Банк заданий к олимпиадам 9-11 класс



Представить в виде многочлена (x2)2.

____________________________________

Применяем формулу квадрата разницы и получаем:

(x2)2 = (x2)2 — 2·x2· + ()2 = x4 — 2x2 + 5.

Ответ: x4 — 2x2 + 5.

Представить в виде многочлена -(x)(x2 — 3)(x + ).

_______________________________________________

Очевидно, что можно решить задачу открыв первые две скобки, далее последующие две. Но, если присмотреться, можно заметить более простой путь к решению задачи. А именно — занеся минус в первые скобки и открыв крайние мы получим квадрат разности, который легко преобразуется в многочлен:

-(x)(x2 — 3)(x + ) = (x)(x + )(x2 — 3) = (x2 — 3)(x2 — 3) = (x2 — 3)2 = x4 — 6x2 + 9.

Ответ: x4 — 6x2 + 9.

Разложить на множители x3 — 3x2 + 4.

________________________________

Глянув на выражение сложно решить, что делать, какую формулу сокращенного умножения здесь применить. Потому для начала нужно сгруппировать выражение так, чтобы применение формулы стало очевидным. Такие решения нетривиальны. Навык, чувство группировки вырабатывается после решения определенного количества подобных задач.

В данной задаче отметим, что отняв и добавив x2 у нас появляются возможные варианты для группирования. Далее применяя формулы сокращенного умножения получаем ответ:

x3 — 3x2 + 4 = x3 + x2 — 4x2 + 4 = x2(x + 1) — 4(x2 — 1) =

= x2(x + 1) — 4(x — 1)(x + 1) = (x2 — 4(x — 1))(x + 1) = (x2 — 4x + 4)(x + 1) = (x — 2)2(x + 1).

Ответ: (x — 2)2(x + 1).

 Разложить на множители x4 — 4x3 + 3x2 + 4x — 4.

_________________________________________

Пусть вас не пугает степень многочлена и неясность, что делать. Начинайте группировать выражения и вскоре вы прийдете к ответу:

x4 — 4x3 + 3x2 + 4x — 4 = x2(x2 — 4x + 3) + 4(x — 1) = x2(x2x — 3x + 3) + 4(x — 1) =

= x2(x[x — 1] — 3[x — 1]) + 4(x — 1) = x2(x — 3)(x — 1) + 4(x — 1) = (x — 1)(x2[x — 3] + 4) =

= (x — 1)(x3 — 3x2 + 4).

Так как мы уже решили предыдущую задачу, то знаем, что второй множитель (x3 — 3x2 + 4) равен (x — 2)2(x + 1), а потому:

(x — 1)(x3 — 3x2 + 4) = (x — 1)(x + 1)(x — 2)2.

Ответ: (x — 1)(x + 1)(x — 2)2.

Подставить вместо многоточия одночлены так, чтобы выполнялось равенство

(3x + …)2 = 9x2 + 6ax + …

____________________________________________________________________

Найдем второй, неизвестный пока что член квадрата суммы. Мы знаем, что 6ax является удвоенным произведением членов. А так как первый равен 3x, то второй будет равен 6ax / 2·3x = a. Запишем:

(3x + a)2 = 9x2 + 6ax + …

Далее получим недостающий одночлен, как квадрат второго члена, согласно формуле. Он будет равен a2.

Ответ: (3x + a)2 = 9x2 + 6ax + a2.

Подставить вместо многоточия одночлены так, чтобы выполнялось равенство

(15x — …)2 = … — … + 50y.

____________________________________________________________________

Согласно формуле сокращенного умножения квадрата разницы найдем второй член в равенстве слева. Его квадрат равен 50y, а, значит, недостающий одночлен равен . Левая часть равенства определена, теперь нам не составит труда заполнить остальные многоточия. (15x)2 = 225x2 — первый одночлен правой части найден. Найдем и второй 2·15x·5 = 150x.

Ответ: (15x — 5)2 = 225x2 — 150x + 50y.

Найти трехзначное число, записанное в десятичной системе в виде abc, равное полусумме чисел bca и cab.

_____________________________________________________________________________

Перепишем условие задачи и получим:

2(100a + 10b + c) = (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b),

что после превращения преобразуется в 7a = 3b + 4c, или 3(ab) = 4(ca). Отсюда следует, что ab делится на 4, т.е. ab = 4m. Из равенства 3(ab) = 4(ca) получаем, что ca = 3m. Сложив равенства ab = 4m и ca = 3m получаем cb = 7m. Но |cb| ≤ 9, а потому m может принимать лишь значения -1, 0, 1. Если m = 1, то из равенства cb = 7m получаем, что возможны лишь следующие случаи: 1) c = 7, b = 0; 2) c = 8, b = 1; 3) c = 9, b = 2. А так как ca = 3m, то отсюда получаем для a значения 4, 5, 6. И числа-ответы: 407, 518, 629. Аналогично, при m = -1 находим числа 370, 481, 592. Наконец, при m = 0 получаем ab = 4m = 0, ca = 3m = 0, т.е. a = b = c. Получаем еще 9 чисел: 111, 222, … ,999.

Ответ: 407, 518, 629, 370, 481, 592, 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999.

Найти четырехзначное число abca (в десятичной записи), равное (5c + 1)2.

________________________________________________________________

Учтем, что 0 < a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9; 0 ≤ c ≤ 9; a, b, c Z и согласно условию запишем:

1001a + 100b + 10c = 25c2 + 10c + 1;

25c2 = 1001a + 100b — 1;

25c2 — 1000a — 100b = a — 1;

Левая часть равенства делится на 25, значит и a — 1 должно делится на 25. Единственный возможный вариант — a = 1. Тогда

25c2 — 100b = 1000;

c2 = 40 + 4b;

c = 2.

Корень из b + 10 должен быть целым числом, а, согласно ограничениям на b, это возможно лишь при b = 6. Значит c = 8. Искомое число 1681.

Ответ: 1681.

Пусть p — простое число. Доказать, что 8p2 + 1 — простое число, лишь при p = 3.

___________________________________________________________________

При p = 3, 8p2 + 1 = 73 — простое число. Докажем, что если p ≠ 3, то 8p2 + 1 — составное.

Из всех чисел кратным трем, лишь число 3 является простым. Пусть p не равно 3. Тогда p = 3k ± 1. Тогда 8p2 + 1 = 8(3k ± 1)2 + 1 = 8(9k2 ± 6k + 1) + 1 = 72k2 ± 48k + 9 = 3(24k2 ± 16k + 3). Т.е., если p = 3k ± 1, то 8p2 + 1 — составное. А значит лишь при p = 3, число 8p2 + 1 — простое.

Что и требовалось доказать.

Решить уравнение x2y2 = 93 в целых числах.

_______________________________________

Для решения данной задачи необходимо найти все пары целых чисел (x; y), которые удовлетворяют условию или показать, что таких пар не существует.

Так как левая часть равенства можно разложить на множители, то резонно это сделать:

(xy)(x + y) = 93;

Правая часть имеет восемь делителей: 1, 3, 31, 93, -1, -3, -31, -93, а потому может быть разложено на два целых множителя лишь восемью способами. А значит и уравнение имеет решения в восьми случаях:

Решив каждую из систем, получаем восемь пар решений исходного уравнения (47; 46), (47; -46), (-47; 46), (-47; -46), (17; 14), (17; -14), (-17; 14), (-17; -14).

Ответ: пары чисел (x; y) равны (47; 46), (47; -46), (-47; 46), (-47; -46), (17; 14), (17; -14), (-17; 14), (-17; -14).

Решить уравнение xy + 3x — 5y = -3 в целых числах.

____________________________________________

В данном уравнение левая часть явно на множители не разлагается. Однако, мы можем к обоим частям добавить целые числа, чтобы разложить левую часть на множители:

x(y + 3) — 5y = -3;

x(y + 3) — 5y -15 = -18;

(x — 5)(y + 3) = 18.

Получаем следующие системы:

Решая их, получаем следующие ответы (x; y) — (6; -21), (-13; -2), (4; 15), (23; -4), (7; -12), (-4; -1), (3; 6), (14; -5), (8; -9), (-1; 0), (2; 3), (11; -6).

Ответ: пары (x; y) равны (6; -21), (-13; -2), (4; 15), (23; -4), (7; -12), (-4; -1), (3; 6), (14; -5), (8; -9), (-1; 0), (2; 3), (11; -6).

Решить уравнение 4x3 — 2y3z3 = 0 в целых числах.

___________________________________________

В данной задаче левая часть не разлагается на множители и, вообще, сложно найти преобразование, ведущее к решению этой задаче.

Остается исследовать свойства чисел, входящие в уравнение. Один из вариантов — метод бесконечного спуска.

В данном уравнении 4x3 и — 2y3 делятся на 2, значить и z3 должно делиться на 2. Обозначим z = 2z1, где z1Z.

Подставляем в исходное уравнение, получаем:

4x3 — 2y3 — 23z13 = 0;

2x3y3 — 4z13 = 0.

Теперь мы видим, что 2x3 и — 4z13 делятся на 2. Значит и — y3 должно делится на 2. Обозначим y = 2y1, где y1Z.

Тогда 2x3 — 23y13 — 4z13 = 0;

x3 — 4y13 — 2z13 = 0.

Отчего следует, что x3 делится на 2. Полагая, что x = 2x1, где x1Z, получим:

23x13 — 4y13 — 2z13 = 0;

43x13 — 2y13z13 = 0.

Какие выводы можно сделать? Мы видим, что тройка (x; y; z) должна быть четная. Но при этом числа (x1; y1; z1), которые равны предыдущей тройке уменьшенной на 2, также удовлетворяют уравнению. Но раз так, значит и они должны делиться на 2.

Получается, что числа удовлетворяющие условию задачи должны быть четными, сколько бы раз мы их не делили на 2. Единственным четным числом, удовлетворяющим данное условие есть 0. Из чего делаем вывод, что решение данного уравнения одно x = y = z = 0.

Ответ: x = y = z = 0.

Найти остатки от деления квадрата целого числа на 3.



______________________________________________

Целое число x при делении на 3 может давать следующие остатки: 0, 1, 2. Рассмотрим все случаи:

Пусть x = 3k (kZ).

x2 = (3k)2 = 9k2. Т.е. остаток будет равен 0.

Пусть x = 3k + 1 (kZ).

x2 = (3k + 1)2 = 9k2 + 6k + 1. Видим, что первые два слагаемые делятся на 3, а третье дает остаток 1, потому и квадрат числа в данном случае будет давать остаток 1 при делении на 3.

Пусть x = 3k + 2 (kZ).

x2 = (3k + 2)2 = 9k2 + 6k + 4. Видим, что первые два слагаемые делятся на 3, а третье также дает остаток 1, потому и квадрат будет иметь остаток равен 1 при делении на 3.

Мы перебрали все случаи и видим, что квадрат целого числа при делении на 3 всегда дает остаток 0 или 1.

Ответ: Остаток равен 0 или 1.

Решить уравнение |2x — 3| = 7.

_________________________

Очевидно, что у нас есть две возможности: 2x — 3 = 7 или 2x — 3 = -7. Отсюда несложно получить, что x = 5, или x = -2.

Ответ: x = 5, или x = -2.

Решить уравнение |x2 — 2x — 7| = 4.

_____________________________

Воспользуемся методом решений № 2 и перейдем к совокупности:

А далее имеем:

Ответ: x = -1, x = 3 или

 

Решить уравнение x|x| + 8x — 7 = 0.

_____________________________

Используем первый метод и представляем уравнение в виде следующей совокупности:

Первая система не дает корней, со второй подходит лишь .

Ответ: x = .

Решить уравнение |x| + |x — 6| = 6.

____________________________

Опять воспользуемся методом № 1 и перейдем к совокупности:

Ответ: x.

Решить уравнение |x2 + x + 3| = x.

____________________________

Воспользуемся методом решений № 3. Получим систему:

Ответ: x = 1 или x = .

 

Решить уравнение |x + 3| = x2 + x — 6.

_______________________________

Увидев задание можно тут же браться решать его методом № 3. Однако в этом случае нужно будет расскладывать правую часть уранения на корни. Давайте лучше воспользуемся методом № 1 и раскроем модуль:

Ответ: x = 3 или x = -3.

Решить неравенство |x2 — 4| < 3x.

____________________________

Воспользуемся методом решения № 4 и запишем данное неравенство так:

Ответ: x.

Решить неравенство |x2 + 3x| ≥ 2 + x2.

________________________________

Применяем метод № 5, получаем совокупность:

Ответ: x.

Решить неравенство |x2 + x — 2| > |x + 2|.

__________________________________

Для решения — возведем обе части неравенства в квадрат, согласно методу № 6:

(x2 + x — 2)2 > (x + 2)2;

(x — 1)2(x + 2)2 > (x + 2)2

Укажем, что x = -2 не является корнем и сократим на (x + 2)2:

Ответ: x.

Решить неравенство  .

_____________________________________________

Не стоит пугаться вида данной задачи. Давайте просто расскроем модули:

Ответ: x.

Найти остаток от деления 520 на 24.

______________________________

Используем свойства сравнений и получаем:

25 1 (mod 24);

52 1 (mod 24);

(52)10 110 (mod 24);

520 1 (mod 24).

Ответ: Остаток равен 1.

Доказать, что при любом n N число 37n+2 + 16n+1 + 23n делится на 7.

___________________________________________________________

1) Так как 37 2 (mod 7), то 37n+2 2n · 4 (mod 7);

2) Так как 16 2 (mod 7), то 16n+1 2n · 2 (mod 7);

3) Так как 23 2 (mod 7), то 23n 2n (mod 7);

Согласно свойствам сравнения суммируем следствия трех предыдущих выражений и получаем:

37n+2 + 16n+1 + 23n 2n · 4 + 2n · 2 + 2n (mod 7);

Выносим в правой части сравнения 2n за скобки:

37n+2 + 16n+1 + 23n 7 · 2n (mod 7);

А так как правая часть сравнения и модуль делятся на 7, то и левая часть сравнения делится на 7.

Что и требовалось доказать. 

Доказать, что (4n + 15n — 1) делится на 9, если n N

___________________________________________

Докажем, что (4n + 15n — 1) (1) делится на 9 с помощью метода математической индукции.

База индукции:

При n = 1, 4n + 15n — 1 = 4 + 15 — 1 = 18, которое делится на 9. Проверено.

Переход:

Пусть (1) выполняется при n = k. Докажем, что оно выполняется при n = k + 1:

4k +1 + 15(k + 1) — 1 = 4 · 4k + 15k — 14 = 4k + 15k — 1 + 3 · 4k + 15.

Согласно условию перехода 4k + 15k — 1 делится на 9, осталось показать, что 3 · 4k + 15 делится на 9. Заметим, что 3 · 4k + 15 = 3(4k + 5) (2). К тому же

4 1 (mod 3);

4k 1 (mod 3);

4k + 5 6 (mod 3), что означает, что 4k + 5 делится на 3, а (2) на 9.

Переход доказан, значит (4n + 15n — 1) делится на 9.

Что и требовалось доказать.

Доказать, что произведение k последовательных целых чисел делится на k!

________________________________________________________________

Запишем (n + 1)(n + 2)…(n + k) / k! = 1 · 2 · … · n · (n + 1)(n + 2)…(n + k) / [k! · n!] =

= (n + k)! / [k! · n!] = (n + k)! / [k! · (n + kk)!]. А это ни что иное, как Ckn + k, которое является целым числом.

Решить неравенство (x + 4)(3 — x)(x — 2)2 < 0.

__________________________________

Согласно методу интервалов, описанному в методах решения, изобразим точки -4, 2, 3 на координатной прямой. У нас появится четыре промежутка, на каждом из функция f(x) = (x + 4)(3 — x)(x — 2)2 сохраняет знак. «Методом пробной точки» исследуем знак f на полученых промежутках. Отметим, что точки -4, 2, 3 не входят ответ, т.к. неравенство строгое.

Получаем ответ — x < -4, x > 3.

Ответ: x ∈ (-∞; -4) ∪ (3; +∞;).

 

Решить неравенство (x — 1)(x — 5) < 0.

_____________________________________

Используем метод интервалов и изображаем на координатной прямой точки 1, 5. Находим значение выражения на полученных трех интервалах методом пробной точки. Например, это точки 0, 2, 6. Значение выражения в этих точках будет значением выражения на всем интервале. Отметим, что неравенство строгое, а потому точки 1, 5 не будут входить в решение (они на картинке отмечены окружностями).



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | ... | Вперед → | Последняя | Весь текст




sitemap
sitemap