость  время. Из этой формулы можно выразить скорость  или время .

В качестве переменной х удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

Для начала очень внимательно читаем условие. В нем все уже есть. Помним, что текстовые задачи на самом деле очень просты.

12. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за ? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче. Автомобилист проезжает на 40 километров больше, значит, его скорость равна 40.

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по 50 км. Можно внести скорость — она равна  и 40 для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».

Его мы найдем по формуле: . Для велосипедиста получим , для автомобилиста . Эти данные тоже запишем в таблицу.Вот что получится:

v

t

S

велосипедист

50

автомобилист

40

50

Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на 4 часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит, что  на четыре больше, чем , то есть

Решаем уравнение.

Приведем дроби в левой части к одному знаменателю.

Первую дробь домножим на 4, вторую — на .

Получим:

Разделим обе части нашего уравнения на 4. В результате уравнение станет проще. Но почему-то многие учащиеся забывают это делать, и в результате получают сложные уравнения и шестизначные числа в качестве дискриминанта.

Умножим обе части уравнения на . Получим:

Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть уравнения:

Мы получили квадратное уравнение. Напомним, что квадратным называется уравнение вида       0. Решается оно стандартно — сначала находим дискриминант по формуле   2  4, затем корни по формуле .

В нашем уравнении 1,   40,   500.

Найдем дискриминант   1600  2000  3600 и корни:

  10,   50.

Ясно, что  не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.

Ответ: 10.

Следующая задача — тоже про велосипедиста.

13. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна . Тогда его скорость на обратном пути равна 3. Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое — 70 километров. Осталось записать время. Поскольку , на путь из А в В велосипедист затратит время , а на обратный путь время .

v

t

S

туда

х

70

обратно

х3

70

На обратном пути велосипедист сделал остановку на 3 часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из А в В. Это значит, что на обратном пути он крутил педали на 3 часа меньше.

Значит,  на три меньше, чем . Получается уравнение:

Оно очень похоже на предыдущее. Сгруппируем слагаемые:

Точно так же приводим дроби к одному знаменателю:

Разделим обе части уравнения на 3.

Умножим обе части уравнения на (3), раскроем скобки и соберем все в левой части.

  3  70  0

Находим дискриминант. Он равен 9470  289.

Найдем корни уравнения:

  7. Это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ   10 не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.

Ответ: 7.

Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение.

Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.

При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее.

Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.

А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

14. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна .

Тогда скорость движения моторки по течению равна 1, а скорость, с которой она движется против течения 1.

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 255 км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать. При движении по течению , при движении против течения , причем  на два часа больше, чем .

v

t

S

по течению

1

255

против течения

1

255

Условие « на два часа меньше, чем » можно записать в виде

 

Составляем уравнение:

и решаем его.

Приводим дроби в левой части к одному знаменателю

Раскрываем скобки

Делим обе части на 2, чтобы упростить уравнение

Умножаем обе части уравнения на 1

 255

  256.

Вообще-то это уравнение имеет два корня: 16   и   16   (оба этих числа при возведении в квадрат дают 256). Но конечно же, отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.

Ответ: 16.

15. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Снова обозначим за  скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна 15, скорость его движения против течения равна 15. Расстояния — и туда, и обратно — равны 200 км.

Теперь графа «время».

Поскольку , время  движения теплохода по течению равно , а время , которое теплоход затратил на движение против течения, равно .

v

t

S

по течению

15

200

против течения

15

200

В пункт отправления теплоход вернулся через 40 часов после отплытия из него. Стоянка длилась 10 часов, следовательно, 30 часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против.

Значит,   30

Прежде всего разделим обе части уравнения на 10. Оно станет проще!

Всё уже понятно — приводим дроби в левой части к одному знаменателю, умножаем обе части уравнения на 225, получаем квадратное уравнение 25. Поскольку скорость течения положительна, получаем: 5.

Ответ: 5.

Наверное, вы уже заметили, насколько похожи все эти задачи. Текстовые задачи хороши еще и тем, что ответ легко проверить с точки зрения здравого смысла. Ясно, что если вы получили скорость течения, равную 300 километров в час — задача решена неверно.

16. Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

Пусть скорость течения равна . Тогда по течению баржа плывет со скоростью 7, а против течения со скоростью 7.

Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из 16 вычесть 10, а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что 1 час 20 минут придется перевести в часы: 1 час 20 минут  1 часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно 4 часа.

v

t

S

по течению

7

15

против течения

7

15

  4

Возникает вопрос — какой из пунктов, А или В, расположен выше по течению? А этого мы никогда не узнаем! :-) Да и какая разница — ведь в уравнение входит сумма , равная .

Итак,

Решим это уравнение. Число 4 в правой части представим в виде неправильной дроби: 4  .

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю, раскроем скобки и упростим уравнение. Получим:

Работать с дробными коэффициентами неудобно! Если мы разделим обе части уравнения на 14 и умножим на 3, оно станет значительно проще:

45  49  

  4

Поскольку скорость течения положительна,  2.

Ответ: 2.

Еще один тип задач В13, встречающийся в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: A  p  t. Здесь A — работа, t — время, а величина p, которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его производительность.

Правила решения задач на работу очень просты.

 p  t, то есть работа  производительность  время. Из этой формулы легко найти t или p.

Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов — работа как раз и равна этому количеству.

Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода…) — их производительности складываются. Очень логичное правило.

В качестве переменной  удобно взять именно производительность.

Покажем, как все это применяется на практике.

17. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Так же, как и в задачах на движение, заполним таблицу.



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap
sitemap