Научно-исследовательская работа по теме Золотое сечение — гармония и красота



VI городская Конференция проектных, научно-исследовательских и творческих работ «Шаг в науку» учащихся 5-11 классов

тема: «Золотое сечение – гармония и красота »

Автор: Цасюк Дмитрий Юрьевич

ученик 8 класса МОУ СОШ №32

Научный руководитель:

Григорьева Валентина Ананьевна

учитель математики МОУ СОШ №32

Подольск 2013

Оглавление

Введение ………………………………………………………………….

Методика исследования………………………………………………….

Результаты исследований………………………………………………..

Вывод………………………………………………………………………

Заключение………………………………………………………………..

Список использованной литературы……………………………………..

Приложения …………………………………………………………………

Введение

«…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…».

Иоганн Кеплер

Цель проекта – выявить «золотое сечение» в математике, природе, архитектуре, искусстве, технике.

Задачи:

1. Изучить понятия «пропорция»; «золотое сечение».

2. Исследовать присутствие золотого сечения в окружающей жизни.

3. Изучить практическое применение этого понятия, провести эксперименты с элементами золотого сечения.

4. Научиться анализировать и делать выводы.

Методы исследования:

1. Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.

2. Социологический опрос, эксперименты.

3. Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

Объект исследования: «золотое сечение».

Предметы исследования: математика, искусство, живопись, природа.

Актуальность:

Окружающий нас мир многообразен… Все, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна мера, целесообразность и гармония воспринимаются как красивое и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение.

Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А.С. Пушкин.

Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного.

Я познакомился с одним из таких математических соотношений, там, где оно присутствует, ощущается гармония и красота.

Теорему Пифагора знают многие люди, а вот что такое «золотое сечение» – далеко не все. Перед тем, как начать работу по теме « Золотое сечение», я провел опрос среди своих одноклассников, среди учителей нашей школы.

Нужно было ответить на вопрос «Знаете ли вы, что такое « золотая пропорция» или «золотое сечение»? Результаты опроса изображены на диаграмме.



Спираль слева направо

Большая часть учителей знают что такое « золотая пропорция» и « золотое сечение», а большинство учащихся не имеют представления о « золотом сечении» и

« золотой пропорции».

Методика исследования

Я познакомился с понятием «золотое сечение», научился делить отрезок в золотом отношении, увидел, где оно встречается, как используется в технике и произведениях искусства.

Что же такое золотое сечение?

Рассмотрим отрезок АВ.

А С В

Его можно разделить точкой С на две части бесконечным множеством способов, но говорят что точка С производит золотое сечение отрезка АВ, если выполняется пропорция: длина меньшего отрезка так относится к длине большего, как больший отрезок относится к длине всего отрезка, т.е.

Термин золотое сечение ввёл в XVI веке великий художник, учёный и изобретатель Леонардо да Винчи. В истории утвердились три варианта названия: золотое сечение, золотая пропорция и третье – деление отрезка в среднем и крайнем отношениях. Кроме того, золотое сечение награждали эпитетами «божественное», «чудесное», «превосходнейшее», потому что-то, где оно присутствует, вызывает у нас ощущение красоты и гармонии.

Чтобы и вы смогли увидеть золотое сечение в природе, в произведениях искусства, я научу вас сейчас делить отрезок в среднем и крайнем отношениях, т.е. делить отрезок в золотом отношении.

D

E

C

B C A

Дано : Отрезок АВ.

Построить: золотое сечение отрезка АВ, то есть точку С так, чтобы

Построим прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза больше другого. Для этого восстановим в точке В перпендикуляр к прямой АВ и на нем отложим отрезок Далее, соединив точки A и D, отложим отрезок DE=BD, и, наконец, AC=AE. Точка С является искомой, она производит золотое сечение отрезка АВ.

Доказательство.

— прямоугольный по построению. По теореме Пифагора Так как отрезок AD равен сумме отрезков AE и ED, то равенство перепишем в виде:

Задача имеет единственное решение.

Ч. т. д.

Деление отрезка в золотом отношении – это очень древняя задача. Она присутствует в «Началах» Евклида.

Золотое сечение записывается с помощью пропорции. Пропорция – это равенство двух отношений. Всем, я думаю, интересно узнать численное значение этих отношений. Сейчас мы его найдем.

Для удобства длину отрезка АВ обозначим за а , а длину отрезка АС – за х , то длина отрезка СВ будет а – х .

А х С а-х В

а

Пропорция (1) примет вид : (2).

(Отношение длины меньшего отрезка а – х к длине большего отрезка х равно отношению большего отрезка х к длине всего отрезка а).

Так как отношения составляющие пропорцию равны, то найдём численное значение, например, отношения

По свойству пропорции: произведение средних членов равно произведению крайних членов. Равенство (2) перепишется в виде

Раскроем скобки и все слагаемые перенесём в левую часть:

Решаю получившееся квадратное уравнение относительно х

Так как, а – это длина отрезка, поэтому D > 0 , уравнение имеет 2 корня.

 

  Напоминаю, что мы находим значение

Получилось два значения х , но х – это длина отрезка, т.е. число положительное.

Проверим, удовлетворяет ли этому условию? ( не удовлетворяет условию, так как меньше нуля).

Удовлетворяет ли этому условию?

Значит,

Находим отношение

Вычисляю значение этого выражения с помощью микрокалькулятора с точностью до сотых.

Следовательно, отношение длины меньшего отрезка к длине большего отрезка и отношение большего к длине всего отрезка равно 0,62 . Такое отношение и будет золотым. Полученное число обозначается буквой . Это первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V в до н.э., который часто использовал золотое отношение в своих произведениях.

Итак, мы узнал, что такое золотое сечение и как разделить произвольный отрезок в золотом отношении.

Так когда же некоторая точка С производит золотое сечение отрезка AD ? (Точка С производит золотое сечение отрезка АВ , если выполняется пропорция: длина меньшего отрезка так относится к длине большего, как больший отрезок относится к длине всего отрезка, т.е.

На уроках геометрии мы изучали равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, оказывается, существует ещё так называемый золотой треугольник.

  Золотым называется такой равнобедренный треугольник , основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении:

В

А С

Я провел психологический опыт.

Попросил одноклассников начертить на альбомном листе любой прямоугольник, какой больше нравиться(!). Попросил найти отношение ширины прямоугольника к его длине.

Результаты показали, что у большинства из них отношение сторон оказалось близким к числу 0,62. И это не случайно, так как многим людям кажутся красивыми и гармоничными именно те фигуры, в которых есть элементы, связанные друг с другом золотым отношением.

Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е. отношение ширины к длине даёт число 0,62, называется золотым прямоугольником.

L M

K N

В «золотом прямоугольнике» построим квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, у которого с прямоугольником общий прямой угол. Оказывается, снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. В этом прямоугольнике снова построим квадрат, у которого с прямоугольником общий угол, и со стороной равной меньшей стороне прямоугольника. Снова получился золотой прямоугольник. Произведём несколько аналогичных построений.

Видим, что весь прямоугольник оказался составленным из вращающихся квадратов. Соединим противолежащие вершины квадратов плавной кривой. Сделаем это с помощью циркуля следующим образом…

Спираль слева направо 

Мы получили кривую, которая является золотой спиралью .

Результаты исследований

Оказывается, в природе встречаются и золотое сечение и золотая спираль.

Окружающие нас предметы дают примеры золотого прямоугольника: обложки многих книг, журналов, тетрадей, открытки, картины, крышки столов, экраны телевизоров и т.д. близки по размерам к золотому прямоугольнику.[Приложение 1].

Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и математических закономерностей. Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготении и инерции. Золотая пропорция – это математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замедленным ростом «по инерции» до момента цветения.

Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте золотого сечения. Точка С делит отрезок АВ в золотом отношении, точка Е делит отрезок DA в золотом отношении и так далее.[Приложение 2].

Спираль слева направо

Золотую спираль также можно заметить в созданиях природы.

Рассмотрим расположение семечек в корзине подсолнуха. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону у среднего подсолнуха закручено 13 спиралей, в другую – 21 . Отношение 13/21 равно 0,62. У более крупных соцветий подсолнуха число соответствующих спиралей больше, но отношение числа спиралей, закручивающихся в разных направлениях также равно числу 0,62.

Спираль слева направо

Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса.

Спираль слева направо

По золотой спирали свёрнуты раковины многих улиток и моллюсков, некоторые пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по золотым спиралям. Рога архаров закручиваются по золотым спиралям.

Спираль слева направоСпираль слева направоСпираль слева направо

  Природа повторяет свои находки, как в малом, так и в большом. По золотым спиралям закручиваются многие галактики, в частности и галактика Солнечной системы.

 Спираль слева направо

Человек – венец творения природы… Установлено, что золотые отношения можно найти и в пропорциях человеческого тела. [Приложение 3]

Начну с пропорции головы человека.

Спираль слева направо

Оказывается, что у большинства людей, верхняя точка уха, на рисунке это точка В , делит высоту головы вместе с шеей, т.е. отрезок АС , в золотом отношении.

Нижняя точка уха, точка D , делит в золотом отношении расстояние ВС , т.е. расстояние от верхней части уха до основания шеи.

Подбородок делит расстояние от нижней точки уха до основания шеи в золотом отношении, т.е. точка Е делит в золотом отношении отрезок DC .

Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела — длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

тело Спираль слева направо

Перейду к пропорциям тела.

Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что пупок делит высоту человека в золотом отношении.

Спираль слева направо

Основание шеи делит расстояние от макушки до пупка в золотом отношении.

Эти пропорции я показал в изображении знаменитой скульптуры Аполлона Бельведерского. Аполлон считается образцом мужской красоты.

Но не только создатель Аполлона, но и скульптор Фидий часто использовал золотую пропорцию в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского,

Спираль слева направо

которая считалась одним из семи чудес света, и статуя Афины Парфенос.

Спираль слева направо

Кроме того, человек сам является творцом, создаёт замечательные произведения искусства, в которых просматривается золотая пропорция. Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах.

Спираль слева направо Спираль слева направо

Парфенон – это одно из красивейших произведений древнегреческой архитектуры. Он и сейчас, несмотря на то, что со времени его постройки прошло более 2,5 тысячелетий, производит огромное впечатление. Некогда белоснежный мрамор стал от времени золотисто-розовым. Величественное здание, стоящее на холме из известняка, возвышается над Афинами и их окрестностями. Но поражает оно не своими размерами, а гармоническим совершенством пропорций. Здание не вдавливается своей тяжестью в землю, а как бы парит над нею, кажется очень лёгким.

Многие искусствоведы стремились раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя. Разгадку они увидели в том, что в соотношениях многих частей храма присутствует золотая пропорция. Так, отношение высоты здания к его длине равно 0,62 . Отношения целого ряда частей Парфенона дают число 0,62. Говорят «… у греческого храма нет размеров, у него есть пропорции …».

  Надо сказать, что в эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. Монах Лука Пачоли написал целую книгу «Божественная пропорция». Леонардо да Винчи, знающий о воздействии золотой пропорции на человека, выполнил к этой книге иллюстрации.

Скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют золотое сечение в своих произведениях, так как пропорции золотого сечения создают впечатление гармонии и красоты.

Я провёл ещё один психологический опыт.

Попросил одноклассников положить перед собой альбомный лист чистой стороной. Попросил представить, что они собрались нарисовать пейзаж и это формат их картины. Нужно провести на будущей картине линию горизонта…

У большинства получился результат, очень похожий на рисунок 1 или 2 (перевернуть 1).

 Спираль слева направо

Почему они и многие другие художники проводят линию горизонта именно так? А потому, что линия горизонта разделила высоту картины в отношении близком к золотому сечению. Оказывается, для нашего восприятия такое соотношение привычно, нам кажется такое изображение естественным и гармоничным.

Из всего сказанного можно сделать выводы:

Золотое сечение является отображением окружающегося мира

Человеческое представление о красивом формировалось под влиянием порядка и гармонии

Закономерности «Золотого сечения» заложены в подсознании человека, они использовались и используются архитекторами в своих работах.

С возрастом увеличивается количество людей, выбирающих Золотую пропорцию.

Золотое сечение имеет большое применение в нашей жизни. На летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения.

Заключение

В своей работе я рассмотрел пропорцию, научился делить отрезок в золотом отношении, изучил золотой треугольник, золотой прямоугольник, спираль. Исследовал предметы на золотой прямоугольник, пропорцию человеческого тела, увидел пропорцию в окружающей нас природе.

Изложил примеры, взятые из архитектуры, живописи, скульптуры.

В своей работе я хотела продемонстрировать красоту и широту «Золотого сечения» в реальной жизни. Проведенные исследования доказали, что многое в окружающем мире подчиняется правилу золотого сечения.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Значение золотого сечения в современной науке очень велико. Эта пропорция используется практически во всех областях знаний.

Пока я говорил только об его эстетическом значении, но существуют примеры его чисто практического применения. В гидротехнике по золотой спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря этому напор воды используется с наибольшей производительностью

Приложение 1

«Золотой прямоугольник» учебников

учебник

ширина

а (см)

длина

в (см)

отношение

а/в

Русский язык

17

21

0,81

История России

14,7

21,5

0,68

Химия

16,5

21,7

0,76

Геометрия

14,5

21,5

0.67

Литература

14,7

22

0,668

Новая История

14,5

22

0,659

Биология 7 кл.

16,5

22

0,75

Английский язык



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap sitemap