ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ



ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Основные понятия теории множеств.

Множеством называется совокупность каких-либо объектов, обладающим общим для всех характеристическим свойством. Это определение нельзя считать строгим, так как понятие множества является исходным понятием математики и не может быть определено через другие математические объекты. Один из основателей теории множеств Г. Кантор определял множество так: «Множество есть многое, мыслимое как целое».

Множество – это неопределяемое понятие, которое задается перечислением предметов, входящих (составляющих) в него, либо их свойствами.

Всякое множество состоит из элементов. Объекты, сущности или элементы, составляющие множество, обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, m, x, y …; множество часто обозначают прописными латинскими буквами А, В, М, Х, У…. Знак обозначает вхождение или принадлежность; х Е читается: «элемент х принадлежит множеству Е», или короче: «хэлемент множества Е». Следует различать «общий элемент» х множества Е, т. е. произвольный элемент, характеризующийся единственным свойством «принадлежать множеству», и конкретные элементы а, b, c,…, каждый из которых отличен от остальных. Если х не принадлежит Е, будем писать х Е, что читается «х не является элементом множества Е» или «х не принадлежит множеству Е».

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, говорят, что множество А является подмножеством множества В, и записывают А В или В А. Отметим, что по определению само множество А является своим подмножеством, т.е. А А.

Множество называется конечным, если оно одержит конечное число элементов. Все остальные множества называются бесконечными.

Также необходимо выделить пустые множества. Множества, не содержащие элементы, называются пустыми. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества, А, где А – любое множество. Таким образом, всякое множество содержит в качестве своих подмножеств пустое множество и само себя.

Существует два способа задания множества:

перечисление элементов (только для конечных множеств):

указание свойств:

— Множество М состоит из таких элементов х, обладающих свойством Р.

Пример:

1) — перечисление;

2)

Мощностью множества М называется число элементов в него входящих.

, , где М2 – множество, Н2 – мощность множества;

Операции над множествами.

Рассмотрим операции над множествами:

операция включения ():

Множество А включается в множество В или множество А является подмножеством множества В (А В), если любой элемент множества А содержится в множестве В.

Используется теоретико-множественные диаграммы или диаграммы Венна, при решении операции включения:

В

А

Множество А строго включается в множество В, если во-первых А является подмножеством В и существует элемент bВ, такой что bА.

, где k – количество элементов, т.е. =k, тогда количество подмножеств множества А определяется как 2k.

Свойства подмножеств:

А) Пустое множество является подмножеством любого множества:

Б) Всякое множество является своим собственным подмножеством:

операция объединения:

Объединением двух множеств А и В называется новое множество , которое содержит элементы, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А или В

В

А

операция пересечения:

Пересечением множеств А и В называется новое множество , которое состоит из элементов, каждый из которых принадлежит и множеству А и множеству В

операция разности:

Разностью множеств А и В называется новое множество , которое содержит элементы, каждый из которых принадлежит множеству А и не принадлежит множеству В.

операция прямого произведения:

Прямым произведением двух множеств А и В, называется новое множество , такое которое состоит из упорядоченных двоек чисел (а, b), причем таких, что первый элемент из этой двойки , второе .

Два множества А и В, называется равными, если множество А является подмножеством множества В, а В является подмножеством множества А.

.

Свойства операций.

Операции над множествами обладают некоторыми свойствами. Эти свойства выражаются совокупностью тождеств, справедливых независимо от конкретного содержания входящих в них множеств.

1. транзитивность операции включения:

т.е. если множество А является подмножеством В, а множество В является подмножеством множества С, то множество А является подмножеством множества С.

2. дистрибутивность операции пересечения относительно объединения:

т.е. если множество А объединить с множеством В, а потом пересечь с множеством С, то это тоже самое, что А пересечь с С и В пересечь с С, а потом объединить их.

3. дистрибутивность операции объединения относительно пересечения:

т.е. если множество А пересечь с множеством В, а потом объединить с множеством С, то это тоже самое, что А объединить с С и В объединить с С, а потом пересечь их.

4. первый закон двойственности:

т.е. дополнение множества , есть не что иное, как объединение дополнения множества А и дополнения множества В.

5. второй закон двойственности:

т.е. дополнение множества , есть пересечение их дополнений.

6. ассоциативность операции объединения:

7. ассоциативность операции пересечения:

8. свойства операции объединения:

коммутативность объединения:

,

,

,

.

9. свойства операции пересечения:

коммутативность пересечения:

,

,

,

.

10. свойства операции разности:

,

,

,

,

.

11. дополнение к дополнению любого множества есть всегда само множество, т.е.

12.

13.



sitemap
sitemap