Дистанционное обучение учащихся



Метод интервалов

Методом интервалов (иногда его называют также методом промежутков), называется метод решения неравенств, основанный на исследовании смены знаков функции. Данный метод находит применение в широком круге задач, в частности, при решении линейных неравенств, квадратных неравенств, дробно-линейных неравенств.

В основе метода интервалов лежат следующие положения:

Знак произведения (частного) однозначно определяется знаками сомножителей (делимого и делителя).

Знак произведения не изменится (изменится на противоположный), если изменить знак у четного (нечетного) числа сомножителей.

Знак многочлена справа от большего (или единственного) корня совпадает со знаком его старшего коэффициента. В случае отсутствия корней знак многочлена совпадает со знаком его старшего коэффициента на всей области определения.

Если строго возрастающая (убывающая) функция имеет корень, то справа от корня она положительна (отрицательна) и при переходе через корень меняет знак.

Рассмотрим основную схему решения неравенства вида  () методом интервалов.

Найти область определения функции .

Найти нули функции .

На числовую прямую нанести область определения и нули функции. Нули функции разбивают ее область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак.

Найти знаки функции в полученных промежутках, вычислив значение функции в какой-либо одной точке из каждого промежутка.

Записать ответ.

Метод интервалов можно использовать для решения любых неравенств, начиная с линейных и заканчивая сложными дробно-рациональными, логарифмическими, иррациональными неравенствами. Рассмотрим применение этого метода на следующих примерах. Обратите внимание на оформление решений.

Примеры.

1. Решить неравенство

Решение:

Решим неравенство методом интервалов.

Рассмотрим функцию

и найдем множество значений х, при которых 

1) Найдем

2) Найдем нули функции:

3)

Если x > 1, например x = 2, то

Если  например ,то

Если, например, то

Если x < 0, например x = -1, то

Итак,  при .

Ответ:  

2. Решить неравенство .



Решение:

Воспользуемся методом интервалов. Рассмотрим функцию f(x)=x2(2x+1)(x-3) и найдем множество значений х , при которых 

1)D(f)=R

2) Найдем нули функции:x2(2x+1)(x-3)=0

3)

Пусть требуется решить неравенство (x — a1)k1(x — a2)k2…(xan — 1)kn — 1(xan)kn > 0,  где k1k2, …,  kn — 1,  kn  – целые положительные числа; a1a2, …,an — 1, an   – действительные числа, среди которых нет равных, причем такие, что a1 <  a2 <  ..< an — 1 <  an .

 Рассмотрим свойство двучлена (x — a)n . Точка  a  делит числовую ось на две части, причем:

если n  четное, то выражение (x — a)n  справа и слева от точки a  сохраняет положительный знак;

если n  нечетное, то выражение (x — a)n  справа от точки a  положительно, а слева от точки aотрицательно.



Рассмотрим функцию f(x) = (x — a1)k1(x — a2)k2…(x — an — 1)kn — 1(x — an)kn,  где a1 <  a2 <  ..< an — 1 <  an.

Для любого числа x0 такого, что x0 >  an, соответствующее числовое значение любого сомножителя в произведении положительно, а значит, f(x0) > 0 . Для любого числа  x1, взятого из интервала  (an — 1an), соответствующее числовое значение любого из множителей, кроме множителя  (xan)kn, положительно, если kn  – четное число, и отрицательно, если  kn   – нечетное число. Поэтому число f(x1) < 0 ,  если  kn   – нечетное число и   f(x1) > 0 , если  kn – четное число. Аналогично определяется  знак функции f(x)  на любом интервале.

Таким образом, на числовую ось наносят числа  a1a2, …,an — 1, an . В промежутке справа от наибольшего из них, т. е. числа  an , ставят знак плюс, а затем, двигаясь, справа налево, при переходе через очередное число   меняют знак, если   kn   – нечетное число и  сохраняет знак, если  kn   – четное число.

Пример Решить неравенство (x + 7)(2x — 5)3(6 — x)5(3x + 10)4 < 0 .

Решение. Перепишем неравенство в равносильном виде (x — ( -7))(x — ( -310))4(x -2,5)3(x — 6) > 0. На числовой оси отметим числа -7, -10/3, 2,5 и 6. Справа от наибольшего числа 6 ставим знак плюс. 

При переходе через точку x = 6  функция

f(x) = (x — ( -7))(x — ( -310))4(x -2,5)3(x — 6)меняет знак, так как двучлен (x — 6)  содержится в нечетной степени, поэтому в промежутке (2,5; 6) ставим знак минус. При переходе через точку x= 2,5  функция f(x)  меняет знак, так как двучлен (x — 2,5)   содержится в произведении в нечетной степени, поэтому в промежутке (-10/3; 2,5) ставим знак плюс. 

При переходе через точку x = -10/3 функция f(x)  не меняет знака, так как двучлен (x -( -10/3))   содержится в произведении в четной степени, поэтому в промежутке(-7;-10/3) ставим знак плюс. Наконец, при переходе через точку  x = 7   функция f(x)  меняет знак, так как двучлен (x — ( -7))  содержится в произведении в первой степени, поэтому в промежутке  (−;7) ставим знак минус. Решением неравенства (x + 7)(2x — 5)3(6 — x)5(3x+ 10)4 < 0, а значит, и равносильного ему неравенства  (x — ( -7))(x — ( -310))4(x -2,5)3(x — 6) > 0  будет совокупность промежутков, где стоит знак плюс.



Ответ: x(−7;−310)(−310;25)(6;+).








sitemap
sitemap