Основы теории четерыехполюсников



Основы теории четырехполюсников.

1

1′

2′

2

+

+

Четырехполюсником называется электрическая схема произвольной структуры, имеющая четыре внешних зажима. (рис 1.1)

Рис.1.1 Схемное обозначение четырехполюсника.

Четырехполюсник имеет две пары зажимов 1-1′ и 2-2′, которые называются входами. Часто зажимы 2-2’а называют выходом, когда к ним подсоединяется нагрузка (а не источник сигнала). Будем рассматривать режим гармонических колебаний в четырехполюснике. На рис.1.1 обозначены комплексные действующие значения токов и напряжений входов. С помощью четырехполюсника моделируются различные радиотехнические устройства: транзисторы, электронные лампы, усилители, трансформаторы, линии передачи и др.

Свойства четырехполюсника, внутренняя структура которого может быть не известна, описываются некоторыми параметрами, связывающими токи и напряжения его входов. Суть теории четырехполюсников заключается в том, что на основании этой теории можно связать токи и напряжения его входов не интересуясь распределением токов и напряжений внутри сколь угодно сложной схемы четырехполюсника.

Классификация четырехполюсников.

Четырехполюсники могут различаться по элементарной базе, а также иметь структурные различия:

Линейные и нелинейные четырехполюсники.

Для линейных четырехполюсников, состоящий из линейных элементов (R,L,C), напряжение и ток на выходных зажимах линейно зависят от напряжения и тока на его входе. Если четырехполюсник содержит хотя бы один нелинейный элемент (диод, транзистор и др.), то он относится к классу нелинейных. Необходимо отметить, что электрические цепи с нелинейным элементом, работающим в режиме малого сигнала (например, транзисторный усилитель), могут быть представлены линейным четырехполюсником.

Активные и пассивные четырехполюсники.

Активные четырехполюсники в отличие от пассивных содержат независимые и (или) зависимые (управляемые) источники.

Обратимые и необратимые четырехполюсники.

Обратимые четырехполюсники позволяют передавать энергию в обоих направлениях (например RLC четырехполюсник). К необратимым четырехполюсникам относятся, например усилители, для схем, замещения которых характерно наличие управляемого источника с односторонней передачей энергии.

Симметричные и несимметричные четырехполюсники.

В симметричном четырехполюснике, в отличие от несимметричного, нельзя различить две пары входов путем электрических измерений. Часто симметричный четырехполюсник обладает структурной симметрией относительно вертикальной оси (рис. 1.2а)

R1

R1

R2

R2

R3

R3

б)

R2

R2

R1

R1

а)

Рис 1.2. Симметричный (а) и уравновешенный (б) четырехполюсники.

Уравновешенные и неуравновешенные четырехполюсники.Если схема четырехполюсника симметрична относительно горизонтальной оси, то он называется уравновешенным. Пример уравновешенного четырехполюсника на рас 1.2.б – неуравновешенного на рис 1.2а.

1.2. Параметра передачи четырехполюсника.

В теории четырехполюсников рассматриваются только токи и напряжения входов: 1 ,1 ,2 и 2. Принятые положительные направления этих величин указаны на рис. 1.1. Соотношения, связывающие эти четыре переменные называют уравнениями передачи четырехполюсника, а коэффициенты переменных его параметрами. При записи уравнений передачи принимают любые две переменные за независимые, а две оставшиеся за зависимые переменные и зависимые переменные выражают через независимые. Например, можно составить такую систему:

= =

Число различных систем уравнений равно 6 (числу сочетаний из 4 по 2 или. С). Каждая из 6 систем уравнений полностью будет определять поведение четырехполюсника по отношению к его внешним зажимам. Так как все системы уравнений описывают один и тот же четырехполюсник, то любую из них можно получить из любой другой. В дальнейшем будем рассматривать линейные четырехполюсники. Для них уравнения передачи будут линейными.

Уравнения передачи четырехполюсника через Y-параметры или параметры проводимости

Рассмотрим систему (1.1).В ней принято, что независимые переменные напряжения входов . Их можно рассматривать как заданные воздействия, которые подключаются в виде источников напряжения к двум входам. Тогда токи входов (как реакции) можно представить по принципу наложения в виде двух слагаемых от действия каждого источника в отдельности. Например:

()+()

Где: -частичный ток, вызванный воздействием только — частичный ток вызванный воздействием только .

Аналогично для тока Вводя соответствующие коэффициенты, можно записать систему линейных уравнений:

(1.2)

+

+

Параметры (коэффициенты) уравнений имеют размерность проводимостей, а их физический смысл можно установить из рассмотрения режимов короткого замыкания входов, когда принимается =0 или =0;

-входная проводимость со стороны входа 1 при короткозамкнутом входе 2.

-передаточная проводимость от входа 2 к входу 1 как отношение тока короткозамкнутого входа 1 к напряжению входа 2.

-передаточная проводимость от входа 1 к входу 2 как отношение тока короткозамкнутого входа 2 к напряжению входа 1.

-входная проводимость со стороны входа 2 при короткозамкнутом входе 1.

Для симметричного четырехполюсника должно выполняться равенство входных проводимостей Y11=Y22, а для обратимого – равенство передаточных проводимостей Y12=Y21. Эти утверждения следуют из определений симметричного и взаимного четырехполюсников и из физического смысла соответствующих Y-параметров. Y-параметры по понятным причинам называют также параметрами проводимостей короткого замыкания. Часто используется матричная запись рассматриваемых уравнений:

(1.3)

В которой используется матрица Y-параметров и матрицы столбцы токов и напряжений

Пример 1. Определить Y-параметры П-образного четырехполюсника (рис 1.3)

Y2

+

1+2

Y1 Y3 Рис. 1.3 П-образный четырехполюсник

1’2’

Для решения достаточно записать уравнения по методу узловых напряжений, приняв нижний узел за базисный:

Таким образом Y11=Y1+Y2; Y11=-Y2=Y21; Y22=Y2+Y3

Отметим, что для пассивного четырехполюсника Y21=Y12. При Y1=Y3 П-образный четырехполюсник будет симметричным и Y1 будет равен Y2.

Параметры можно найти также из их определения. Например, Y12= , а схема для его определения изображена на рис. 1.4. с короткозамкнутыми зажимами 1-1’

Y2

+

Y1Y3

Из этой схемы нетрудно найти и Y12=-Y2.

2. Уравнения передачи четырехполюсника через Z-параметры или параметры сопротивлений.

Если систему (1.2) решить относительно , то получим систему, связывающую напряжения входов с токами входов, то есть уравнения передачи через Z-параметры:

(1.4)

Физический смысл параметров:

-входное сопротивление со стороны входа 1 при разомкнутом входе 2

-передаточное сопротивление при разомкнутом входе 1

-передаточное сопротивление при разомкнутом входе 2

-входное сопротивление со стороны входа 2 при разомкнутом входе 1

Для симметричного четырехполюсника Z11=Z21, для взаимного (обратного) — Z12=Z21

Может быть использована матричная запись уравнений передачи с матрицей Z-параметров, которые называют так же параметрами сопротивления холостого хода:

Пример 2. Определить параметры Z12 и Z22 для Т-образного четырехполюсника изображенного на рис. 1.4.

1 ++ 2 R1 R2

Рис. 1.4 Т-образный четырехполюсник

1’2’

Согласно определению этих параметров они должны вычисляться при , т.е. при холостом ходе (размыкании) входа 1. Соответствующая схема на рис. 1.5.

1+ 2 R1 + R2

Рис. 1.5 Холостой ход на зажимах 1

1’2’

В этой ситуации напряжение будет приложено к емкости (падение напряжения на R1 отсутствует), а ток будет замыкаться через R2 и емкость. Поэтому

;

3. Уравнения передачи четырехполюсника через А-параметры

Эти уравнения связывают напряжение и ток на входе с напряжением и током на выходе. Поскольку подразумевается передача энергии слева на право, то в уравнениях фигурирует ток

(рис. 1.6.)

1++2

1’2’

Рис. 1.6 обозначения токов и напряжений при передаче энергии с входа (зажимы 1-1’) на выход (зажимы 2-2’)



Уравнения передачи через А-параметры могут быть получены, например, из системы (1.2) и записываются в следующем виде:

(1.6)

Смысл параметров можно установить, рассматривая режимы холостого хода (размыкание) и короткого замыкания выходных зажимов:

-отношение комплексных напряжений на входе и разомкнутом выходе

-передаточное сопротивление при замкнутом выходе

-передаточная проводимость при разомкнутом выходе

-отношение комплексных токов при короткозамкнутом выходе

Можно показать, что для симметричного четырехполюсника А1122, а для пассивного (взаимного)

11А2212А21)=1

Матричная запись уравнений:

(1.7)

Пример 3. Определить параметр А22 Г-образного четырехполюсника (рис. 1.7)

++

R Рис 1.7 Г-образный четырехполюсник

Как следует из определяющих выражений, которые приведены выше, параметр A22= при короткозамкнутом выходе (рис. 1.8)

R

Рис. 1.8 Схема для определения параметра А22

Из рисунка следует: , откуда следует

. Аналогично могут быть найдены остальные параметры. Матрица А-параметров рассматриваемого четырехполюсника:

.

1.3. Соединения четырехполюсников.

Будем предполагать, что при соединении параметры и уравнения передачи соединяемых четырехполюсников не изменяются. В таких случаях соединение четырехполюсников называют регулярным, а отмеченное условие называют условием регулярности.

+

+

a)

,

,

+

б)

,

,

в)

Рис. 1.9. Соединения четырехполюсников. а) каскадное; б) параллельное; в) последовательное.

На рис. 1.9.показаны различные соединения четырехполюсников. При каскадном соединении выход одного четырехполюсника соединяется с входом другого. При параллельном соединении входные и выходные выводы составляющих четырехполюсников соединяются параллельно, а при последовательном – последовательно (рис. 1.9).

Существуют еще параллельно-последовательное и последовательно-параллельное соединения, когда входные зажимы составляющих четырехполюсников соединяются параллельно, а выходные – последовательно и наоборот.

Рассмотрим наиболее распространенное каскадное соединение (рис. 1.9 а).

Обозначим матрицу А-параметров первого четырехполюсника , а второго . Тогда справедливы следующие уравнения для принятых на рис. 1.9 а обозначений входных и выходных токов и напряжений:

; ;

Производя подстановку второго уравнения в первое, исключаем переменные в месте соединения и поучаем уравнения результирующего четырехполюсника:

,

откуда видно, что матрицы А-параметров перемножаются. Следовательно, матрица А-параметров четырехполюсника, состоящего из каскадного соединения, равна произведению А-матриц составляющих четырехполюсников.

Аналогично можно показать (рекомендуется доказать самостоятельно), что при параллельном соединении четырехполюсников матрица Y-параметров равна сумме матриц Y-параметров составляющих четырехполюсников, а при последовательном соединении матрица Z-параметров равна сумме матриц Z-параметров составляющих четырехполюсников.

В первом случае необходимо использовать уравнения Кирхгофа для входных и выходных токов и уравнения передачи через параметры проводимостей, а во втором случае аналогичные уравнения для входных и выходных напряжений и уравнения передачи через параметры сопротивлений.

1.4. Внешние характеристики четырехполюсников.

Обычно четырехполюсники служат для передачи сигналов от источника к нагрузке. В этом случае на входе четырехполюсника подключается генератор с заданным внутренним сопротивлением, а на выходе нагрузка. К внешним характеристикам относятся входное сопротивление нагруженного четырехполюсника ( на которое работает генератор) и функция передачи от генератора к нагрузке.

Входное сопротивление.

При наличии нагрузки Z2 (рис. 1.10) напряжение и ток на выходе связаны соотношением

Со стороны зажимов 1-1нагруженный четырехполюсник имеет входное сопротивление

.

Рис. 1.10. Нагруженный четырехполюсник.

Очевидно, что Zвх1 будет зависеть не только от собственных параметров четырехполюсника, но также от нагрузки. Для определения соответствующего выражения для Zвх1 воспользуемся уравнениями передачи четырехполюсника через А-параметры (1.6). В этих уравнениях заменим И разделим первое уравнение на второе. Тогда получим:

(1.8)

В частных случаях короткого замыкания (КЗ) Z2=0 и разрыва (холостого хода – хх) Z2->∞ выхода четырехполюсника получим:

(1.9)

,

Аналогично может быть найдено входное сопротивление Zвх2 со стороны зажимов 2 при нагруженных зажимах 1.

Функция передачи.

Рассмотрим комплексную функцию передачи нагруженного четырехполюсника (рис. 1.10). Для этого используем первое уравнение системы (1.6):

Таким образом функция передачи также зависит не только от собственных параметров четырехполюсника, но и от нагрузки.

Заметим, что данная функция передачи определяется только двумя (из четырех) параметрами четырехполюсника.








sitemap
sitemap