Виды однородных уравнений Системы однородных уравнений



Тема:

Однородные уравнения. Системы однородных уравнений.

Содержание:

Введение………………………………………………………………………………………………………. 2

Однородные алгебраические уравнения…………………………………………………… 3

Однородные показательные уравнения…………………………………………………….. 8

Однородные логарифмические уравнения………………………………………………. 11

Однородные тригонометрические уравнения…………………………………………. 12

Системы однородных уравнений…………………………………………………………….. 13

Решение систем однородных уравнений графическим методом………….. 22

Заключение………………………………………………………………………………………………… 24

Список используемой литературы……………………………………………………………. 25

Введение

В своей работе я рассмотрела различные методы решения однородных уравнений и систем однородных уравнений, которые чаще всего встречаются при изучении. Представленные методы могут служить опорой для решения разнообразного типа других задач. Решение систем, содержащих два уравнения с двумя переменными второй, четвертой степеней, является не очень простой темой. Но в то же время в некоторых частных случаях такие системы могут быть решены с помощью простых и изящных приёмов. Иногда, посмотрев на уравнение, кажется, что это простое уравнение, но сделав определённые преобразования, мы видим, что это однородное уравнение. Однородные уравнения применяются также и для решения задач по физике. В работе разработана классификация однородных уравнений и систем.

Уравнение называется однородным, если все слагаемые, содержащие неизвестные, имеют одну и ту же степень (показатели степеней разных неизвестных в слагаемом складываются).

1. Однородные алгебраические уравнения

А) /:

Однородные уравнения 4-й степени. Можно убедиться – делить можно на любой из 3-х слагаемых.

Замена: =t>0

Ответ:

Можно иначе:

Аналогично: (/: (

Ответ: =2,5

Б)

Введем новые неизвестные . Получим уравнение однородное второй степени относительно . Делим обе его части на (легко увидеть, что в случае решений нет) и полагаем.Получаем уравнение c корнями t1= –, t2= .

В первом случае ;

;

;

, это уравнение действительных корней не имеет.

Во втором случае

x1=3; x2 =

Ответ: x1=3; x2 =

В)

Положим Тогда уравнение принимает вид: В случае решений нет.

Разделим обе части уравнения на и введем новое неизвестное , получи уравнение c корнями t1=, t2= –2.

В первом случае ,

x1= 2; x2= 4

Во втором случае ,

x3= –1; x4= –.

Ответ: x1= 2; x2= 4; x3= –1; x4= –.

Г)

Введем еще одно неизвестное Получим однородное уравнение Его можно решать как обычно, а можно представить в виде следует

x1= –3, x2=5.

Значение x= –3 не удовлетворяет уравнению, а x=5- удовлетворяет.

Ответ: x=5

Д)

Если положить то получится уравнение, которое можно было бы назвать «однородным степени », если бы было дано соответствующее определение. Чтобы не иметь дела с дробными показателями, положим:

а) если

б) если

В первом случае приходим к уравнению откуда делением на находим, что (второй корень уравнения следует отбросить), , так что на промежутке исходное уравнение не имеет корней.

Во втором случае (при ) получаем уравнение откуда Так как то это — корень исходного уравнения.

Ответ: .

Однородные уравнения получаются при решении задач.

Задача. Из пункта А в пункт Б выехала машина. Одновременно навстречу ей из пункта Б выехал велосипедист. Через 3 минуты после встречи машина мгновенно поворачивает, едет за велосипедистом, и, догнав его, снова мгновенно поворачивает и прибывает в пункт Б. Если бы машина мгновенно повернула через 1 минуту после встречи, а велосипедист после встречи увеличил бы скорость в 15/7 раза, та машина затратила бы на всю дорогу то же самое время. Найти отношение скоростей велосипедиста и машины.

Пусть x (км/мин) – скорость машины, а y (км/мин) – скорость велосипедиста. Заметим, что на движение машины от пункта А до первой встречи с велосипедистом в первом и втором случае уходит одно и то же время и, что на движение от места первой встречи с велосипедистом до пункта Б в обоих случаях также уходит одинаковое время. Поэтому одно и то же время занимает движение машины от момента первой встречи с велосипедистом до второго прохождения места их первой встречи. Подсчитаем это время в каждом случае.

После встречи с велосипедистом машина ехала 3 минуты в направлении пункта Б. На обратную дорогу до места встречи ей потребуется еще 3 минуты. Велосипедист за это время удалится от места встречи на 6y км. Машина будет его догонять со скоростью (xy) км/мин, на это у нее уйдет На обратную дорогу до места встречи у нее уйдет также , а всего мин.

Проводя аналогичные рассуждения, получим:

мин.

Приравнивая найденные выражения, получаем уравнение

,

откуда

Это – однородное уравнение второй степени относительно и Полагая (отношение скорости машины и велосипедиста) и, решая уравнение

находим (отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи).

В этой задаче у нас было одно уравнение с двумя независимыми переменными. Такой случай встречается довольно редко, обычно в задачах переменные связаны некоторыми дополнительными соотношениями.

Ответ:

2.Однородные показательные уравнения.

А)

Пусть тогда

Это однородное уравнение второй степени относительно и . Разделим обе части на . Получим:

=0 Замена:

Вернемся к замене:

— не удовлетворяет

Ответ:

Б) ОДЗ:

По определению

, но не принадлежит

Ответ: решений нет

В)УНИКАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ:

Нелегко увидеть, что это уравнение однородное:

ОДЗ:

/

Замена:

однородное уравнение 2-ой степени

2-й способ решения:

Ответ:

Г)

/:

Замена тогда

Этот корень не удовлетворяет условию

Вернемся к замене:



Ответ:

3. Однородные логарифмические уравнения.

А) ОДЗ:

Это однородное уравнение 2-й степени относительно и

Разделим на

Ответ: корней нет

Аналогично:

Однородное уравнение 2-й степени.

ОДЗ:

Разделим на любой из членов.

4. Однородные тригонометрические уравнения.

Уравнения

,

где a, b, c, dдействительные числа, называются однородными относительно

А) однородное уравнение первой степени.

Если то что невозможно, т.к. теряет смысл

тождество Синус и косинус одного и того же аргумента не могут быть



равны 0 одновременно. Следовательно, при делении на получаем уравнение,

равносильное данному:

/:

n

Ответ: n

Можно ли делить на Если делить на то выдвигать условие

Будут ли значения , при которых корнями данного уравнения? НЕТ! Если

то , что невозможно, т.к. теряет смысл основное

тригонометрическое тождество .

Б) — однородное уравнение 2-й степени.

По основному тригонометрическому тождеству .

Если 0, то .

Если , то .

Делим полученное уравнение на

Ответ: ,

В) Если все члены содержат cos x, то на cos x делить нельзя. Если все члены содержат sin x,

то на sin x делить нельзя.

Ответ:

Г)

Ответ:

5. Системы однородных уравнений

А)

Пусть

t1,2

Зная t, легко сразу найти

Используя это, найдем y, а затем x.

а)

б)

При y=0 решений нет.

Ответ: {(3

2-й способ решения:

+

x1,2=

1) 2)

Ответ: {(

Б)

Пусть

а)t=5.

б) t=1,5

При y=0 решения нет.

Ответ: {

В) В этой системе можно потерять решение.

а)t

Казалось бы все в порядке, но ведь подстановка имеет смысл, только



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap
sitemap