Научная работа Применение векторов к решению задач



АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДА НИЖНЕГО НОВГОРОДА

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 138

Научная работа по геометрии

Тема: Применение векторов к решению задач

Работу выполнила: Шарандова Валентина Александровна

ученица 9а класса

МБОУ СОШ №138

Научный руководитель: Седова Ирина Георгиевна

учитель математики

второй категории

2013

Содержание

Введение3

Глава 1. Понятие вектора. 5

1.1.Исторические аспекты векторного исчисления 5

1. 2.Понятие вектора7

Глава 2. Операции над векторами11

2.1. Сумма двух векторов 11

2.2. Основные свойства сложения векторов 12

2.3. Сложение нескольких векторов13

2.4. Вычитание векторов 14

2.5. Модули сумм и разностей векторов 16

2.6. Произведение вектора на число 16

Глава 3. Координаты вектора20

3.1. Разложение вектора по координатным векторам20

3.2. Координаты вектора21

Глава 4. Примирение векторов к решению задач. 23

Заключение27

Список литературы 28

ВВЕДЕНИЕ

Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорости, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами (или коротко векторами).

Вектор – одно из основных геометрических понятий. Вектор характеризуется числом (длиной) и направлением. Наглядно его можно представить себе в виде направленного отрезка, хотя, говоря о векторе, правильнее иметь в виде целый класс направленных отрезков, которые все параллельны между собой, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Примерами физических величин, которые имеют векторный характер, могут служить скоростью (поступательно движущегося тела), ускорение, сила и др.

Понятие векторы появилось в работах немецкого математика 19 в. Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем оно было охотно воспринято многими математиками и физиками. В современной математике и ее приложениях это понятие играет важнейшую роль. Векторы применяются в классической механике Галилея – Ньютона (в ее современном изложении), в теории относительности, квантовой физике, в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математике.

В современной математике и теперь не мало внимания уделяется векторам. С помощью векторного метода решаются сложные задачи. Увидеть использование векторов мы можем в физике, астрономии, биологии и других современных науках. Познакомившись с этой темой на уроках геометрии, мне захотелось рассмотреть её подробнее. Поэтому для себя определяю следующее:

Цель моей работы

Рассмотреть более подробно темы школьного курса геометрии за 8-9 классы, в которых рассказывается о векторах;

Привести примеры задач в решении которых применяются вектора.

Задачи:

Рассмотреть исторический материал по данной теме.

Выделить основные теоремы, свойства и правила.

Научиться решать задачи рассмотренным методом.

ГЛАВА 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА.

1.1. ИСТОРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Многие историки считают «родителями векторного пространства» ирландского учёного XIX в. У. Гамильтона, а также его немецких коллег и современников Г. Грассмана. Даже сам термин «вектор» ввел также Гамильтон около 1845 г.

Между тем историю векторного исчисления, как историю и корни всякой крупной математической теории, можно проследить задолго до его выделения в самостоятельный раздел математики. Так еще Архимед в его всем известном законе присутствует величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением. Более того: векторный характер сил, скоростей и перемещений в пространстве был знаком многим ученым Античного времени, а «правило параллелограмма» сложения векторов было известно еще в IV в. Р. Х. математикам школы Аристотеля. Вектор обычно изображался отрезком с указанным на нем направлением, т.е. направленным отрезком.

Параллельно с исследованиями комплексных чисел в работах многих математиков XVII-XVIII в.в., занимавшихся геометрическими проблемами, можно увидеть нарастание потребности в неком геометрическом исчислении, подобном численному (исчислению действительных чисел), но связанному с пространственной системой координат. Его в какой-то мере пытался создать еще Лейбниц, продумывая свою «универсальную арифметику», но, несмотря на гениальность и необычайную широту интересов, сделать это ему не удалось. Однако уже к концу XVIII в. отдельные идеи векторного исчисления, которое и стало тем исчислением, что искали геометры, смог сформулировать французский ученый Л. Карно. А в 30-х годах XIX в. у Гамильтона и Грассмана в работах по теории комплексных чисел и кватернионов эти идеи были сформулированы уже совершенно прозрачно, хотя, по существу, что удивительно, они имели дело только с некоторыми примерами тех конечномерных векторных пространств, которые теперь бы мы назвали – координатными.

Так называемые функциональные векторные пространства привлекли внимание математиков уже в начале нашего века рослее инновационных результатов в этой области итальянца С. Пинкерля и немецкого математика О. Теплица, который известен своими работами по теории матриц, и, в частности, тем, что придумал удачную общую модель векторного пространства – координатное векторное пространство. Именно Хевисайд ввел в 1891 г. одно из закрепившихся в научной литературе обозначающий вектора: а, автором двух других общепринятых ныне обозначений векторов: ā был Ж. Арган, а для обозначения свободного вектора предложил А. Мебиус. Термин «скалярный» в современном смысле впервые употребил У. Гамильтон в 1843 г.

Таким образом, векторное исчисление – это раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. Возникновение векторного исчисления тесно связано с потребностями механики и физики.

1.2. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

Многие геометрические и физические величины полностью определяются, если задана их числовая характеристика. Такими величинами являются длина линии, объем тела, масса, работа, температура и т. д. Число, характеризующее ту или иную величину, получается в результате сравнения ее с выбранным эталоном, принятым за единицу измерения. Такие величины в математике называются скалярными величинами или просто скалярами.

Однако иногда встречаются величины более сложной природы, которые не могут быть полностью охарактеризованы их числовым значением. К подобным величинам относятся сила, скорость, ускорение и т. д. Для полной характеристики указанных величин, кроме числового значения, необходимо указать их направление. Такие величины в математике называются векторными величинами или векторами.

Для графического изображения векторов пользуются направленными отрезками прямой. В элементарной геометрии, как известно, отрезком называется совокупность двух различных точек А и В вместе со всеми точками прямой, лежащими между ними. Точки А и В называются концами отрезка, при этом порядок, в котором они берутся, не существен. Однако если отрезок АВ используется для графического изображения векторной величины, то порядок, в котором указаны концы отрезка, становится существенным. Пары точек АВ и В А задают один и тот же отрезок, но различные векторные величины.

В геометрии вектором называется направленный отрезок, т. е. отрезок, для которого указано, какая из концевых его точек считается первой, какая — второй. Первая точка направленного отрезка называется началом вектора, а вторая точка — концом.

Направление вектора на чертеже отмечается стрелкой, обращенной острием к концу вектора.

В тексте вектор записывается двумя заглавными буквами латинского алфавита со стрелкой наверху. Так, на рисунке 1,а изображены векторы , , , , причем А, С, Е, G — соответственно начала, а В, D, F, Н — концы данных

векторов. В некоторых случаях вектор обозначается также — одной строчной буквой, например, , , (рис. 1,б)

1.2.1. НУЛЬ-ВЕКТОР

При определении вектора мы предполагали, что начало вектора не совпадает с его концом. Однако в целях общности будем рассматривать и такие «векторы», у которых начало совпадает с концом. Они называются нулевыми векторами или нуль-векторами и обозначаются символом 0. На чертеже нуль-вектор изображается одной точкой. Если эта точка обозначена, например, буквой К, то нуль-вектор может быть обозначен также через .

1.2.2. КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Два вектора АВ и CD называются коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на параллельных прямых.

Нуль-вектор считается коллинеарным любому вектору.

На рисунке 1,а векторы , , , попарно коллинеарны. На рисунке 2 векторы и коллинеарны, а и не коллинеарны.

Если ненулевые векторы и коллинеарны, то они могут иметь одно и то же или противоположные направления. В первом случае их называют сонаправленными, во втором случае — противоположно направленными.

На рисунке 1,а векторы и сонаправлены, а и или и противоположно направлены. В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями: запись || (или || ) будет означать, что векторы и коллинеарны; запись (или ) будет означать, что векторы и сонаправлены, а запись — что они имеют противоположные направления. Например, для векторов, изображенных на рисунке 1, а, имеют место соотношения: , , , || , .

1.2.3. МОДУЛЬ ВЕКТОРА

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка, изображающего данный вектор. Длиной нулевого вектора называется число нуль. Длина вектора обозначается символом ||, или просто АВ (без стрелки наверху!). Длина вектора обозначается так: || Очевидно, длина вектора равна нулю тогда и только тогда, когда — нулевой вектор. Вектор называется единичным, если его модуль равен единице.

1.2.4. РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ

Два вектора и называются равными, если выполнены следующие условия: а) модули векторов и равны; б) если векторы и ненулевые, то они сонаправлены.

Из этого определения следует, что два нулевых вектора всегда равны; если же один вектор нулевой, а другой отличен от нуля, то они не равны.

Равенство векторов и обозначается так: = .

Понятие равенства векторов обладает свойствами, которые аналогичны свойствам равенства чисел.

Теорема [1.1.] Равенство векторов удовлетворяет следующим условиям:

а) каждый вектор равен самому себе (условие рефлексивности);

б) если вектор равен вектору , то вектор равен вектору (условие симметричности);

в) если вектор равен вектору , а равен вектору , то равен (условие транзитивности).

1.2.5. ПЕРЕНОС ВЕКТОРА В ДАННУЮ ТОЧКУ

Пусть дан некоторый вектор = и произвольная точка А. Построим вектор равный вектору , так, чтобы его начало совпало с точкой А. Для этого достаточно провести через точку А прямую , параллельную прямой EF, и отложить на ней от точки А отрезок AВ, равный отрезку EF. При этом точку В на прямой следует выбрать так, чтобы векторы и были сонаправлены. Очевидно, есть искомый вектор .



ГЛАВА 2.ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.

2.1. СУММА ДВУХ ВЕКТОРОВ

Суммой двух произвольных векторов и называется третий вектор , который получается следующим образом: от произвольной точки О откладывается вектор , от его конца А откладывается вектор . Получившийся в результате этого построения вектор есть вектор (рис. 3).

На рисунке 4 изображено построение суммы двух коллинеарных векторов: а) сонаправленных, б) противоположно направленных, в) векторов, из которых один нулевой, г) равных по модулю, но противоположно направленных (в этом случае, очевидно, сумма векторов равна нуль-вектору).

Легко видеть, что сумма двух векторов не зависит от выбора исходной точки О. В самом деле, если за исходную точку построения взять точку О’, то, как видно из рисунка 3, построение по указанному выше правилу дает вектор , равный вектору .

Очевидно также, что если

Из правила треугольника для сложения двух векторов вытекает простое и очень полезное для решения задач правило: каковы бы ни были три точки A, В и С, имеет место соотношение: + = .

Если слагаемые векторы не коллинеарны, то

для получения их суммы можно пользоваться другим способом — правилом параллелограмма. На рисунке 5 дано построение суммы векторов и

по этому правилу.

2.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Теорема [1.2.] Понятие суммы векторов удовлетворяет следующим условиям:

а) для любых трех векторов , и имеет место соотношение:

(+ ) + + ( + ) (ассоциативный закон);

б) для любых двух векторов и имеет место соотношение: + = + , т. е. сумма двух векторов не зависит от порядка слагаемых (коммутативный закон);

в) для любого вектора , имеем: =

г) для каждого вектора существует противоположный вектор , т. е. вектор, удовлетворяющий условию: + = . Все векторы, противоположные данному, равны между собой.

Доказательство.

а) Пусть О — начало, а A —конец вектора

. Перенесем вектор в точку A и от его конца В отложим вектор , конец которого обозначим через С (рис.6). Из нашего построения следует,

что (1).

Из правила треугольника имеем:=+ и = + , поэтому =( + )+ . Подставив сюда значения слагаемых из (1), получаем:

= (+ ) +

С другой стороны, = + и = + , поэтому = + ( + ). Подставив сюда значения слагаемых из (1), получаем: = + ( + ).

Из этого следует, что векторы (+ ) + + ( + ) равны одному и тому же вектору , поэтому они равны между собой.

г) Пусть = — данный вектор. Из правила треугольника следует, что + = = 0. Отсюда вытекает, что есть вектор, противоположный вектору . Все векторы, противоположные вектору = , равны вектору , так как если каждый из них перенести в точку А, то концы их должны совпадать с точкой О в силу того, что + = . Теорема доказана.

Вектор, противоположный вектору , обозначается .

Из Теоремы [1.2.] следует, что если 0, то и . Также очевидно, что для любого вектора имеем: -(-)= .

Пример 1

В треугольнике ABCD AB=3,BC=4,B=900.

Найти: а); б).

Решение.

а) Имеем:, и, значит,=7.

б) Так как , то .

Теперь, применяя теорему Пифагора, находим

, т. е .

Понятие суммы векторов можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.

2.3. СЛОЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ

Суммой трех векторов , и будем считать вектор = (+ ) + . На основании ассоциативного закона (теорема[1.2]) сложения векторов + ( + ), поэтому при записи суммы трех векторов мы можем опустить скобки и записать ее в виде + + . Больше того, из теоремы [1.2] следует, что сумма трех векторов не зависит от порядка слагаемых.

Пользуясь доказательством теоремы [1.2], можно указать следующий способ построения суммы трех векторов , и . Пусть О — начало вектора . Перенесем вектор в конечную точку вектора , а вектор — в конечную точку вектора . Если С — конечная точка вектора , то + + = ОС (рис. 8).

Обобщая правило, данное для построения суммы трех векторов, можно указать следующее общее правило сложения нескольких векторов. Чтобы построить сумму векторов ,…, достаточно вектор перенести в конечную точку вектора , затем вектор перенести в конечную точку вектора и т. д. Суммой данных векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом .

Сумма векторов ,… обозначается: …+ . На рисунке 9 дано построение суммы векторов ,:

= .

Указанное выше правило построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.

2.4. ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Вычитание вводится как операция, обратная сложению. Разностью векторов и называется такой вектор , что + = .

Разность векторов и обозначается так: .

Таким образом, выражение = означает, что + = .

Вектор называется уменьшаемым, а вектор — вычитаемым.

Теорема [1.3] Каковы бы ни были векторы и , всегда существует и единственным образом определяется разность .

Доказательство. Возьмем произвольную точку О и перенесем векторы и , в эту точку. Если = и = , то вектор есть искомая разность, так как + = , или + =. Данное построение выполнимо при любых векторах и , поэтому разность всегда существует.

Теперь докажем, что разность определяется единственным образом. Пусть + = и + = . К обеим частям этих равенств прибавим вектор

+ +()= +(),

+ +()= +().

Пользуясь теоремой [1.2], после элементарных преобразований получаем: = +(), = +(), поэтому = . Теорема доказана.

Следствия. 1°.Для построения разности двух векторов нужно эти векторы перенести в некоторую точку пространства. Тогда вектор, идущий от конца вычитаемого к концу уменьшаемого, есть искомый вектор.

2°. Для любых двух векторов и имеем: = +(- т. е. разность двух векторов равна сумме уменьшаемого вектора и вектора, противоположного вычитаемому.

Пример 2

Сторона равнобедренного треугольника ABC равна . Найти: a),

b).

Решение. a) Так как , а , то .

b) Так как, а, то.

2.5. МОДУЛИ СУММ И РАЗНОСТЕЙ ВЕКТОРОВ

Для произвольных векторов и имеют место следующие соотношения:

а)

б) .

В соотношении а) знак равенства имеет место только в случае, если или если хотя бы один из векторов и нулевой.

В соотношении б) знак равенства имеет место только в случае, если или если хотя бы один из векторов и нулевой.

2.6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО.

Произведением вектора (обозначается или ) на действительное число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную , и то же направление, что и вектор , если 0, и направления, противоположное направлению вектора , если . Так, например, есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор , а длину, вдвое большую, чем вектор (рис. 10)

Рис. 10

Рис. 10

В случае, когда или , произведение представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на = -1 (рис. 10): . Очевидно, что .

Пример 3

Доказать, что если O, A, B, и C, — произвольные точки, то .

Решение. Сумма векторов , вектор — противоположный вектору . Поэтому .

Пусть дан вектор . Рассмотрим единичный вектор 0, коллинеарный вектору и одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует, что 0, т. е каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует, что если , где — ненулевой вектор, то векторы и коллинеарны. Очевидно, что и обратно, из коллинеарности вектор и следует, что .

Таким образом, два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство .

Умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

Для любых чисел , и любых векторов , справедливы равенства:

1.= (сочетательный закон).

2.(первый распределительный закон).

3. (второй распределительный закон).

Рисунок 11 иллюстрирует сочетательный закон. На этом рисунке представлен случай, когда R=2, = 3.

Рис.11

Рис.11

Рис.12

Рис.12

Рисунок 12 иллюстрирует первый распределительный закон. На этом рисунке представлен случай, когда

R=3, =2.

Примечание.

Рассмотренные свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих сумму, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например, выражение можно преобразить так: .

Пример 4.Коллинеарны ли векторы и ?

Решение. Имеем . Значит, данные векторы коллинеарны.

Пример 5.Дан треугольник ABC. Выразите через векторы и следующие векторы: а); б); в).

Решение.

а) Векторы и — противоположные, поэтому , или .

b) По правилу треугольника. Но , поэтому .

в).

Определение: Произведения нулевого вектора на число называется такой вектор , длина которого равна , причем вектор и сонаправлены при и противоположно направлены при . Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Произведение вектора на число обозначается так:.

Из определения произведения вектора на число непосредственно следует, что:

произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;

для любого числа и любого вектора векторы и коллинеарны.

Умножение вектора на число обладает следующим основными свойствами:

Для любых чисел , и любых векторов , справедливы равенства:

10 (сочетательный закон).

20 (первый распределительный закон).

30 (второй распределительный закон).

ГЛАВА 3. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА.

3.1. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ НЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ.

Лемма.

Если векторы и коллинеарны и , то существует число R, что .



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap
sitemap