7 Моделирование (требования + задания)



Лабораторные работы 14-18

Вычислительный эксперимент и подготовка научной публикации

Введение

Подготовка и оформление научной статьи требует от автора выполнения ряда последовательных действий:

Поиска и изучения литературы по данному вопросу,

Чёткой, желательно в математической форме, формулировки решаемой задачи,

Получения и анализа результатов,

Представления этих результатов в удобной форме.

В настоящее время на каждом этапе используется компьютер. Навыки решения исследовательских задач, работы с программным обеспечением, являются одними из основных умений, необходимых грамотному специалисту в современных условиях.

Целью данной работы является описание способов использования различного программного обеспечения при выполнении последовательных этапов написания научной статьи, курсовой или дипломной работы.

Программа практических занятий по курсу «Вычислительная физика»

Целью данного курса является формирование навыков подготовки и оформления научной работы (статьи, дипломной работы) в области физики, поиск информации, ее классификация и рациональное размещение на компьютере.

Этапы работы:



Написание пояснительной записки (введения) по данному вопросу с изложением теории изучаемого явления и постановки задачи.

Расчет физических величин в соответствии с изложенной теорией, изучение факторов, влияющих на характер данного явления.

Оформление зависимостей физических величин в виде графиков.

Обсуждение полученных результатов, формирование выводов.

Подготовка доклада по данной теме и презентации к нему.

В соответствии с изложенными этапами подготовки научной работы, в рамках данного курса каждый студент получает индивидуальное задание по изучению конкретного физического явления, выполняет и защищает следующие этапы работы:

Поиск и размещение информации.

На этом этапе студент должен освоить основы работы с операционной системой Windows и научиться скачивать информацию из сети Интернет.

Навыки работы с операционной системой:

Работу в многозадачном режиме: открытие, свертывание, оптимизация размещения и размера окон, закрытие окна, использование диспетчера задач для аварийного завершения программы, особенности работы с DOS-программами;

Создание папок

Работа с проводником: копирование и перенос файлов:

Открытие файлов с помощью соответствующих специализированных программ.

Навыки поиска информации в сети:

Работа с браузером: набор адреса, обнаружение ссылок в тексте, открытие ссылки в новом окне, переход к предыдущему окну, изменение размера шрифта, кодировки, сохранение страниц на диске компьютера в своей папке.

Поиск информации на сайте факультета phys.kemsu.ru, скачивание файлов.

Поиск информации с помощью поисковых машин.

Студент должен уметь: Создать свою папку в каталоге Мои документы/1 курс/, иметь навыки работы с браузером, ориентироваться на сайте physic.kemsu.ru, производить поиск информации с помощью поисковых машин, уметь сохранять открытые страницы c рисунками и без рисунков. По окончании этапа студент должен собрать нужную для написания пояснительной записки информацию в папке Мои документы/1 курс/Фамилия_студента и составить список литературы по теме задачи.

Преподаватель оценивает: навыки работы с ОС и браузером, объем и полноту подобранной информации (не менее 5 источников: книги, html-документы с рисунками), правильность оформления списка литературы.

Отчетные документы:

Папка Мои документы/1 курс/Фамилия_студента, в которую затем помещаются все отчетные документы.

Папка Мои документы/1 курс/Фамилия_студента/ Литература с найденными источниками информации (не менее 5 штук).

Файл «Курсовая работа_ Фамилия_студента.odt» с титульным листом, введением, содержащим текст задачи и оформленным в соответствии с требованиями списком литературы.

Подготовка пояснительной записки, излагающей теорию изучаемого явления.

В Пояснительной записке в литературной форме должны быть изложены (в логическом порядке) физические законы и их следствия, описывающие данное явление со ссылками на литературу в тексте, формулы, необходимые для выполнения индивидуального задания (в том числе, система ОДУ, описывающая данное физическое явление и схема метода Эйлера для ее решения).

Пояснительная записка должна быть набрана в текстовом редакторе (в том числе и формулы). Текст должен быть разбит на абзацы, заголовки выделены (применить стили заголовков). В текст нужно вставить поясняющие рисунки. Рисунки, таблицы должны быть пронумерованы и подписаны, в тексте в квадратных скобках проставлены ссылки на список литературы. В работе должны быть титульный лист и оглавление, оформленные по образцу.

Студент должен уметь: Работать с текстовым редактором, записывать файл, считывать текст из файла, набирать формулы, организовывать набор текста различными шрифтами, выравнивать абзац по краю, вставлять в текст рисунки, работать со стилями, автоматически формировать оглавление.

Преподаватель оценивает: логичность, объем и правильность изложения, соответствие текста пояснительной записки поставленной задаче, стиль ее оформления.

Отчетные документы:

Файл «Курсовая работа Фамилия_студента.odt» с титульным листом, текстом задачи, литературным обзором, списком литературы, оформленными в соответствии с требованиями.

Оформление зависимостей физических величин в виде графиков.

В соответствии с теорией, студент записывает систему дифференциальных уравнений (ОДУ), соответствующую его задаче, схему Эйлера для численного решения этой системы. Представляет решение задачи в редакторе электронных таблиц OO Calc для расчета искомых физических величин в зависимости от различных параметров. Результаты проведенных расчетов должны продемонстрировать ответы на вопросы поставленной задачи. Результаты расчетов с различными параметрами в виде таблиц выводятся в файл на флеш-накопителе или жестком диске.

Студент должен уметь: Записывать систему ОДУ, соответствующую его задаче, схему Эйлера для численного решения этой системы. На основе образца, представить решение задачи:

Организовать ввод начальных условий задачи;

Сформировать таблицу значений независимого параметра и искомой величины;

Построить диаграммы искомых зависимостей;

Ответить на поставленные в задаче вопросы.



Преподаватель оценивает: Правильность составления ОДУ, схемы Эйлера, соответствие расчетной схемы записанным ОДУ, соответствие проведенных расчетов постановке задачи и пояснительной записке.

Отчетные документы:

Набранный текст в редакторе Writer с соответствующей решению поставленной задачи схемой Эйлера (в редакторе формул).

Построение графиков с помощью табличного процессора.

Все графики должны быть оформлены в одном стиле:

Подписаны оси с указанием наименования и размерности физической величины,

Сделана разметка осей,

Подписан график в целом.

Графики должны отражать зависимость изучаемых величин от различных факторов, согласно теории, изложенной в пояснительной записке.

Студент должен уметь: с помощью средств табличного процессора строить графики (в том числе несколько в одной системе координат), выбирать масштаб осей, оформлять графики и оси.

Преподаватель оценивает: Навыки работы с табличным процессором: считывать данные из файла, строить диаграммы (графики). Соответствие построенных графиков теории, изложенной в пояснительной записке, оформление графиков.

Отчетные документы:

Файлы, созданные табличным процессором, содержащие расчетные данные и диаграммы (графики), построенные на их основе.

Оформление работы.

На данном этапе студент должен завершить написание научной работы, включив в нее описание результатов, их обсуждение и выводы. При разработке и отборе материала, нужно ориентироваться на текст задачи, поставленные там вопросы. Изложение материала в работе должно быть последовательным, из него должны логически следовать выводы. Также необходимо сравнить результаты моделирования с изложенной в начале работы теорией, ответить на все вопросы, поставленные в задании, написать введение и заключение.

Студент должен оформить работу по следующему плану:

Титульный лист (см. образец)

Содержание работы (оглавление с указанием наименования параграфов и номера страниц)

Литературный обзор по решаемой задаче.

Описание и обсуждение результатов компьютерного моделирования (решения системы ОДУ), сравнение полученных результатов с теорией.

Список используемой литературы.

Преподаватель оценивает: Правильность оформления работы, логику и полноту содержания.

Отчетные документы:

Файл «Фамилия_студента.odt», оформленный в соответствии с требованиями.

Создание презентации к устному докладу

На данном этапе студент должен освоить работу с программой создания презентаций: Создание простых слайдов, работу с разметкой слайда, создание фона слайда, форматирование текста, создание автофигур, размещение изображений на слайде, настройку анимации объектов слайда, редактирование презентации в целом (работу с различными режимами программы). Затем, используя полученные навыки, студент готовит презентацию доклада по индивидуальной задаче (см. образец).

Преподаватель оценивает: Оформления презентации, ее соответствие содержанию работы.

Отчетные документы:

Файл «Фамилия_студента.odp», содержащий презентацию к докладу по решенной задаче.

Работа с базой данных.

На данном этапе студент должен освоить работу с базами данных: создание новой базы и таблиц с помощью мастера, создание первичного ключа, поиск информации в базе, формирование запроса на поиск конкретной информации. Студент должен найти в общей базе данных информацию по литературе к его задаче.

Преподаватель оценивает: Навыки работы с базой данных, соответствие найденной информации заданию.

Порядок выполнения работы

Получите задачу у преподавателя.

Прочитайте внимательно условие. Прежде чем приступить к выполнению задания, необходимо найти ответы на вопросы по следующему плану:

В каком разделе физики изучается явление (закон);

Какое физическое явление или закон лежат в основе данной задачи;

История изучения (открытия) этого явления или закона:

Кем и когда открыт (изучен);

Какие наблюдения (факты, опыты) легли в основу открытия;

Какие предположения были выдвинуты первоначально.

Запишите современную формулировку явления (закона), основные уравнения, описывающие явление (закон).

Используйте поисковые системы Интернета для ответов на поставленные вопросы.

Поиск с помощью подборок ссылок.

Обычно на сайте (странице), посвященном какой-либо теме, существуют подборки ссылок по данной теме. Однако есть специализированные страницы, на которых выставляются ссылки по различным темам. Ссылки по физике можно найти на страницах:

http://www.curator.ru/physics/

http://www.fio.vrn.ru/2005/7/!Physics/2/c.htm

http://www.tula.net/tgpu/resources/Physics_internet/demo.htm

http://edu.tomsk.ru/teacher_help/phis_sites.htm

http://www.benran.ru/E_n/PHISINT.HTM

Литературный обзор

Напишите литературный обзор по предложенному выше плану с учетом требований к оформлению большого документа.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Краткая теория

Постановка задачи

Обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) называются уравнения вида F(x, y, y’, y”, … y(n)) = 0

Где — производная n-того порядка. Порядком ОДУ называется номер старшей производной, входящей в это уравнение.

Общим решением этих уравнений является семейство функций

у = y(x, C1, C2,…).

Константы C1, C2, … определяются из дополнительных условий, налагаемых на функцию y(x) и ее производные. Число дополнительных условий равно порядку ОДУ. Вычисляя из дополнительных данных значения С1, С2, С3, , Сn из общего решения получим частное решение.

Если все дополнительные условия заданы в одной точке х, то они называются начальными, а совокупность ОДУ с начальными условиями – задачей Коши.

у(x0) = у0

у’(x0) = z1

y(n-1)(x0) = zn-1

Если дополнительные условия заданы в разных точках х, то они называются граничными, а совокупность ОДУ с граничными условиями – краевой задачей. Например, дополнительные условия могут представлять собой значения искомой функции в разных точках:

y(x0) = y0

y(x1) = y 1

y(xn-1) = yn-1,

Дополнительные условия могут содержать и значения производных в некоторых точках.

Для численного решения ОДУ разработано много так называемых разностных схем. В них ОДУ заменяется алгебраическими уравнениями для функции y(x, C1, C2, …) в некоторых точках хi. Обычно, для применения этих схем необходимо ОДУ разрешить относительно старшей производной. Для ОДУ первого порядка F(x, y, y’) = 0, перейдем к виду y’ = F(x, y).

Например,

y’ + 3y = 0 с начальным условием y(0) = 4

переписывается в виде

y’ = – 3y.

Для ОДУ второго порядка F(x, y, y’, y”) = 0 – к виду y” = F(x, y, y’).

Например:

y” + y’ + y – 2x = 0

с начальными условиями y(0) = 1; y’(0) = 3 переписывается в виде

y” = – y’ – y + 2x

и с помощью замены переменной z = y’ представляется в виде системы двух ОДУ первого порядка:

Для численного решения область непрерывного изменения аргумента х заменяют дискретным множеством точек, то есть вводят сетку. Независимая переменная берется в определенных точках (узлах) х0, х1, х2, …, хm, находящихся на расстоянии h друг от друга. Искомая функция ищется только в этих узлах, получают значения у0, у1, у2, …, уm. Она называется сеточной функцией.

Затем производные приближенно записывают через х0, х1, х2, …, хm, у0, у1, у2, …, уm и подставляют в исходное уравнение. В результате получаются уравнения для определения значений функции, в общем случае нелинейные. Такие методы счёта называются разностными схемами. При этом дифференциальные уравнения сводятся к алгебраическим, которые называются разностными уравнениями.

Схема называется устойчивой, если при малом изменении начальных (граничных) условий решение так же меняется мало.

Схема называется корректной, если решение существует и единственно при любых начальных (граничных) условия.

Схема явная, если для нахождения уi требуется знать значения функции в предыдущих точках. В противном случае, схема является неявной.

Некоторые численные методы решения ОДУ.

Метод Эйлера.

Запишем для искомой функции ряд Тейлора, сохраняя в разложении первую производную:

у(хi+h) = у(хi) + у’(хi) * h+… далее ряд обрываем.

Обозначим: хi+1 = хi + h, тогда

у(хi+h) = у(хi+1) = уi+1

у(хi) = уi

По условию

у’(хi) = f(хi, уi)

Тогда:

уi+1 = уi + h * f(хi, уi)(4)

хi+1 = хi + h, i = 0,1, 2, 3, …

Причем, у0 = у(х0) известно из начального условия.

Получается рекуррентная формула для нахождения сеточной функции по методу Эйлера или разностная схема метода Эйлера.

Геометрическая интерпретация метода Эйлера очень проста. На рисунках красная линия представляет собой функцию – частное решение ОДУ. Приближенное решение в точке хi+1 находится с помощью касательной, построенной в точке хi, тангенс угла наклона которой равен производной – правой части ОДУ. Приближенное решение уi+1 находится из треугольника, показанного на левом рисунке, при этом возникает ошибка. Рисунок справа демонстрирует, почему метод Эйлера называют «методом ломаных» и нарастание ошибки в процессе применения этой схемы. Ошибка пропорциональна шагу h2 и уменьшается при уменьшении шага.

4. Моделирование физических явлений с помощью программы Calc.

1. Описание движения в поле тяжести с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений

Физические явления, рассматриваемые в данном курсе, обычно описываются одним или несколькими обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ).

Необходимо проанализировав условие задачи, записать систему ОДУ и дополнительные условия в соответствии с порядком уравнения и разрешить уравнения относительно старшей производной.

Рассмотрим движение тела, брошенного с начальной горизонтальной скоростью V0. Если не учитывать сопротивления воздуха, на такое тело действует только сила тяжести Fт=mg (см. рисунок). Уравнение движения тела получается из рассмотрения второго закона Ньютона:

или (1)

Выберем систему координат, начало отсчета которой, связано с землей, ось у направлена вверх. Тогда из (1) в проекциях на оси координат имеем:

и . (2)

Начальные условия: при t = 0:

Для понижения порядка ОДУ вводим новые переменные и переходим к системе ОДУ первого порядка:

(3)

Для решения задачи с использованием электронных таблиц воспользуемся определением производной через приращение функции:

Выразим искомые величины через бесконечно малое приращение времени dt.

Запишем схему Эйлера, которая позволяет решать систему ОДУ численно,:

(4)

Где — шаг по времени. Значение индекса i определяет предыдущее значение функции, а i+1 последующее. Так как проекция ускорения на ось х равна нулю и скорость Vx не меняется, третье уравнение в системе (4) можно опустить. Учитывая начальные условия, получим

(5)

Таким образом, подставляя в схему Эйлера (4) начальные условия (5), можно получить значение координат и скоростей в момент времени t, а с их помощью – значения переменных в следующий момент времени и т.д.

Для учета сопротивления воздуха, во второй закон Ньютона (1) нужно включить еще одну силу

(6).

Тогда,

(7).

Этот случай описывается следующей системой ОДУ первого порядка:

(8)

Эта же система уравнений будет описывать и случай вертикального движения тела (только Vx = V0=0 и два первых уравнения в системе (8) можно не рассматривать), и случай движения тела с начальной скоростью, направленной под углом к горизонту.

Пример 1: Моделирование движения тела в поле тяжести

Задача: Тело брошено горизонтально со скоростью 2 м/с с высоты H = 50 м. Построить траекторию движения тела (зависимость Y от Х). На каком расстоянии от точки бросания тело упадет на землю?

Рассмотренная ниже последовательность действий показывает, как можно использовать редактор электронных таблиц для расчета значений функций в соответствии с уравнениями схемы Эйлера (4), и построить траекторию движения тела.

Последовательность действий:

Запустить табличный редактор Open Office.Org. Calc.

В ячейках А1-Е1 подписываем заголовки столбцов таблицы t, ;

В столбце А рассчитываем время. В ячейке А2 вводим 0 — начальное значение времени, а в ячейке А3 записываем формулу = А2 + 0,1, где 0,1 значение dt – шага времени.

Заполняем значения времени. Щелкаем на ячейке А3. Перемещаем курсор в правый нижний угол ячейки А3, пока курсор на превратится в знак «+», зажимаем левую кнопку мыши и протягиваем вниз, примерно до ячейки А37.

В столбце В рассчитываем координату х. В ячейки В2-Е2 записываем начальные условия (5), а в ячейку F2 значение шага по времени, в нашем примере 0,1. В ячейке G1 значение ускорения свободного падения g = 9,8.

В ячейке В3 набираем формулу = B2 + $F$2 * D2, где $F$2 – ссылка на ячейку F2, значение в которой не должно изменяться.

В столбце С рассчитываем координату у. В ячейке С3 аналогично записываем формулу: = C2 + $F$2 * E2

В столбце D рассчитываем горизонтальную составляющую скорости Vx. В ячейке D3 = D2 + $F$2 * 0

В столбце E рассчитываем вертикальную составляющую скорости Vy. В ячейке Е3 записываем формулу: = E2 — $F$2 * $G$2

Используя маркер автозаполнения «+», растягиваем значения ячеек В-Е последовательно до 37 строки включительно. Получаем таблицу значений.

При заполнении таблицы значений необходимо обратить внимание на значение координаты Y, которая не может быть < 0 (мы принимаем поверхность земли за нулевой уровень).

Для построения траектории движения тела необходимо выделить диапазон ячеек B2:С34. На панели задач выбрать пиктограмму диаграмма. В открывшемся окне мастера диаграмм, выбрать тип диаграммы <Диаграмма XY> и вид <линии и точки>. Нажимая последовательно кнопку <Далее>, подписываем название диаграммы и осей. Нажав кнопку готово, получаем траекторию движения тела, как показано на рис.

Из полученной зависимости мы делаем вывод, что тело упадет на землю на расстоянии приблизительно 6,5 м от точки бросания (координата Y =0).

Пример 2: Движение в поле тяготения

Движение тела массой m1 в поле тяготения массивного тела М происходит под действием гравитационной силы:

(9)

Где — радиус-вектор между взаимодействующими телами (направлен к m1), -гравитационная постоянная. Будем считать, что M >> m1. Тело массой М в таком случае является неподвижным центром тяготения. Тогда уравнение движения тела массой m1:

(10)



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap
sitemap