Золотое сечение_6756



Министерство образования Ставропольского края

Отдел образования Новоалександровского муниципального района

муниципальное общеобразовательное учреждение

лицей «Экос»

Физико-математические чтения:

» Золотое сечение»

Работа ученицы 8б класса

Пшеничной Кристины

Руководитель: учитель

математики А.И.Косова

г. Новоалександровск

Содержание.

Введение.

Удивительные числа.

Начала понятия. Предыстория.

Основная часть.

История понятия.

«Золотое сечение» или «Гармоническая пропорция».

Романтический ореол золотого сечения.

Ряд Фибоначчи.

«Золотое сечение» и окружающий мир.

«Золотое сечение» в архитектуре.

Золотая пропорция в искусстве.

Заключение.

Используемые ресурсы.

1.Введение.

Знакомясь с удивительным действием математики, пропорцией, автора еще в 6 классе поразило свойство пропорции, что «произведение крайних членов равно всегда произведению средних членов». Поэтому, листая «Математическую энциклопедию» (М. 1995 «Просвещение»), которая рассказывает о пропорциях и их видах, понятие «золотая пропорция» было неожиданным и давало возможность исследования на будущее.

Предмет исследования в данной работе — математическое сочинение, в котором представлено исследование истории понятия «золотое сечение» и его применение в различных областях жизнедеятельности.

Объектом исследования избраны исторические сведения, в которых идёт упоминание этого понятия, и сферы деятельности человека, где оно применяется.

Цель — доказать практическую значимость понятия «золотое сечение» как в истории человечества, так и в современной действительности.

Актуальность исследования определяется темой изучаемой в курсе геометрии 9 класса «Правильные многоугольники» и необходимостью дополнительных знаний по этой теме.

Новизна заключена в фактах, которые показывают практическую значимость школьных знаний в составлении математической модели мира.

Удивительные числа.

В истории материальной и духовной культуры известен ряд чисел, которые занимают особое место, так как выражают определенные отношения, носящие универсальный характер и проявляющийся в самых неожиданных явлениях и процессах физического и биологического мира. К ним относится число π – отношение длины окружности к ее диаметру и число е.

Эти числа участвуют в решении огромного числа прикладных задач, возникающих в самых разнообразных отраслях науки.

Однако имеется еще одно иррациональное число, о котором в настоящее время знает лишь ограниченный круг специалистов в различных областях деятельности (архитекторы, скульпторы, художники, музыканты, математики, ботаники). Речь идет о знаменитой «золотой пропорции» или «золотом сечении».

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами: теоремой Пифагора и «Золотым сечением». О теореме Пифагора слышал каждый школьник, а о «Золотом сечении» — далеко не все. Эта работа посвящена рассказу о том, что такое золотое сечение и где оно встречается.

Начала понятия. Предыстория.

Древнейшим литературным памятником, в котором встречается «Золотое сечение», являются «Начала» Евклида (3 в. до н. э.). Известно, что о золотом сечении знали Пифагор и его ученики (6 в. до н. э.). Как следствие многочисленных применений золотого сечения как в геометрии, так и в искусстве в эпоху Возрождения появилась книга «Божественная пропорция», а сам термин был введен Леонардо да Винчи в 15 веке. Пропорция золотого сечения лежит в основе многих творений Фидия, Тициана, Рафаэля, Леонардо да Винчи и других.На данной работе автор попытался собрать основные известные факты и задачи, связанные с «Золотым сечением».

Основная часть.

История понятия.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик(6 век до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношением золотого деления при их создании. Французский архитектор Лэ Корбюзье нашел, что в рельефе изображающим фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Платон(427…347гг. до, н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности вопросам золотого деления.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому сечению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Великий Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии о «золотом сечении», но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли «Божественная пропорция», и Леонардо оставил свою затею.

Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественная суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевается, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, большой отрезок – бога отца, а весь отрезок духа святого).

Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Именно Пачоли считают творцом начертательной геометрии.

Именно тогда золотое сечение получило название — «Гармоническая пропорция».

«Золотое сечение» или «Гармоническая пропорция».

В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = c : d. Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

— на две неравные части, так чтобы – АВ : АС = АС : ВС;

— на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют).

Таким образом, пропорция АВ : АС = АС : ВС и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как самая большая часть относится к меньшей, или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему отрезку. (a: b= b: c или c : b= b : c.)

Проведем построение точки, делящей отрезок в отношении золотого сечения.

Пусть AB=1. Восстановим из точки A перпендикуляр и возьмем точку Е, для которой АЕ=1/2АВ. Проведем дугу через А до пересечения с ЕВ получим точку D, причем ВD==. Проведя через точку D дугу с центром в точке B, мы находим искомую точку X. Точку внешнего деления Y можно найти из условия AY=BX.

Отрезки золотой пропорции выражаются иррациональной бесконечной дробью АВ = 0,618…, если УВ принять за единицу, УА = 0, 382… . Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38.Если отрезок УВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения можно описать алгебраическим уравнением Х2 – Х – 1 = 10.

Решение этого уравнения: X1,2= .

Рассмотрим правильный пятиугольник. Его диагонали образуют правильный звездчатый пятиугольник (пентаграмму). Все диагонали такого пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией. Пентаграмма — мистический знак на протяжении веков.

Каждый конец пентаграммы представляет собой треугольник золотого сечения или золотой треугольник. Его стороны образуют угол при вершине 360 (или 1080), а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения (см. рис.).

Романтический ореол золотого сечения.

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения, стоит вспомнить монаха Пачоли и его «Божественную пропорцию».

Великий астроном 16 века Иоганн Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их развитие). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей самой себя «Устроена она так, — писал он, — что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности» (1)

Это подтверждает Ряд Фибоначчи.

Ряд Фибоначчи.

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского

математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами.

(1) « Астрономический справочник» М; « Галактика», 1982, с.306.

В 1202 году вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, и т. д.

Ряд чисел. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13; 8+13=21; 13+21=34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21:34=0,617, а 34:55=0,618. Это обозначение символом Ф. Только это отношение дает – 0,618: 0,382 – дает непрерывное деление отрезка увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему как, больший ко всему.

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли. Один из его знаменитых вопросов звучит так «С помощью какого, наименьшего количества гирь можно взвесить товар?» Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь:

1,2,4,8,16…

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследования золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения.

«Золотое сечение» и окружающий мир.

Все, что приобретало какую-то форму, образовалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль вычерчена по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось что в расположении листьев на ветке (филлотаксис), семян подсолнечника, шишках сосны, ананасах, кактусах проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете назвал спираль «кривой жизни».

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение- цикорий. Проведем практическую работу. Приглядимся к нему внимательно. От основания стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий- 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы — симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863-1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии. Что позволяет говорить о золотом сечении в архитектуре.

«Золотое сечение» в архитектуре.

В книгах о «золотом сечении» можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи «Золотое сечение» дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.). На (рисунке 1, см. Приложение) виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф=0,618…

На плане пола Парфенона также можно заметить «золотые прямоугольники». исунок 2)

Золотое соотношение можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари). исунок 3)

Удивительны пропорции пирамиды Хеопса исунок 4), храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона. Они свидетельствуют, что еще египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Что касается пирамид, не только египетские пиpамиды постpоены в соответствии с совеpшенными пpопоpциями золотого сечения; то же самое явление обнаpужено и у мексиканских пиpамид. Hа попеpечном сечении пиpамиды видна фоpма, подобная лестнице. Практическая работа. Проверим ее ступени. В пеpвом яpусе 16 ступеней. Во втоpом 42 ступени. В тpетьем 68 ступеней. Эти числа основаны на соотношении Фибоначчи следующим обpазом:16 x 1.618 = 26 , 16 + 26 = 42 , 26 x 1.618 = 42 , 42 + 26 = 68 . Следовательно, и здесь древние строители применяли знание об удивительном соотношении – золотом сечении.

Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал «золотое сечение». Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрывался в многочисленных осуществленных проектах жилых домов, усадеб. Например, «золотое сечение» можно обнаружить архитектуре здания сената в Кремле. По проекту М. Казакова в Москве построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И Пирогова.

Выдающийся архитектор В. Баженов говорил: «Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность знания… К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспективы, механики или, вообще физики, а всем им общим вождем является рассудок». (2)

(2) « Большая строительная энциклопедия» М; « Интеграл», 1978, с.216.

Золотая пропорция в искусстве.

Золотая пропорция применялась многими античными скульпторами. Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского исунок 5): рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.

Большое внимание изучению пропорций человеческого тела уделял Цейзинг, он первый подметил в них проявление закона золотого сечения, Цейзинг нашел закономерность, согласно которой деление общей высоты человека в отношении золотой пропорции проходят через естественные членения тела. Он формулирует закон пропорциональности следующим образом: «Для того чтобы целое, разделенное на две не равные части, казалось прекрасным с точки зрения формы, меньшей и большей частями должны быть то же самое отношение, что и между большей частью с целым». (3)

Цейзинг так же отмечал, закон пропорциональности проявляется не только в пропорциях тела человека, но так же и в телах красивых (изящных животных) животных.

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина — горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Данное открытие у художников того времени получило название «золотое сечение» картины. Многие художники при выборе размеров картины останавливались на «золотом прямоугольнике». Золотым прямоугольником называют прямоугольник, у которого отношение ширины к высоте равно Ф. Золотой прямоугольник обладает интересным свойством. Если от него отрезать квадрат, то опять получится золотой прямоугольник. И так продолжается до бесконечности. В 1876 году Г. Фехнер произвел несколько «эстетически-статических» опытов с большой группой людей. Среди различных прямоугольников, включая и квадрат, он предлагал выбрать такой, который им больше нравится. Подавляющее большинство участников эксперимента выбрали прямоугольник золотого сечения. Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Посмотрим внимательно на картину «Джоконда»исунок 6). Композиция портрета построена на «золотых треугольниках». О них говорилось выше… И снова «Божественная пропорция»!

Исследуя композиционную структуру картин – шедевров мирового изобразительного искусства, искусствоведы обратили внимание на тот факт, что в пейзажных картинах отношение горизонтальных полос зачастую подчиняется законам золотого сечения. В зависимости от смысловой нагрузки изображаемого пейзажа большую часть картин занимают либо участок неба, земли. Анализ многих не пейзажных картин, проведенный исследователями, также показал, большие мастера широко использовали золотое сечение в выборе композиционного решения.

(3) « Медицинская энциклопедия» М; « Энергия», 1968, т.2, с.21

Заключение.

Математическое сочинение, в котором представлено исследование истории понятия «золотое сечение» и его применение в различных областях жизнедеятельности человека закончено.

Приведенные примеры дают яркое представление о самом понятии «Золотое сечение», о его использовании для нахождения оптимальных показателей различных процессов и явлений физического и биологических миров. Доказывают практическую значимость понятия «золотое сечение» в истории человечества.

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменитые события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния. Оказывается, все великие творения прошлого имели математическую модель в основе своей. Имя этой модели – «Золотое сечение».

Прямоугольник золотого сечения глубоко укоренился в сознании людей. Мы широко применяем его в повседневной жизни, выбирая форматы книг, открыток, буклетов бумаги, других окружающих нас предметов. Это доказывает практическую значимость понятия «золотое сечение» как в истории человечества, так и в современной действительности.

Приложение.

исунок 1)

исунок 2)

исунок 3)

исунок 4)

исунок 5)

исунок 6)

4.Используемые ресурсы.

1. Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979.2. Журнал «Наука и техника»

3. Журнал «Квант», 1973, № 8.4. Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.

5. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989.

6. Стахов А. Коды золотой пропорции.

7.Воробьев Н.Н. «Числа Фибоначчи» — М.: Наука 1964

8. «Математика — Энциклопедия для детей» М.: Аванта +, 1998

10. « Большая строительная энциклопедия» М; « Интеграл», 1978.

11.« Астрономический справочник» М; « Галактика», 1982.

12. Информация из интернета.



sitemap
sitemap