Законы распределения случайных величин



Биномиальный закон распределения

Среди законов распределения для дискретных случайных величин наиболее распространенным являетсябиномиальный закон распределения. Биномиальное распределение имеет место в следующих условиях.Пусть случайная величина  — число появлений некоторого события  в независимыхиспытаниях, вероятность появления  в отдельном испытании равна . Данная случайная величинаявляется дискретной случайной величиной, ее возможные значения . Вероятность того, что случайная величина  примет значение  вычисляется по формуле Бернулли: .

Определение 15. Закон распределения дискретной случайной величины  называется биномиальным закономраспределения, если вероятности значений случайной величины вычисляются по формуле Бернулли.Ряд распределения будет иметь вид:

0

1

Убедимся, что сумма вероятностей различных значений случайной величины равна 1. Действительно,

Так как при данных вычислениях получилась биномиальная формула Ньютона, поэтому закон распределенияназывается биномиальным.Если случайная величина  имеет биномиальное распределение , то ее числовые характеристики находятся по формулам:

 (41)

 (42) (43)

Пример 15.Имеется партия из 50 деталей. Вероятность брака для одной детали . Пусть случайная величина  — число бракованных деталей в данной партии. Найти математическое ожидание, дисперсию исреднее квадратичное отклонение данной случайной величины.Решение. Случайная величина  имеет биномиальное распределение, так как вероятность того, что она примет значение  вычисляется по формуле Бернулли. Тогда ее математическое ожидание находится по формуле (41), а именно, ; дисперсию находим по формуле (42): .Тогда среднее квадратичное отклонение будет равно .Вопрос. Приобретено 200 лотерейных билетов, вероятность выигрыша одного билета равна 0,01. Тогда среднее число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, равно:а) 10;б) 2;в) 20;г) 1.

в)

а)

г)

б)

Закон распределения Пуассона

При решении многих практических задач приходится иметь дело с дискретными случайными величинами,которые подчиняются закону распределения Пуассона. Типичными примерами случайной величины, имеющейраспределение Пуассона, являются: число вызовов на телефонной станции за некоторое время ; числоотказов сложной аппаратуры за время , если известно, что отказы независимы друг от друга и в среднем наединицу времени приходится  отказов.Ряд распределения будет иметь вид:

0

1

То есть вероятность того, что случайная величина  примет значение  вычисляется по формуле Пуассона:поэтому данный закон и называется законом распределения Пуассона.Случайная величина, распределенной по закону Пуассона, имеет следующие числовые характеристики:

 (44) (45)

(46)

Распределение Пуассона зависит от одного параметра , который является математическим ожиданиемслучайной величины. На рисунке 14 показан общий вид многоугольника распределения Пуассона приразличных значениях параметра .

Рис.14

Распределение Пуассона может быть использовано как приближенное в тех случаях, когда точным распределением случайной величины является биномиальное распределение, при этом число испытанийвелико, а вероятность появления события  в отдельном испытании мала, поэтому закон распределения Пуассона называют законом редких событий. А еще, если математическое ожидание мало отличается от дисперсии, то есть когда . В связи с этим распределение Пуассона имеет большое количество различных приложений.Пример 16. Завод отправляет на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделиеповредится, равна 0,002. Найти математическое ожидание числа поврежденных при перевозке деталей.Решение. Случайная величина  имеет распределение Пуассона, поэтому .Вопрос. Вероятность искажения символа при передаче сообщения равна 0,004. Чтобы среднее числоискаженных символов было равно 4, надо передать 100 символов.

верно

неверно

Равномерное распределение

Определение 16.Непрерывная случайная величина  имеет равномерное распределение на отрезке [a;b], если на этом отрезке плотность распределения данной случайной величины постоянна, а вне его равна нулю, то есть

(45)

График плотности для равномерного распределения изображен на рисунке 15:

Рис.15

Так как площадь под кривой распределения должна равняться 1, то  и следовательно,плотность распределения имеет вид:

 (46)

Непрерывная случайная величина  подчиняется закону равномерного распределения, если ее возможныезначения лежат в пределах некоторого определенного интервала, кроме того, в пределах этого интервала всезначения случайной величины одинаково вероятны. Случайные величины, имеющие равномерноераспределение часто встречаются в измерительной практике при округлении отсчетов измерительных приборов до целых делений шкал. Ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления являетсяслучайной величиной , которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значениемежду двумя соседними целыми делениями.Числовые характеристики случайной величины, имеющей равномерное распределение, вычисляются по формулам:

 (47)(48)(49)

Функция распределения вероятностей случайной величины, равномерно распределенной на промежутке  имеет вид: 

(50)

График данной функции представлен на рисунке 16:

Рис.16

Пример 17. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти математическое ожидание случайной величины  — ошибки округления.Решение. Случайная величина  — ошибка округления имеет равномерное распределение на промежутке от 0 до 0,1, ее математическое ожидание вычисляется по формуле (47): .Вопрос. Непрерывная случайная величина  имеет плотность распределения вероятностей

Тогда ее дисперсия равна:

а);б);в);г) .

г)

а)

в)

б)

Нормальное распределение

Среди распределений непрерывных случайных величин центральное место занимает нормальный закон , плотность распределения которого имеет вид:

 (51)

где  — математическое ожидание, а  — среднее квадратичное отклонение данной случайнойвеличины.График плотности распределения нормального закона называют кривой Гаусса, он приведен на рисунке 17:

Рис.17

Отметим некоторые свойства кривой Гаусса.1. Кривая распределения симметрична относительно ординаты, проходящей через точку .2. Кривая имеет один максимум при , равный .3. При  ветви кривой асимптотически приближаются к оси .4. Изменение математического ожидания  при  приводит к смещению кривойраспределения вдоль оси . При этом кривая распределения сохраняет свой вид.При изменении среднего квадратичного отклонения при  кривая распределения изменяет свой вид.На рисунке 18 показана зависимость кривой распределения от среднего квадратичного отклонения.

Рис.18

Функция распределения вероятностей для нормального закона имеет вид:

 (52)

где  — функция Лапласа.Нормальный закон распределения очень широко распространен в задачах практики. Он проявляется во всех тех

случаях, когда случайная величина  является результатом действия большого числа различных факторов.Каждый фактор в отдельности на величину  влияет незначительно и нельзя указать, какой именно в большейстепени, чем остальные. Примерами случайных величин, имеющих нормальное распределение, могут служить:отклонение действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров; ошибки приизмерении; отклонения при стрельбе и другие. Основной особенностью, выделяющей нормальный закон среди других законов, служит то, что он является предельным законом для других законов распределения.Вероятность того, что случайная величина , распределенная по нормальному закону, попадет на промежуток вычисляется по формуле:

 (53)

Вероятность того, что случайная величина  отклонится от своего математического ожидания на величину помодулю меньшую  вычисляется по формуле:

 (54)

Пример18.Ошибка радиодальномера подчинена нормальному закону. Математическое ожидание этой ошибки равно 5 м, а среднее квадратичное отклонение равно 10 м. Найти вероятность того, что измеренное значениедальности будет отклоняться от истинного не более чем на 20 м.Решение. По условию надо найти вероятность попадания случайной величины  — ошибки радиодальномерана промежуток . По формуле (53) находим:.Вопрос. Нормальное распределение характеризуется одним параметром.

неверно

верно

Показательное распределение

В практических приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания, исследованииопераций, в физике, биологии, вопросах надежности и других приложениях, часто имеют дело со случайнымивеличинами, имеющими показательное распределение.Определение 17. Непрерывная случайная величина  распределена по показательному закону, если ееплотность вероятности имеет вид:

 (55)

Кривая распределения изображена на рисунке 19:

Рис.19

Функция распределения задается следующим образом:

 (56)

Ее график показан на рисунке 20:

Рис.20

Числовые характеристики случайной величины, имеющей показательное распределение вычисляются по формулам:

 (57)(58) (59)



Пример 19. Случайная величина  — время работы радиолампы- имеет показательное распределение. Найтивероятность того, что время работы радиолампы будет не меньше 600 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов.Решение. По условию задачи математическое ожидание данной случайной величины равно 400, тогда . Искомая вероятность :.Вопрос. Случайная величина  распределена по показательному закону с параметром . Тогдаее математическое ожидание равно 2,5.

неверно

верно








sitemap
sitemap