Брошюра Метод рационализации уравнений и неравенств



Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №30 имени Н. Н. Колокольцова»

Маркова Мария

Александровна

Метод рационализации уравнений и неравенств

Калтанский ГО

2012

Автор-составитель Маркова Мария Александровна

В сборнике приведены примеры решения уравнений и неравенств с использованием метода рационализации. Представлен теоретический материал по данному методу, а также задания для самостоятельного решения.

Для заметок

18

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при котором неравенство G(x) ᴠ 0 равносильно неравенству F(x) ᴠ 0 в области определения выражения F(x).

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, где f, g, h, p, k – выражения с переменной x (h>0; h≠1; f>0; g>0), a – фиксированное число (а>0; a≠1).

Выражение F

Выражение G

Log ₐ f – logₐ g

log ₐ f — 1

log ₐ f

(a — 1)(f – g)

(a — 1)(f – a)

(a — 1)(f – 1)

log h f – loghg

log h f – 1

log h f

(h −1)( f − g)

(h −1)( f − h)

(h − 1)( f − 1)

Log f h – logg h

(g≠1, f≠1)

( f −1)(g −1) ×(h − 1)(g − f )

hᶠ — hᶢ (h>0)

hᶠ — 1

(h −1)( f − g)

(h −1) f

f ⁿ- gⁿ ( f > 0; g > 0)

( f − g)h

|f| — |g|

( f − g)( f + g)

logh f · log p q ↔ (h — 1)(f — 1)(p — 1)(q — 1)

logh f + log h g ↔ (fg — 1)(h — 1)

√f — √g ↔ (f — g)

(hᶠ — hᶢ) /( hᵖ — h ᵏ) ↔ (f — g)/(p — k) 3

Пример №1. Решить неравенство

По формуле |f(x)| — |g(x)| (f(x))2 – (g(x))2

Решаем неравенство методом интервалов, получаем

Ответ: (-∞; -2), [ -1; 1], (2; 4).

4

Ответы к заданиям для самостоятельного решения:

1. -2; — ), (; 3/2].

2. (-∞; -1/], [1/; + ∞).

(-2; -1), (0; 1).

(; -1), (2; ).

(-1; 2-), (1; 2).

(-3; -2), [2; 5).

(-∞; -0,5), (1; +∞).

(-2; -1], [-0,5; 0].

(3; +∞).

(-∞; -1), (; 3], (; +∞).

π/6 + πk, .

{1/8}, [; ].

[; 0), (0; 4].

(-∞; -2), [; + ∞).

(-4/5; 0), (8/5; 2).

17

Задания для самостоятельного решения:

16

Пример № 2. Решить неравенство

2x2+x+1 >= 0

x2+x+1>=0

Решаем методом интервалов и получаем:

Ответ: (-∞; -3/2), {0}, (2/3; +∞).

5

Пример № 3. Решить неравенство

ОДЗ

x>1

ОДЗ: x>=3/2

6 Ответ: [1,5; 3,25).

Пример № 12. Решить неравенство



ОДЗ

[ ; ]

Решаем неравенство методом интервалов, получаем:

Ответ: [-2; 0,5), (2/3; ].

15

Пример № 11. Решить неравенство

ОДЗ

Решаем неравенство методом интервалов, получаем:

Ответ: [0; 0,25), (1/3; 1).

14

Пример № 4. Решить систему неравенств

ОДЗ

Первое неравенство:

Введем замену

a – 25a<= - 360

a>= 15

Вернемся к замене:

Второе неравенство по формуле: log ₐ f = (a — 1)(f – 1)

Решаем методом интервалов и сопоставляем решение с ОДЗ и решением второго неравенства.

Ответ: [ 7

Пример № 5. Решить систему неравенств

ОДЗ x>0,25; x≠1; x≠1/3.

Решаем второе неравенство:

Методом интервалов получаем, что

Второе неравенство по формуле log ₐ f = (a — 1)(f – 1)

Методом интервалов получаем:

Объединяем в систему решения двух неравенств и область допустимых значений.

Ответ: [0,5; 1), (1; 2].

8

Пример № 10. Решить неравенство

x2= |x|2

Поформуле |f(x)| — |g(x)| (f(x))2 – (g(x))2



Решаем неравенство методом интервалов, получаем:

Ответ: (-∞; 1/3), (5/6; 1), (1; 3/2), [5/3; 2], [10; +∞)

13

Пример № 9. Решить неравенство

Применяем формулу |f(x)| — |g(x)| (f(x))2 – (g(x))2 дважды:

Решаем методом интервалов, получаем:

Ответ: (-∞; -3/2), (-1/2; 0), (0; 1], [2; +∞), {0}.

12

Пример № 6. Решить неравенство

ОДЗ x2+x+1≠ 1 x≠0, x≠-1

x2+x+1>0

2x2 — x/2 >0 x<0, x>1/4

По формуле logaf – 1 = (a-1)(f-a)

(x2+x)(2x2 – x/2 – x2 – x – 1) < 0

x(x – 1)(x2 – 3x/2 – 1) < 0

Решаем методом интервалов и объединяем решение с областью допустимых значений, получаем:

Ответ: ( — 1; — ½), (¼; 2).

9

Пример № 7. Решить неравенство



ОДЗ x2 – 3x + 3 ≠ 1 x ≠ 1, x ≠ 2

x2 – 3x + 3 > 0

2x2 – 7/2x + 3/2 > 0 x<3/4, x>1

По формуле logaf – 1 = (a-1)(f-a)

(x2 – 3x + 2)(2x2 — 7/2x + 3/2 – x2 + 3x – 3) < 0

(x2 – 3x + 2)(x2 – 1/2x – 3/2) < 0

x=1, x=2, x=-1, x=3/2

Решаем методом интервалов и объединяем решение с ОДЗ, получим:

Ответ: (-1; ¾), (3/2; 2).

10

Пример № 8. Решить неравенство

ОДЗ x2 + 2x – 3 > 0 x ≠ — 1 ±

x2 + 2x – 3 ≠ 1

x — 2, x > 1

По формуле logaf – 1 = (a-1)(f-a)

Преобразуем модули по формуле |f| — |g| = f2 – g2

x = — 1 ± , x = 1, x = -17/7

Решаем методом интервалов и объединяем с ОДЗ

Ответ: (-∞; -1 — ), (-17/7; -2), (-1 + ; + ∞).

11








sitemap
sitemap