В одной задаче вся геометрия



Проект

Вся тригонометрия в одной задаче

Над проектом работали учащиеся 10 класса МБОУ «Луковниковская СОШ» Старицкого района Тверской области: Макеева Наталья, Огаркова Светлана, Усова Анна, Зуева Дарья.

2012г

Задачи проекта:

-изучить и проанализировать теоретический материал, познакомиться с различными способами решения уравнения sin x + cos x = 1;

-подготовить результаты исследования к использованию на элективных курсах или на уроках математики как дополнительный материал.

Форма отчета:

математическая газета, презентация на электронном носителе.

Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x + cos x = 1.

Учащимся предлагается найти как можно больше способов решения этого уравнения.

1 способ.

sin x + cos x = 1,

Воспользуемся методом введения вспомогательного угла:

(или разделим обе части уравнения на )

sin x + cos x = ,

cos sin x + sin cos x = ,

sin ( x + ) = ,

x = — + arcsin + πn, n Z

x = — + + πn, n Z

Ответ. x = — + + πn, n Z .

2 способ.

sin x + cos x = 1,

sin x = , cos x = ,

+ = 1,

2 tg + 1 — = 1 + ,

2 tg – 2 = 0,

tg = 0,

tg ( 1 — tg ) = 0,

,

,

= arctg 0 + πn, n Z

= πn, n Z

X = 2 πn, n Z

= arctg 1 + πn, n Z

= + πn, n Z

X = + 2 πn, n Z

Ответ. X = 2 πn, X = + 2 πn, n Z .

3 способ.

sin x + cos x = 1,

sin x = 2 sin cos , cos x = ,

2 sin cos + = + ,

2 sin cos + = 0,

2 sin cos = 0,

sin cos = 0,

sin (cos — sin ) = 0,

sin = 0,

= πn, n Z

X = 2πn, n Z

cos sin = 0,

Разделим обе части уравнения на cos :

1 – tg = 0,

tg = 1,

= arctg 1 + πn, n Z

= + πn, n Z

X = + 2 πn, n Z

Ответ. X = 2πn, X = + 2 πn, n Z.

4 способ.

sin x + cos x = 1,

cos x = sin ( — x),

sin x + sin ( — x) = 1,

2sin cos = 1,

2sin cos = 1,

2sin cos (x — ) = 1,

cos (x — ) = 1,

cos (x — ) = ,

x — = + 2, n

x =

x = +

x =

Ответ. х = , +

5 способ.

sin x + cos x = 1,

sin x = cos ( — x),

cos ( — x) + cos x = 1,

2 cos cos = 1,

2 cos cos ( — x) = 1,

cos (x — ) = 1,

cos (x — ) = ,

x — = + 2, n

x =

x = +

x =

Ответ. х = , +

6 способ.

sin x + cos x = 1,

Возведем обе части уравнения в квадрат

(sin x + cos x) 2 = 1,

+ 2 sin x cos x + = 1,

2 sin x cos x + 1= 1,

2 sin x cos x = 0,

sin x cos x = 0,

,

Проверка.

Проверим корни вида x = , где n = 2k, k.

Следовательно, x = , где n = 2k, k является решением исходного уравнения.

Проверим корни вида x = , где n = 2k+1, k.

Следовательно, x = , где n = 2k +1, kне является решением исходного уравнения.



Проверим корни вида x = , где n = 2k, .

Следовательно, x = , где n = 2k, является решением исходного уравнения.

Проверим корни вида x = , где n = 2k+1, .

Следовательно, x = , где n = 2k+1, не является решением исходного уравнения.

Ответ. , , .

7 способ.

sin x + cos x = 1,

cos x = ,

sin x = 1,

= 1 – sin x,

= ,

= 1 – 2sin x + ,

-2 + 2 sin x = 0, -2



sin x = 0,

sin x ( sin x – 1 ) = 0,

sin x = 0,

x =

sin x – 1 = 0,

sin x = 1,

x = + , k .

Проверка.

x =

n = 2k+1, k

x = (2k+1), k

x = , k

sin() + cos() = -1, k

Так как -1 1, то x = , k не являются корнями уравнения.

n = 2k,

x = , k

sin + cos = 1, k

Так как 1= 1, то x = , k являются корнями уравнения.

x = + , n .

n = 2k+1, k

x = + (2k+1), k

x = + 4 +, k



x = 2 + 4, k

sin(2 + 4 + cos = sin + cos = 1, k

Так как 1= 1, то x = 2 + 4, k являются корнями уравнения.

n = 2k, k

x = + , k

x = + , k

sin( + 4 + cos = 1, k

Так как 1= 1, то x = + 4, k являются корнями уравнения.

Ответ. x = , + , n .

Также можно решить это уравнение, применив формулу sin x = .

8 способ.

sin x + cos x = 1,

(1 – cos x) – sin x = 0,

sin x = ,

(1 – cos x) = 0,

(1 ) = 0,

cos x = 1,

x = , n .

a) = -1,

нет корней.

b) = 1,

cos x = 0,

x = + , n .

Ответ. x =

Также можно решить это уравнение, применив формулу cos x = .

9 способ.

sin x + cos x = 1,

Так как |sin x| 1, |cos x|1, то

x = .

.

Ответ. x = .

10 способ.

sin x + cos x = 1,

Построим в одной системе координат графики функций

y = sin x, y = 1 – cos x

y = cos x, y = 1 – sin x

x =

x =

Проверка показала, что x = и x = являются корнями исходного уравнения.

Ответ.x = .

Литература:

Готман Э.Г., Скопец З.А. Задача одна, решения разные. – М.: Просвещение, 2000.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра и начала анализа. 10 класс.

-М.: Просвещение, 2008.








sitemap
sitemap