Вероятность



Статистическая вероятность

Пусть произведено n испытаний, в каждом из которых событие A может появиться, а может не появиться.Определение 24.Частотой события называется отношение числа испытаний, в которых событиепоявилось, к общему числу всех испытаний.

 (8)

где m- число испытаний, в которых появилось событие An — общее число испытаний.Пример 20. Среди 1000 новорожденных оказалось 515 мальчиков. Чему равна частота рождения мальчиков?Решение. Пусть событие A={рождение мальчика}, по формуле (8) вычисляем частоту этого события:

Свойства.

1. 2. если A — достоверное событие, то 3. если A — невозможное событие, то 4. если A и B — несовместные события, то 5. , где — это условные частоты событий, то есть частоты одного события, вычисленныепри условии наступления другого события.Частоту события можно определить только после проведения испытаний, и в различных сериях испытаний приодних и тех же условиях частота меняется, поэтому она является плохой характеристикой случайного события. Но по мере увеличения числа испытаний, частота постепенно стабилизируется, приближаясь с незначительными колебаниями, к некоторой средней, постоянной величине.Определение 25. Постоянное число, около которого группируются частоты случайного события по мере увеличения числа испытаний называется статистической вероятностью случайного события.Положительная сторона данного определения вероятности случайного события — это то, что оно опирается на реальный эксперимент, недостатком определения является то, что для надежного определения такой вероятности необходимо проделать большое число испытаний.Вопрос. Частота всхода семян 0,97. Из высеянных семян взошло 970. Сколько семян было высеяно?

10000

970

1000

100

Классическое определение вероятности

Пусть проводится испытание, для которого  — множество всех исходов. Случайное событие A — это подмножество множества всех исходов, то есть , тогда

 (9)

где m — число исходов, благоприятствующих данному событию( это исходы, в которых данноесобытие произошло)n — число всех исходов данного испытания.

Пример 21. В урне 15 шаров: 9 красных и 5 синих. Найти вероятность того, что два наудачу извлеченных шара будут красными.Решение. Сначала вычислим число всех исходов данного испытания, для этого воспользуемся формулами комбинаторики. Два извлеченных шара — это подмножество из двух элементов множества из 15 элементов, то есть это сочетание. Тогда число всех сочетаний , значит n=105. Пусть событие A={два извлеченных шара красные}, поэтому благоприятствующие данному событию исходы — это подмножества из 2 элементов множества из 9 элементов, их . Теперь вычисляем вероятность события по формуле (9):.Формулой (9) можно пользоваться в том случае, когда исходов, соответствующих данному испытанию, конечноечисло и все исходы равновозможны.Вопрос. Бросается игральный кубик. Вероятность невыпадения шестерки равна .

верно

неверно

Геометрическая вероятность

При решении ряда прикладных вероятностных задач возникают ситуации, когда множество исходов испытания содержит бесконечное число элементов, тогда применение классического определения вероятности невозмож-но. В этом случае каждому исходу данного испытания можно поставить в соответствие точку некоторого отрезка числовой оси, или точку области на плоскости, или точку области в пространстве. Аналогом равновозможности исходов является равномерная плотность распределения точек по отрезку или в некоторой области плоскости, или в некоторой области в пространстве. Тогда вероятность случайного события будет вычисляться по формуле:



 (10)

где  — геометрическая мера области, занятой точками, соответствующими событию A, -геометрическая мера области, занятой точками, соответствующими всем исходам данного испытания.Такими геометрическими мерами являются длина, площадь, объем. Вероятность попадания в какую-либо часть области пропорциональна мере этой области и не зависит от ее формы и расположения.Пример 22. В круг радиуса 10 см вписан квадрат. В круг наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она попадет в квадрат.Решение. Пусть событие A={ точка попала в квадрат}. Тогда из формулы (10) следует, что вероятность этого события , где  — площадь квадрата,  — площадь круга. Сторона вписанного квадрата через радиус описанной окружности выражается формулой , то есть , тогда получаем .Вопрос. Отрезок числовой оси длины 12 см разделен на три равные части. Наудачу на отрезок ставится точка.Вероятность того, что точка попадет на среднюю часть равна.

1/6

1/3

2/3

1/2

Аксиоматическое построение теории вероятностей

Теорию вероятностей, как и всякую математическую науку, можно строить аксиоматическим методом. Аксиомытеории вероятностей вводятся так, чтобы вероятность обладала основными свойствами частоты.

Пусть  — пространство элементарных исходов, соответствующих некоторому испытанию. Случайное событие — это подмножество множества всех элементарных исходов, то есть .Каждому случайному событию  ставится в соответствие число , называемое вероятностью,удовлетворяющее следующим аксиомам:, если  — достоверное событие, если  — невозможное событие, если  и  — несовместные события, где  — это условные вероятности событий, то есть вероятности одного события, вычисленные при условии наступления другого.Очевидно, что эти аксиомы аналогичны соответствующим свойствам частоты события.Вопрос. Вероятность достоверного события равна нулю.

верно

неверно








sitemap
sitemap