Вопросы к экзамену ЛА



Вопросы к экзамену ЛА

Тема 1. Линейные пространства

1.1. Арифметические векторы и линейные операции над ними.

Векторное пространство Rn . Геометрический смысл пространств R2 и R3 .

Линейные пространства общего вида.

1.2. Линейная зависимость системы векторов и ее геометрический

смысл. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора

в данном базисе. Преобразование координат векторов при замене базиса.

Подпространства линейного пространства.

1.3. Скалярное произведение векторов в Rn. Евклидово простран-

ство. Длины векторов и угол между векторами в Rn . Ортогональный и

ортонормированный базисы в Rn . Координаты вектора в ортогональном

базисе.

Тема 2. Матрицы и определители

2.1. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Ранг

матрицы.

2.2. Умножение матриц. Обратная матрица. Нахождение обратной

матрицы с помощью элементарных преобразований. Решение матричных

уравнений вида AX = B .

2.3. Определители и их свойства. Непосредственное вычисление

определителейвторогоитретьегопорядка.Формуларазложения

определителя по строкам и столбцам.

Тема 3. Системы линейных уравнений

3.1. Система линейных алгебраических уравнений, ее матричная

запись. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом

7

Гаусса.Пространстворешенийоднороднойсистемы,связьего

размерностисрангомматрицы.ТеоремаКронекера-Капелли.

Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между

общими решениями однородной и неоднородной систем.

3.2. Применение определителей: 1) критерий невырожденности

квадратной матрицы; 2) нахождение ранга матрицы; 3) критерий

существования ненулевыхрешений однородной системы линейных

алгебраических уравнений с n неизвестными, состоящей из n уравнений;

4) нахождение обратной матрицы.

Тема 4. Комплексные числа и многочлены

4.1 Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая

интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного

числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных

чисел.

4.2 Корни n-ой степени из комплексного числа. Формулировка

основной теоремы алгебры.

Тема 5. Линейные преобразования. Квадратичные формы

5.1. Линейные преобразования пространства Rn . Матрица линейного



оператора. Собственные значения и собственные векторы линейных

операторов. Собственные значения квадратных матриц.

5.2.Квадратичныеформы,ихматрицывзаданномбазисе.

Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа.

Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра

знакоопределенности квадратичной формы.

Тема 6. Элементы аналитической геометрии

6.1. Прямая и гиперплоскость в n-мерном пространстве. Угол между

гиперплоскостями. Расстояние от точки до гиперплоскости. Прямая на

8

плоскостиивпространстве.Прямая,отрезок,лучвn-мерном

пространстве. Плоскость в трехмерном пространстве.

6.2. Классификация кривых второго порядка. Эллипс, гипербола и

парабола, их свойства и канонические уравнения. Приведение общего

уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

6.3. Выпуклые множества в пространстве Rn.Полупространства,

выпуклые многогранные области. Системы линейных неравенств и их

геометрический смысл. Угловые точки выпуклых многогранных областей.

Выпуклая оболочка системы точек в Rn .

Тема 7. Неотрицательные матрицы и модель Леонтьева

7.1. Собственные значения и собственные векторы неотрицательных

матриц. Теорема Фробениуса-Перрона. Число и вектор Фробениуса, их

свойства. Продуктивность неотрицательных матриц.

7.2. Модель многоотраслевой экономики Леонтьева. Продуктивные

моделиЛеонтьева.Различныекритериипродуктивностимодели

Леонтьева.

Тема 8. Линейное программирование

8.1 Примеры экономико-математических моделей, приводящих к

задачам линейного программирования. Стандартная и каноническая

формы записи задач линейного программирования.

8.2 Геометрическая интерпретация задачи линейного програм-

мирования в случае двух переменных. Графический метод решения.

8.3 Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

Алгоритм симплекс-метода. Нахождение исходного допустимого базиса.

8.4Понятиеовзаимно-двойственныхзадачахлинейного

программирования. Основные теоремы двойственности. Двойственность в

экономико-математических моделях.








sitemap
sitemap