Научно-исследовательская работа Взгляд на теорему Пифагора



Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Бондаревская средняя общеобразовательная школа»

Кантемировского муниципального района

Воронежской области.

Исследовательская работа на тему:

«Взгляд на теорему Пифагора с необычной стороны»

Выполнила: ученица 9 класса

МКОУ «Бондаревская СОШ»

Кантемировского района

Воронежской области

Сковородка Алла

Руководитель: учитель математики

МКОУ «Бондаревская СОШ»

Кантемировского района

Воронежской области

Товменко С.П.

2012-2013 год

СОДЕРЖАНИЕ

I.Введение………………………………………………………….…..2

II.Цель и задачи исследовательской работы………………………….3

III. Биография Пифагора ………………………………………………4

IV. История открытия теоремы………………………………………..7.

V. Различные формулировки теоремы……………………………….9

VI. Способы доказательства теоремы………………………………..10

1)Простейшее доказательство………………………………………..10

2) Доказательство методом разложения……………………………..11

— доказательство Эпштейна,

— доказательство Нильсена,

— доказательство Бехтера,

— доказательство Перигаля,

— доказательство Гутхейля,

3)Доказательство методом дополнения………………………………14

— доказательство методом вычитания,

— доказательство методом вычитания (второе).

4)Геометрические методы доказательства……………………………16

— доказательство Евклида,

— упрощенное доказательство Евклида,

— доказательство Хоукинса,

— доказательство Вальдхейма,

-доказательство методом Гарфилда……………………………………19

5) Доказательство, основанное на теории подобия……………………19

6) Доказательство индийского математика Басхары…………………..20

7) Векторное доказательство…………………………………………….21

8)Алгебраическое доказательство……………………………………….21

VII. Значение теоремы Пифагора………………………………………22

VIII. Применение теоремы………………………………………………23

IХ. Старинные задачи в стихах………………………………………… 26

Х. Практикум по решению задач школьного курса……………………29

ХI. Заключение………………………………………………………… 30

ХII Список использованной литературы………………………………31

I.Введение

При изучении курса математики, мы познакомились с новым разделом – это раздел «Геометрия». Наш учитель математики познакомил нас в 8 классе с простой теоремой для прямоугольного треугольника – теоремой Пифагора. Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах»- квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах.

Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота-красота-значимость. С одной стороны ее формулировка очень проста, ее доказательство не вызывает никаких затруднений. Но меня больше всего поразило другое – это одна из немногих теорем, которая имеет так много различных способов доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т. д.) Это меня очень заинтересовало. Ведь, как правило, теорема имеет 1-2 доказательства. А здесь все наоборот. Цель моей исследовательской работы была: с помощью различных интернетисточников и литературы изучить биографию древнегреческого философа и математика Пифагора и способы доказательства теоремы Пифагора.

II. Цели и задачи исследовательской работы.

Основная цель моей работы состоит в том, чтобы рассмотреть различные способы доказательства теоремы Пифагора.

Изучить биографию Пифагора

Изучить историю открытия теоремы

Показать какое значение имеет теорема Пифагора в развитии науки и техники, в математике в целом.

III.Взгляд на Пифагора с необычной стороны.Биография.

«Будь справедлив и в словах, и в поступках своих…»

Пифагор Самосский

(ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.)

Обратное доказательство теоремы пифагора разными способами

Древнегреческий философ и математик, основатель религиозно-философской школы, получившей название пифагореизма. По свидетельству Гераклида Понтийского (4 в. до н. э.), Пифагор впервые ввел в язык понятие «философия» («любомудрие») и назвал себя философом.

Подлинных сочинений Пифагора не сохранилось, возможно, их никогда и не было. Существует большое число разрозненных свидетельств античных авторов об учении Пифагора и его жизни. Кроме того, сохранились четыре поздних биографии Пифагора Порфирия, Диогена Лаэртского, Ямвлиха и анонимного автора. Все эти биографии противоречивы, полны легендарных, фантастических мотивов и создают скорее полумифический, чем реальный, образ Пифагора.

Родиной Пифагора был остров Самос. В юности он ездил учиться в Милет, где слушал Анаксимандра, его учителем был также Ферекид Сиросский, автор одной из первых теогонии в прозе. Многие древние легенды о Пифагоре рассказывают, о его путешествиях с целью обучения в Египет, Вавилон, Персию. Говорили также, что Пифагор воспринял свою философию у евреев, персидских магов, вавилонских и египетских жрецов. Хотя в самом факте путешествия Пифагора на Восток нет ничего невозможного, говорить о его абсолютной достоверности мы не можем.

Когда Пифагору исполнилось 40 лет, избегая давления тирании Поликрата, он уехал в Кротон в Южной Италии. Годом его отъезда с Самоса историк Аполлодор (2 в. до н. э.) считал первый год 62-й олимпиады, т. е. 531 г. дон. э., основываясь на более ранних свидетельствах. В Кротоне вокруг Пифагора сложился круг учеников, не только занимающихся религиозно-философскими вопросами, но и участвующих в политической жизни города. Возрастающее политическое влияние Пифагора вызывало одновременно враждебность тех, кто это влияние утратил около 500 г. до н. э. дом пифагорейцев в Кротоне был сожжен. В результате восстания под предводительством Килона Пифагор бежал в Метапонт, где и умер около 497 г. до н. э.

Поначалу пифагорейское учение передавалось только устно. Первое письменное изложение его мы находим у Филолая, современника Демокрита и Сократа, во второй половине 5 в. до н. э. Кроме того, взгляды пифагорейцев изложены в сочинениях Аристотеля, Секста Эмпирика, Ямвлиха и других античных авторов.

Позднейшие рассказы неоплатоников дополнили биографию Пифагора сведениями о его молодости, происхождении, общении с богами, воспоминаниях о своем существовании до рождения. По этим известиям, общество пифагорейцев было устроено наподобие тайной организации со строгим разделением членов, с посвящениями и обрядами. В члены его принимали после 2 — 5-летнего испытания в молчании. У настоящих пифагорейцев было общее имущество; они придерживались строгих правил жизни: отказывались от употребления мяса и бобов, не позволяли хоронить в шерстяных одеждах. Цель такого воздержания очищение человека в течение жизни, дабы после смерти возвратиться к жизни среди богов, что подразумевало не только отказ от чувственных удовольствий или от мясной пищи, но и ведение созерцательного образа жизни. Основой мира Пифагор признавал число. По словам Аристотеля, числа для пифагорейцев являлись не только началами математики, но и началами всех вещей, а весь мир гармонией чисел; само знание «совершенства чисел» Пифагор называл счастьем. Пифагорейцы открыли многие числовые соотношения не только в математике, но и в музыке. Совершенным числом пифагорейцы считали 10 декаду, — которое они изображали в виде равностороннего треугольника, образованного из четырех первых чисел и имевшего по четыре в каждой из сторон (10=1+2+3+4). В школе Пифагора особое внимание уделялось свойствам целых чисел, среди которых различались четные и нечетные, простые и составные, квадратные, кубические, а также учение о пропорциях и средних величинах. В геометрии изучались «совершенные», то есть правильные многоугольники и многогранники, игравшие важную роль в космологии Пифагора. Уже ранний пифагореизм придавал большое значение мистическим свойствам целых чисел 1,7, 10.

Философия Пифагора основывалась на вере в бессмертие души; учении о переселении душ в других существ; на представлении о цикличности всех процессов в мироздании через определенные промежутки времени — и отсюда о том, что в мире нет ничего Нового; на учении о родстве всех живых существ, обладающих душой.

IV. История открытия теоремы Пифагора.

Перебрав целую кипу книг, учебников, журналов, проштудировав много – много страниц Интернета, я пришла к выводу о том, что Началом жизни теоремы Пифагора, пожалуй, можно считать время древнего Китая. В книге Чупея, посвященной математике говорилось о треугольнике со сторонами 3, 4, и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4». В этой же книге был предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считал, что равенство 32+42=52 уже было известно египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками. Голландский математик Ван-дер-Ваден высказал свое мнение о том, что «…Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку…»

Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он доказал эту теорему. Древняя легенда свидетельствует о том, что Пифагор в честь этого открытия принес в жертву быка или даже 100 быков.

Уделом истины не может быть забвенье,

Как только мир ее увидит взор;

И теорема та, что дал нам Пифагор,

Верна теперь, как в день ее рожденья.

За светлый луч с небес вознес благодаренье

Мудрец богам не так, как было до тех пор.

Ведь целых сто быков послал он под топор,

Чтоб их сожгли как жертвоприношенье.

Быки с тех пор, как только весть услышат,

Что новой истины уже следы видны,

Отчаянно мычат и ужаса полны:

Им Пифагор навек внушил тревогу.

Не в силах преградить той истине дорогу

Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат.

V.Формулировки теоремы.

Вот несколько различных формулировок теоремы Пифагора:

Евклид: «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол» (в переводе с греческого);

Аннаирици: «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол» (латинский перевод арабского текста);

Geometria Culmonensis (около 1400 г.) «Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу»;

Ф.И. Петрушевский: «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол» (первый русский перевод «Начала» Евклида).

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако, одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду. Но история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Поэтому вопрос остается открытым, но это уже не важно. Главное, что великая и могучая теорема Пифагора (пусть даже и не им открытая) дало мощный толчок в нашем развитии. Теорема Пифагора: Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты (a и b), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (c).

Геометрическая формулировка:

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

а2 + b 2= c2

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Обратная теорема Пифагора:

Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a2 + b2 = c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

VI. Теорема Пифагора и способы её доказательства.

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим —

И таким простым путем

К результату мы придем. Что и требовалось доказать.

Существует множество доказательств теоремы Пифагора. Это объясняется тем, что в прошлом для получения звания магистра математики зачастую требовалось представление нового доказательства этой теоремы.

Простейшее доказательство

Доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.

Обратное доказательство теоремы пифагора разными способамиТеорема о душе что это

Например, для треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, – по два.

Теорема доказана.

Доказательство методом разложения

Существует целый ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата, построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на чертеж. Вот некоторые из них:

Обратное доказательство теоремы пифагора разными способамиДоказательство Энштейна: здесь в качестве составных частей разложения фигурируют треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, достаточно подметить, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF. (Рисунок 2);

Доказательство Нильсена: на этом чертеже (Рисунок 3) вспомогательные линии изменены по предложению Нильсена;

Обратное доказательство теоремы пифагора разными способами

Доказательство Бехтера: на следующем чертеже (Рисунок 4) дано весьма наглядное разложение Бетхера;

Теорема о душе что это

Доказательство Перигаля: в учебниках часто встречается разложение, указанное на рисунке (так называемое «колесо с лопастями»). Через центр O квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа .

Обратное доказательство теоремы пифагора разными способами

Доказательство Гутхейля: изображенное на следующем рисунке разложение принадлежит Гутхейлю; для него характерно наглядное расположение отдельных частей, что позволяет сразу увидеть, какие упрощения повлечет за собой случай равнобедренного прямоугольного треугольника (Рисунок 6);

Обратное доказательство теоремы пифагора разными способами

Доказательство методом дополнения.

Доказательство методом вычитания:

На чертеже к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1 (Рисунок 8).

Теорема о душе что это

Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах. Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK в нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики;

Доказательство методом вычитания (второе):

Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника (Рисунок 9). Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так, чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе: треугольники 1, 2, 3, 4 прямоугольник 5, прямоугольник 6 и квадрат 8, прямоугольник 7 и квадрат 9. Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах: прямоугольники 6 и 7, прямоугольник 5, прямоугольник 1 (заштрихован), прямоугольник 2 (заштрихован). Теперь покажем, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что: прямоугольник 5 равновелик самому себе; четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7; прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован); прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2 (заштрихован).

Обратное доказательство теоремы пифагора разными способами

Геометрические методы доказательства

Доказательство Евклида.

Обратное доказательство теоремы пифагора разными способами

Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.

На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника — BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.

Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.

Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, — это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно: треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно — AB=AK, AD=AC — равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата — 90°).

Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично.

Упрощенное доказательство Евклида.

Пусть квадрат, построенный на одном из катетов (на рисунке это квадрат, построенный на большем катете), расположен с той же стороны катета, что и сам треугольник (Рисунок 11).

Теорема о душе что это

Тогда продолжение противоположной катету стороны этого квадрата проходит через вершину квадрата, построенного на гипотенузе. Доказательство в этом случае оказывается совсем простым, т. к. здесь достаточно сравнить площади интересующих нас фигур с площадью одного треугольника (он заштрихован) – площадь этого треугольника равна половине площади квадрата и одновременно половине площади прямоугольника.

Доказательство Хоукинсa.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A’CB’ (Рисунок 12).

Обратное доказательство теоремы пифагора разными способами

Продолжим гипотенузу A’В’ за точку A’ до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В’D будет высотой треугольника В’АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A’АВ’В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA’ и СВВ’. Получаем , , .

Треугольники A’В’А и A’В’В имеют общее основание A’В’=c и высоты DA и DB, поэтому: .

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a²+b²=c².

Доказательство Вальдхейма: чтобы доказать теорему достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями (Рисунок 13).

, .

Обратное доказательство теоремы пифагора разными способами

Приравнивая правые части, получим: a²+b²=c².

5.Геометрическое доказательство методом ГАРФИЛДА.

Три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна

0,5(а+в)(а+в),

во втором ав+0,5с².

Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.

Теорема о душе что это

6.Доказательство, основанное на теории подобия.

В прямоугольном треугольнике АВС проведем из вершины прямого угла высоту CD. Тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными (Рисунок 14). Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику.

Обратное доказательство теоремы пифагора разными способами

Это легко доказать, пользуясь первым признаком подобия (по двум углам). В самом деле, сразу видно что, кроме прямого угла, треугольники АВС и ACD имеют общий угол a, треугольники CBD и АВС – общий угол b. То, что малые треугольники также подобны друг другу, следует из того, что каждый из них подобен большому треугольнику.

7.Доказательство индийского математика Басхары.

Метод Басхары (Рисунок 15) заключается в следующем: выражаем площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников () и площадь квадрата . То есть получаем:

Обратное доказательство теоремы пифагора разными способами

8.Векторное доказательство.

Пусть АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах (Рисунок 16). Тогда справедливо векторное равенство: .

Тогда . Возведем обе части в квадрат, получим:

.Так как a перпендикулярна b, то . Откуда и получаем c²=a²+b².

Теорема о душе что это

9.Алгебраическое доказательство теоремы ПИФАГОРА.

Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке .

Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.

Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.

Обратное доказательство теоремы пифагора разными способами

Обратное доказательство теоремы пифагора разными способами

Теорема о душе что это

Обратное доказательство теоремы пифагора разными способами

Существует ещё много доказательств теоремы Пифагора,  проведенных как каждым из описанных методов, так и с помощью сочетания различных методов.

VII.Значение теоремы.

Теорема Пифагора — это одна из важных теорем геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Одна из теорем позволяет убедиться в том,

что если из точки вне прямой проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то: а) наклонные равны, если равны их проекции:

в) та наклонная больше, которая имеет большую проекцию.

Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Возникла целая наука тригонометрия. Эта наука нашла применение в землемерии.

Но еще раньше с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями.

Благодаря тому, что теорема Пифагора позволяет находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трехмерное пространство и дальше – в многомерные пространства. Этим определяется ее исключительная важность для геометрии и математики в целом.



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap
sitemap