Неравенства с двумя неизвестными



V ЕЖЕГОДНЫЙ ВСЕРОССИЙСКИЙ КОНКУРС ДОСТИЖЕНИЙ ТАЛАНТЛИВОЙ МОЛОДЁЖИ

«НАЦИОНАЛЬНОЕ ДОСТОЯНИЕ РОССИИ»

_______________________________________________________

Секция: математика

Тема: Решение неравенств с двумя неизвестными

Автор: Мечта Юлия Сергеевна

Научный руководитель: Розина Татьяна Александровна,

учитель математики

Место выполнения работы: МОУ Гимназия №6 им. С.Ф. Вензелева,

г. Междуреченск Кемеровской области

2011

Содержание

Введение 3

Неравенства с двумя неизвестными 4

Неравенства, содержащие неизвестные под знаком модуля 7

Системы неравенств с двумя неизвестными 12

Нахождение площади фигуры, ограниченной неравенством 15

Подбор задач по данной теме 17

Заключение 18

Список используемой литературы 19

Введение

Готовясь к олимпиаде, мы с группой одноклассников встретились с заданием, которое даже сильнейших из нас поставило в тупик. Задание было сформулировано так: «Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых (х;у) удовлетворяют условию |х-2 |+у ≤ х». Что это за множество? Из скольких точек оно состоит? С целыми ли координатами эти точки или нет? Мы решали уравнения с модулем. А здесь неравенство, да ещё с двумя неизвестными!…Оказывается задача решается весьма просто. Одним из возможных путей устранения обозначенной проблемы является изучение метода областей. А построение графиков функций , используемое в этом методе, является неотъемлемой частью любых экзаменов.

Актуальность темы:

Данная тема является дополнением и углублением изучаемых в школе тем.

Приобретение опыта решения задач с использованием метода областей помогает повысить уровень логической культуры.

Изучение данной темы помогает более глубоко подготовиться к олимпиадам, а в дальнейшем к сдаче ГИА и ЕГЭ по математике.

Цель работы:

— Изучение метода областей.

— Овладение приёмом решения задач, связанных с применением метода областей.

Задачи исследования:

Систематизировать теоретический материал по следующим темам:

-графики функций;

-неравенства с двумя неизвестными;

-системы неравенств с двумя неизвестными.

Научиться строить некоторые графики уравнений, в которых неизвестная стоит под знаком модуля.

Научиться решать задачи по нахождению:

-множества точек плоскости, координаты которых удовлетворяют

данному неравенству;

-площади фигуры, ограниченной неравенством.

4. Создать банк заданий по данной теме.

5. Сделать вывод о проделанной работе.

Объект: Метод областей.

Предмет: Неравенства с двумя неизвестными.

Методы исследования: Анализ, сравнение, обобщение, моделирование

Неравенства с двумя неизвестными

Неравенство с двумя неизвестными можно представить так: f (x; y)>0, где f-функция двух переменных х и у.

Если мы рассмотрим уравнение f (x; y)=0, то множество точек (х,у), координаты которых удовлетворяют этому уравнению, образует, как правило, некоторую кривую, которая разобьет плоскость на две или несколько областей. В каждой из этих областей функция f сохраняет знак. Остаётся выбрать те из них, в которых f (x; y)>0.Примеры неравенств:

|x|+|y| ≤ 4 5)

2|x|+|y| > 6 6) у2-х≥1-2х

|x-2|+|y| ≤ 3 7) |х-3|-|у+2|≥1

(2x-y)* (x-3y) ≥ 0

Решить неравенство с двумя неизвестными, значит, найти множество точек, координаты которых удовлетворяют данному неравенству.

Пример 1. Решить неравенство: y-2x>3.

Решение. Преобразуем его к следующему виду y>2x+3.

Построим график функции y=2x+3

у y=2x+3

F (-1;3)

Если подставить координаты точек

А, В и С в неравенство, то данное Е (-4;1) С (1;2)

неравенство окажется неверным. 0 1 х

Если подставить координаты точек

D, E и F, которые располагаются в другой А (1;-1)

части плоскости, то неравенство D (-5;-3)

окажется верным. Так как точки были

выбраны произвольно, то эти выводы В (-2;-4) рис.1

справедливы для всех точек каждой полуплоскости.

Поэтому для нахождения искомого множества

достаточно выбрать для проверки только одну точку. Искомым множеством будет та часть плоскости, для координат точек которой данное неравенство верно.

Ответ: решением является заштрихованная часть плоскости.

Замечание: Если неравенство нестрогое, то множество точек прямой принадлежит множеству решений неравенства и граница изображается сплошной линией. Если неравенство строгое (как в нашем случае), то точки линии исключаются и границу фигуры изображают пунктиром.

Рассмотрим решение некоторых неравенств.

Пример 2. Решить неравенство у2 –х ≤ 1-2х

Решение. Выразим неизвестную переменную х y

-х ≤ -у2+1-2х х = -у2+1

х ≤ -у2+1

Построим график уравнения 0 1 X

х = -у2+1 N(-3;-1)

рис.2 Для выбора нужного множества

возьмём точку N (-3;-1). (-1)2 +3 ≤ 1-2∗(-3) (верно)

Ответ: решением неравенства является внутренняя часть параболы х=-у2+1.

Пример 3. Изобразите множество решений неравенства .

Решение. Допустимые значения: х≠0. у

Построим график функции С (-2;3) 3 А (3;3)

Построенная гипербола и ось у 1

разбивают плоскость на 4 области. — 3 -2 -1 0 1 3 х

Выберем по одной точке в каждой -2 В (1;-2)

из образовавшихся областей. D (-3;-3) -3

А (3;3) 3≤ (неверно),

В (1;-2) -2≤ (верно), рис.3

С (-2;3) 3≤ (неверно) , D (-3;-3) -3≤ (верно).

Ответ: искомое множество заштриховано.

Замечено, что если в процессе решения неравенство приведено к виду у≤f(x), то множеством его решения будет та часть плоскости, которая расположена ниже графика функции у= f(x). Решением неравенства вида у≥f(x) будет часть плоскости, расположенная выше графика функции у= f(x).

Пример 4. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых (х;у), удовлетворяют условию (2х-у)∗(х-3у)≥0 у

Решение. Построим график уравнения у=2х

(2х-у)∗(х-3у)=0. H (-5;2) G (3;3)

2х-у=0 или х-3у=0

Прямые у=2х и у= разбивают 0 1 х плоскость на 4 области. у= I (-4;-2) J (-3;-1)

Для выбора нужного множества возьмём рис.4

по одной точке в каждой из образовавшихся областей.

G (3;3): (2∗3-3)∗(3-3∗3)≥0 (неверно); H (-5;2): (2(-5)-2)∗(-5-3∗2)≥0 (верно);

I (-4;-2): (2(-4)+2)∗(-4-3∗(-2))≥0 (неверно); J (-3;-1): (2(-3)+1)∗(-3-3∗(-1))≥0 (неверно).

Ответ: решением неравенства является заштрихованная часть рисунка.

Пример 5. Найдите множество решений неравенства <0

Решение. Построим график уравнения =0. у

=0 ; =0 А(1,5) у=х

Допустимые значения неизвестных: х≠0; у≠0.

Прямая у= х и оси координат разбивают К (-4;1) 1 L (2;1)

плоскость на 6 областей. 0 1 х

Для выбора нужного множества выберем 6 точек. С(-5;-2)

Координаты точек L (2;1), К (-4;0) и В (-2;-4): В(-2;-4) М (2;-4)

удовлетворяют данному неравенству рис.5

Координаты точек А(1;5), М(2;-4) и С(-5;-2) не удовлетворяют данному неравенству.

Ответ: решением неравенства являются точки заштрихованного множества.

Неравенства, содержащие неизвестные под знаком модуля.

Пример 6. Найдите множество решений неравенства |x|+|y|≤4.

Решение. Раскроем знак модуля в каждой из координатных четвертей

1. Если х≥0, у≥0, то у ≤ 4-х Решением этого у

неравенства будет нижняя часть 1 четверти; 4

2. Если х<0, у>0, то у ≤ 4+х Решением этого |x|+|y|=4

неравенства будет нижняя часть 2 четверти; 1

3. Если х≤0, у≤0, то у≥-х-4. Значит -4 0 1 4 х

заштриховываем часть 3 четверти над прямой у=-х-4. А(1;-2)

4. Если х>0, у<0, то у≥х-4 . Заштриховываем часть -4 рис.6

4 четверти над прямой у=х-4. Таким образом, оказалась

заштрихованной внутренняя часть квадрата

Данное неравенство можно решить и другим способом. Построим график уравнения |x|+|y|=4 в каждой из координатных четвертей. Образовавшаяся граница квадрата разбивает плоскость на две области. Для выбора нужного нам множества возьмём точку А (1;-2) и подставим в неравенство. |1|+|-2|≤4 (верно).

Ответ: решением неравенства будет внутренняя часть квадрата с центром в начале системы координат.

Пример 7. Найдите множество решений неравенства |х|+|у|>3

Решение. Построим график уравнения |х|+|у|=3 в каждой из координатных четвертей

1.Если х>0, у>0, то х+у=3, у=3-х у

2.Если х<0, у>0, то -х+у=3, у=3+х |х|+|у|=3

3.Если х<0, у<0, то -х-у=3, у=-3-х 3

4.Если х>0, у<0, то х-у=3, у=-3+х В (-3;1)

Для выбора нужного множества -3 0 1 3 х

возьмем точку В (-3;1). |-3|+|1|>3 (верно).

Ответ: решением неравенства является внешняя рис.7

часть квадрата с центром в начале системы координат.

Пример 8. Найдите множество решений неравенства |х-2|+|у|≤3.

Решение. Раскроем знак модуля и построим график уравнения |х-2|+|у|=3

в каждой из четвертей, образованных прямыми х=2 и у=0.

1.Если х≥2, у≥0, то х-2+у=3 у

у=-х+5

2.Если х<2, у>0, то -х+2+у=3 3 |х-2|+|у|=3

у=х+1

3.Если х≤2, у≤0, то -х+2-у=3 -1 0 1 2 5 х

у=-х-1 С (2;-1)

4.Если х>2, у<0, то х-2-у=3 рис.8

у=х-5

Для выбора нужного множества возьмём, например, точку С (2;-1). |2-2|+|-1|≤3 (верно)

Ответ: решением неравенства является внутренняя часть квадрата с центром (2;0)

Пример 9. Найдите множество решений неравенства |х+1|+|у-3|>2

Решение. Посмотрим на подмодульные выражения: х+1=0 при х=-1, у-3=0 при у=3.

Раскроем знак модуля в каждой из четвертей, образованных прямыми х=-1 и у=3

1.Если х+1≥0, у≥3, то х+у=4 у

у=-х+4 5 |х+1|+|у-3|=2

2.Если х<-1, у≥3, то -х+у=6 3

у= х+6 1

3.Если х<-1, у<3, то -х-у=0 -3 0 1 D (2;-1) х

у=-х

4.Если х≥-1, у<3, то х-у=-2

у=х+2 рис.9

Возьмём, например, точку D (2;-1) чтобы определить нужное нам множество.

|2+1|+|-1-3|>2 (верно).

Ответ: решением неравенства является внешняя часть квадрата с центром (-1;3).

Посмотрим, как повлияет коэффициент при |х| на решение неравенства:

Пример 10. Найдите множество решений неравенства 2|x|+|y|>6.

Решение. Раскроем знак модуля в каждой из координатных четвертей.

1. Если х≥0, у≥0, то 2х +у>6, у> 6-2х у

Решением неравенства является часть 1 четверти 2|x|+|y|=6

выше прямой у=6-2х.

2.Если х<0, у>0, то -2х+у>6 , у>2х+6 -3 0 1 3 х

Решением неравенства является часть

2 четверти выше прямой у=2х+6 E (-5;-2)

3. Если х≤0, у≤0, то -2х-у>6 , у<-2х-6



Решением неравенства является часть 3 четверти ниже рис. 10

прямой у=-2х-6

4.Если х>0, у<0, то 2х-у>6, у< 2х-6 Решением неравенства является часть 4 четверти ниже прямой у=2х-6 . Ответ: решением неравенства будет внешняя часть ромба с центром в начале системы координат.

Пример 11. Найдите множество решений неравенства |х|+2|у|>8

Решение. Построим график уравнения |х|+2|у|=8 в каждой из координатных четвертей.

1. Если х≥0, у≥0, то х+2у=8

у=-0,5х+4 у |х|+2|у|=8

2. Если х≤0, у>0, то -х+2у=8 4 F(4;4)

у=4+0,5х

3. Если х<0, у<0, то -х-2у=8 -8 0 1 8 х

у=-4-0,5х

4. Если х>0, у≤0, то х-2у=8

у=-4+0,5х рис.11

Для выбора нужного множества возьмём точку F (4;4). |4|+2|4|>8 (верно).

Ответ: решением неравенства будет внешняя часть ромба с центром в начале системе координат.

Пример 12. Найдите множество решений неравенства |x|-|y|≤2

Решение. Построим график уравнения |x|-|y|=2 в каждой из координатных четвертей.



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap
sitemap