ДиофантЛинейные диофантовы уравнения



1 Чтобы исчерпать всё известное о личности Диофанта, приведём дошедшее до нас стихотворение-загадку

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы.

2 Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Нижняя грань этого промежутка определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н. э. С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещён отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине IV века н. э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!

время жизни Диофанта — середина III века н. э. Диофант прожил 84 года

3 Зато место жительства Диофанта хорошо известно — это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира.

4 Александрия продолжала оставаться научным центром мира

5 Загадочным представляется и само творчество Диофанта. До нас дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику»

6 «Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго продуманных методов. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.

В первой книге предложено «общее введение», на котором я остановлюсь более подробно.

7 Диофант начинает с основных определений и описания буквенных символов, которые он будет применять.

В классической греческой математике, которая нашла своё завершение в «Началах» Евклида, под числом άριJμός — «аритмос» или «арифмос»; отсюда название «арифметика» для науки о числах



Диофант приводит традиционное определение числа как множества единиц, однако в дальнейшем ищет для своих задач положительные рациональные решения, причём называет каждое такое решение числом (άριJμός — «аритмос»).

8 Но этим дело не ограничивается. Диофант вводит отрицательные числа: он называет их специальным термином λει̃ψις — «лейпсис» — производное от глагола λει̃πω — «лейпо», что означает недоставать, нехватать, так что сам термин можно было бы перевести словом «недостаток».

9 Положительное число Диофант называет словом ΰπαρξις — «ипарксис», что означает существование, бытие, а во множественном числе это слово может означать имущество или достояние. Таким образом, терминология Диофанта для относительных чисел близка к той, которую употребляли в Средние века на Востоке и в Европе.

10 Заметим, что термин λει̃ψις — «лейпсис» — нельзя переводить как «вычитаемое», как это делают многие переводчики Диофанта, потому что для операции вычитания Диофант применяет совершенно иные термины, а именно άφελει̃ν — «афелейн» или άφαιρει̃ν — «афайрейн», которые являются производными от глагола άφαιρεω — «афайрео» — отнимать. Сам Диофант при преобразовании уравнений часто употребляет стандартное выражение «прибавим к обеим сторонам λει̃ψις».

11 В «Арифметике» мы встречаем впервые и буквенную символику. Диофант ввёл следующие обозначения для первых шести степеней x, x2, … , x6 неизвестного x:

первая степень — ς;

вторая степень — Δυ̃ от Δύναμις — «дюнамис», что означает сила, степень;

третья степень — Κυ̃ от Κύβος — «кубос», т.е. куб;

четвёртая степень — Δυ̃Δ от Δύναμοδύναμις — «дюнамодюнамис», т.е. квадратоквадрат;

пятая степень — ΔΚυ̃ от Δύναμοκύβος — «дюнамокубос», т.е. квадратокуб;



шестая степень — Κυ̃Κ от Κύβοκύβος — «кубокубос», т.е. кубокуб.

Свободный член, или x0, Диофант обозначал символом °

Μ

от μονάς — «монас», что значит единица.

Он ввёл специальный знак для отрицательного показателя степени и, таким образом, получил возможность обозначать первые шесть отрицательных степеней неизвестного. Например, х-2; х-3 он обозначал соответственно Δυ̃, Κυ̃.

Итак, у Диофанта была символика для обозначения одного неизвестного и его положительных и отрицательных степеней вплоть до шестой. Обозначения для второго неизвестного он не ввёл, что сильно затрудняло решение задач. Иногда на протяжении одной задачи один и тот же символ мог обозначать то одно, то другое неизвестное число. Кроме этих символов, Диофант употреблял знак 



Для равенства Диофант применял знак ΐσ — первые две буквы слова ΐσος — «исос», т.е. равный. Всё это дало ему возможность получить буквенную запись уравнения. Например, уравнение

202×2 + 13 – 10x = 13

он записывает так: °°

Δυ̃σβΜιγςιΐσΜιγ 5).

13 Далее, во «введении» формулируются правила преобразования уравнений: прибавление равных членов к обеим частям уравнения и приведение подобных членов. Оба эти правила получили впоследствии широкую известность под арабизированными названиями «алджебр» и «альмукабала».

Мы видим, что хотя при наименовании и обозначении степеней неизвестного ещё применяются геометрические термины «квадрат», «куб» (что, кстати, сохранилось и до наших дней), однако при составлении уравнений Диофант трактует их не как геометрические образы, а как числа. Более того, он находит возможным ввести «квадратоквадраты», «квадратокубы» и т.д., разумеется, никак не связывая их с пространствами высшего числа измерений, т.е. он употребляет геометрическую терминологию только благодаря сложившейся традиции.

Таким образом, мы здесь встречаемся с совершенно новым построением алгебры, которая основывается уже не на геометрии, как это было у Евклида, а на арифметике. Однако это не простой возврат к числовой алгебре Вавилона, а начало построения буквенной алгебры, которая наконец-то находит у Диофанта присущий ей язык.








sitemap
sitemap