Некотые методы решения олимпиадных задач



Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Троицкая средняя общеобразовательная школа

Муниципальная научно-практическая конференция

Естественно- научное направление

«Некоторые методы решения

олимпиадных задач»

Автор: Чернышева Любовь

ученица 8 класса

Руководитель: Зубова Анна Николаевна

учитель математики

с. Троицкое

2013

Содержание

Введение…………………………………….……………………………………3

Основная часть

Олимпиадные задачи……………………………………….……………………4

Анкетирование учащихся………………………………………………………..6

Изучение типов олимпиадных задач и методов их решения………………….8

Выводы ………………………………………………………………………………..18

Памятка участнику олимпиады …………………………………………………18

Список литературы ………………………………………………………….…..19

Введение

Каждый год в школе проводится I тур математической олимпиады, затем муниципальная олимпиада и т.д. Внешняя простота таких задач — их условия — обманчива. Кто хотя бы раз в жизни пробовал решать математические олимпиадные задачи, тот понимает, о чем идет речь. Олимпиадные задачи, как правило, являются нестандартными, т.е. требующими использования всех знаний в нестандартных ситуациях, но в школьном курсе математики этому вопросу внимания практически не уделяется. Поэтому я решила разобраться в решении этих задач, попробовать их исследовать, найти общие идеи и методы решения.

Целью моей учебно-исследовательской работы является исследование и изучение основных типов олимпиадных задач, ознакомление с методами их решения и развитие познавательного интереса учащихся к такому виду задач.

Были поставлены такие задачи:

изучить и понять типы олимпиадных задач;

— выявить отношение учащихся к такому виду задач;

рассмотреть идеи и методы решения олимпиадных задач;

наработать навыки в решении таких задач (выпуск методички).

Объектом нашего исследования являются разные олимпиадные задачи: логические задачи, задачи на переливание и взвешивание, задачи с отношениями, задачи на чет и нечет, задачи на делимость, раскраски в шахматном порядке. А предмет исследования способы решения таких задач.

Актуальность. Две стихии господствуют в математике — числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. Задача- это почти всегда поиск, раскрытие каких-то свойств и отношений, а средства её решения- это интуиция и догадка, эрудиция и владение методами математики. Эти же качества человеческого ума воспитываются, укрепляются, обогащаются у каждого, кто регулярно отдает часть своего досуга умственной гимнастике, лучшим видом которой является решение математических головоломок, ребусов, задач с интригующим содержанием.

Гипотеза: Изучение методов решения олимпиадных задач повысит интерес учащихся к принятию участия в них; способствует развитию компетентной личности, владеющей настойчивостью, инициативой, самостоятельностью.

Методы изучения нашей проблемы:

Поисковый метод с использованием научной и учебной литературы;

Исследовательский метод при определении видов олимпиадных задач и методов их решений;

Практический метод решения задач.

Олимпиадные задачи.

Что же мы понимаем под олимпиадными задачами?

Олимпиадные задачи в математике — термин для обозначения круга задач, для решения которых обязательно требуется неожиданный и оригинальный подход.

Математические соревнования и конкурсы имеют давнюю историю. Так сохранились сведения о том, что уже в древней Индии (около 2000 г. До н.э.) для решения математических задач устраивались состязания в присутствии многочисленных зрителей. Широкое распространение получили математические турниры в эпоху возрождения. Школьные математические олимпиады берут свое начало с так называемого «этвёшского соревнования», проведенного в 1894 г. в Венгрии по инициативе Лорана Этвёша – президента Венгерского физико-математического общества. В СССР первые математические соревнования школьников состоялись в Грузии. В 1933 г. в Тбилиси были проведены первые школьные и районные олимпиады. Первые городские олимпиады состоялись в Тбилиси и Ленинграде в 1934 г. на следующий год в Москве и Киеве. В дальнейшем олимпиадное движение распространилось по всей стране. Идея объединить олимпиадное движение в масштабе всей страны впервые была реализована в 1960 г. и начиная с 1961 г. регулярно стали проводиться так называемые Всероссийские математические олимпиады.

На выполнение олимпиадных задач отводится строго определенное время, в качестве заданий предлагаются не задачи обязательного или повышенного уровня (по школьным меркам), а задания нестандартные.

Какая же задача называется нестандартной? «Нестандартные задачи- это такие задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения.» (Фридман Л.М. Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи.- Москва. Просвещение 1989г). Однако, следует заметить, что понятие «нестандартная задача» является относительным. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной, в зависимости от того, знакомы ли мы со способами решения задач такого типа. Таким образом, нестандартная задача- это задача, алгоритм которой неизвестен, т.е. неизвестен ни способ её решения, ни то, на какой учебный материал опирается решение. А многие задачи требуют и специальных знаний, подготовки. К таким задачам относятся задачи на смекалку, на логику, применения инвариантов, задачи на раскраски, чет и нечет и т.д. Конечно, для успешного решения любой задачи нужно уметь думать, догадываться, но этого мало. Нужны знания и опыт в решении задач. Полезно владеть и определенными общими подходами к решению таких задач. Поэтому мы решили разобраться в решении этих задач, попробовать их исследовать, найти общие подходы. Любая задача должна чему-нибудь научить. Решение каждой задачи должно быть шагом вперед в развитии математических знаний, умений и навыков, должно обогащать знания и опыт, учить ориентироваться в различных ситуациях.

Сложность олимпиадной задачи – это объективная характеристика задачи, определяемая ее структурой. Сложность задачи зависит от:

— объема информации(числа понятий, суждений и т.п.), необходимого для ее решения;

— числа данных в задаче;

— числа связей между ними;

— количества возможных выводов из условия задачи;

— количества взаимопроникновений при решении задачи;

— длины рассуждений при решении задачи;

-общего числа шагов решения, привлеченных аргументов и т.д.

Трудность олимпиадной задачи – субъективная характеристика задачи, определяемая взаимоотношениями между задачей и решающим ее учеником. Трудность задачи зависит от:

— сложности задачи (сложная задача, как правило, является более трудной для учащихся);

— времени прошедшего после изучения материала, который встречается в тексте задачи (задачи на материал, изученный 1-2 года назад, используемые факты, которые уже забылись);

— практики в решении подобного рода задач;

— уровня развития ученика (задача, тяжелая для ученика общеобразовательного класса, может быть легкой для ученика физико-математического класса);

— возраста учащегося.

Анкетирование учащихся.

Нами, предварительно было проведено анкетирование по отношению учащихся 5-7 класса к решению олимпиадных задач.

Анкета для учащихся.

Желали бы вы принять участие в математической олимпиаде!

Да / Нет Почему_______________________________________

(нужное подчеркнуть)

_______________________________________________________



В опросе принимало участие 22 учащихся .

Желание участвовать в олимпиаде по математике распределилось следующим образом по классам:

5 класс — 66%

6 класс -75%

7 класс – 38 %

При ответе «Нет» учащиеся давали следующие пояснения: такие задачи на уроках не решают; никогда не встречал таких задач; задачи слишком трудные для меня; не знаю с чего начать; очень сложно; наберу меньше всех баллов – будут смеяться.

Ребятам желающим принять участие были предложены по классам олимпиадные задачи различных типов. Выполнение которых отражено в таблице.

Тип задачи выполнение

числовые ребусы

63%

арифметика

35%

на взвешивания и переливания

21%

логические задачи

14%

на движение или работу

42%

на раскраску или разрезание

21%

на четность или делимость

7%

геометрические

28%

Результаты мы представим в виде диаграммы

Из диаграммы видно, для ребят более легкими являются такие задания как числовые ребусы, задачи на движение и работу, т.е., с которыми они встречались в ходе учебных занятий, остальные задания вызывают большие затруднения. Ребят которые справились со всеми заданиями нет, что подтверждает наличие затруднений у ребят при решении олимпиадных задач.

Основные типы и методы решения задач

В ходе изучения научной литературы нами были выявлены следующие типы олимпиадных задач для учащихся 5-7 класса:

Числовые ребусы;

Арифметика

Задачи на взвешивание, переливания;

Логические задачи;

Задачи на движение или работу;

Задачи на раскраску или разрезание;

Задачи содержащие идеи четности или делимости;

Задачи на проценты и отношения

Задачи, решаемые с конца

Геометрические задачи;

Математическими ребусами называются задания на восстановление записей вычислений. Условие ребуса либо целиком зашифрованную запись, либо только часть записи. Записи восстанавливаются на основании логических рассуждений. При этом нельзя останавливаться отысканием только одного решения. Испытание надо доводить до конца, чтобы убедиться, что нет других решений, или найти все решения.

Задача: Какую цифру заменяет черный треугольник?

В примере на сложение:

► + ► + ○○ = Δ Δ Δ

различные фигурки заменяют различные цифры. Какую цифру заменяет черный треугольник?

Решение: Максимальное значение суммы трех наших слагаемых равно 9 + 9 + 99 = 117. Значит, Δ Δ Δ = 111. Минимальное значение числа ○○ равно 111 — 9 — 9 = 93, а само число равно 99. На долю одного черного треугольника приходится (111 — 99) : 2 = 6.

Арифметика. Для решения задачи нужно уметь выполнять арифметические операции, как правило над числами с большим количеством цифр, а так же операции с дробями.

Задача: Автобусный билет будем считать счастливым, если между его цифрами можно в нужных местах расставить знаки четырёх арифметических действий и скобки так, чтобы значение полученного выражения равнялось 100. Является ли счастливым билет N123456?

Решение:

1 + (2 + 3 + 4) . (5 + 6) = 100. Есть и другие решения

Задачи на взвешивания – достаточно распространенный вид математических задач. В таких задачах от решающего требуется локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой.

Задача: У Буратино есть 27 золотых монет. Но известно, что Кот Базилио заменил одну монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь Буратино определить фальшивую монету?

Решение: Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она — в третьей кучке). Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую: кладем на чаши весов по 1 монете — фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части. Задача решена.

Задачи на переливания – задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости, которые решаются с помощью алгебраического метода.

Задача: Однажды Винни-Пух захотел полакомиться медом и пошел к пчелам в гости. По дороге нарвал букет цветов, чтобы подарить труженицам пчелкам. Пчелки очень обрадовались, увидев мишку с букетом цветов, и сказали: «У нас есть большая бочка с медом. Мы дадим тебе меда, если ты сможешь с помощью двух сосудов вместимостью 3 л и 5 л налить себе 4 л!» Винни-Пух долго думал, но все-таки смог решить задачку. Как он это сделал?

Решение:

Как в результате можно получить 4 л? Нужно из 5-литрового сосуда отлить 1 л. А как это сделать? Нужно в 3-литровом сосуде иметь ровно 2 л. Как их получить? – Из 5-литрового сосуда отлить 3 л.

Решение лучше и удобнее оформить в виде таблицы:

Шаг

Сосуд – 3л

Сосуд – 5л

1

0

5

2

3

2

3

0

2

4

2

0

5

2

5

6

3

4

Наполняем из бочки 5-литровый сосуд медом (1 шаг). Из 5-литрового сосуда отливаем 3 л в 3-литровый сосуд (2 шаг). Теперь в 5-литровом сосуде осталось 2 литра меда. Выливаем из 3-литрового сосуда мед назад в бочку (3 шаг). Теперь из 5-литрового сосуда выливаем те 2 литра меда в 3-литровый сосуд (4 шаг). Наполняем из бочки 5-литровый сосуд медом (5 шаг). И из 5-литрового сосуда дополняем медом 3-литровый сосуд. Получаем 4 литра меда в 5-литровом сосуде (6 шаг). Задача решена.

Логические задачи:

Существует множество разных логических задач. В ходе знакомства с ними, я выделила несколько основных типов задач:

«Правдивые задачи». В этих задачах нужно определить, какое выражение истина. Такие задачи могут иметь разную форму, но в них есть одна общая часть. В условие будет сказано, что есть человек, говорящий всегда правду, и его антагонист, говорящий всегда неправду.

Задача: В одном городе кто-то угнал машину у градоначальника. Полиция задержала троих человек: Джона, Джека и Джо. Полиции было известно, что один из них — лжец, один — всегда говорит правду, а про третьего точно неизвестно, говорит ли он правду или ложь. Полиция также знала, что один из них угнал машину, и что этот человек всегда говорит правду. Три человека сказали следующее:

Джон: Я не виновен.

Джек: Он говорит истинную правду.

Джо: Я угнал машину.

Кто угнал машину и кто лжец?

Решение: Джон сказал: «Я не виновен». По условию задачи два человека являются невиновными: лжец и шутник. Джон не может быть лжецом, так как лжец, в данном случае, сказал бы, что он виновет. Джон не может быть и правдолюбцем, так правдолюбец виновен, и он не сможет сказать неправду. Остается, что Джон шутник, при этом он говорит правду, так как он, действительно невиновен. Джек подтверждает невиновность шутника Джона, т.е. Джек говорит правду, поэтому он не лжец, а правдолюбец, Джек и угнал машину. Джо — лжец и как положено лжецу, он всех обманывает, говоря, что он угнал машину.

Задачи на вычисление соотношения, которые решаются методом таблиц и графов.

Метод таблиц, который очень удобен при решении задач на соотношение. Его выгода в наглядности логических размышлений, возможности контролировать цепочку рассуждений, а также возможность формализовать некоторые новые логические суждения.

Задача: Живут-поживают пять зайчат: Попрыгунчик, Ушастик, Тишка, Зайка, Беляк, и у каждого есть мячик. Цвета мячиков такие: синий, зеленый, красный, желтый и оранжевый. У Ушастика мячик желтого цвета, а у Зайки не зеленый, не синий и не красный. У Попрыгунчика был бы синий мячик, если бы у беляка был зеленый мячик, но у беляка мячик другого цвета. Беляк не любит игрушки синего цвета. У кого какой мячик?

Решение: У Ушастика желтый мячик. (Ставим плюс в Ячейку «Желтый, Ушастик», а во все остальные ячейки столбца «Ушастик» и строку «Желтый» заполняем минусами). У Зайки не зеленый, не синий и не красный мячик, значит – оранжевый. (Ставим плюс в ячейку «Оранжевый, Зайка», заполняем свободные ячейки столбца и строки минусами). Так как у Беляка мячик не зеленый и не синий(ставим минусы), не желтый и не оранжевый, значит у него мячик красного цвета. Так как у Прыгунчика не синий мячик, значит у него зеленый. Получаем, что у Тишки мячик синий.

Цвет мячика

Кличка зайчика

Прыгунчик

Ушастик

Тишка

Зайка

Беляк

Зеленый

+

Синий

+

Красный

+

Желтый

+

Оранжевый



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap sitemap