Творческая работа Применение формулы Пика



УПРАВЛЕНИЕ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

АДМИНИСТРАЦИИ ЧАЙКОВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

ПЕРМСКОГО КРАЯ

VI МУНИЦИПАЛЬНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТУЧАЩИХСЯ

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«средняя общеобразовательная школа №11»

СЕКЦИЯ: МАТЕМАТИКА

Применение формулы Пика

Автор работы: Старкова Кристина

учащаяся 8 «Б» класса

МАОУ СОШ №11Чайковский

Руководитель:Батуева Л,Н.,

учитель математики МАОУ СОШ№11

г. Чайковский

2012 год

СОДЕРЖАНИЕ.

I. Введение……………………………………………………. 2

II. Формула Пика

2.1.Решетки .Узлы………………………………………… .4

2.2.Триангуляция многоугольника………………………5

2.3. Доказательство теоремы Пика……………………6 

2.4 Исследование площадей многоугольников…………9

2.5. Вывод…………………………………………………..12

III.Геометрические задачи с практическим содержанием…13

IV. Заключение………………………………………………..14

V. Список используемой литературы………………………..16

Введение

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так при изучении темы «Площади многоугольников» встал вопрос есть ли задачи , отличные от задач рассмотренных в учебники геометрии . Это задачи на клетчатой бумаге. У нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Увидев такие задачи в контрольно – измерительных материалах ЕГЭ и ГИА, решила обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

Я приступила к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке. Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

Мы определили:

Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге

Предмет исследования: задач на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Цель исследования: Вывести и проверить формулы вычисления площадей геометрических фигур с помощью формулы Пика

Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:

Подобрать необходимую литературу

Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

Проанализировать и систематизировать полученную информацию

Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге

Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам

многообразие задач на бумаге в клеточку, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении

Гипотеза:. Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии.

При решении задач на клетчатой бумаге нам понадобится геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

II. Формула Пика

2.1.Решетки .Узлы.



Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты; множество всех точек пересечения этих прямых называется точечной решеткой или просто решеткой , а сами точки –узлами решетки.

Теорема пика

Внутренние узлы многоугольника — красные.

Узлы на гранях многоугольника — синие.

Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S – площадь многоугольника, В — число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и Г — число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку .

Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги – в таких, где пересекаются линии сетки.

Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника.

2.2.Триангуляция многоугольника

Любой многоугольник с вершинами в узлах сетки может быть триангулирован – разбит на «простые» треугольники.

Пусть на плоскости задан некоторый многоугольник и некоторое конечное множество К точек, лежащих внутри многоугольника и на его границе (причём все вершины многоугольника принадлежат множеству К).

Триангуляцией с вершинами К называется разбиение данного многоугольника на треугольники с вершинами в множестве К такое, что каждая точка из К служит вершиной каждому из тех треугольников триангуляции, которым эта точка принадлежит (то есть точки из К не попадают внутрь или на стороны треугольников, рис. 1.37).

Формула пика реферат

Рис. 1.37

Теорема 2. а) Любой n-угольник можно разрезать диагоналями на треугольники, причём количество треугольников будет равно n – 2 (это разбиение – триангуляция с вершинами в вершинах n-угольника).

Рассмотрим невырожденный простой целочисленный многоугольник (т.е. он связный — любые две его точки могут быть соединены непрерывной кривой, целиком в нем содержащейся, и все его вершины имеют целые координаты, его граница — связная ломаная без самопересечений, и он имеет ненулевую площадь).

Для вычисления площади такого многоугольника можно воспользоваться следующей теоремой:

2.3. Доказательство теоремы Пика. 

Пусть В — число целочисленных точек внутри многоугольника, Г — количество целочисленных точек на его границе, Формула пика реферат — его площадь. Тогда справедлива формула Пика:

Пример. Для многоугольника на рисунке  (желтые точки), Г=7, (синие точки, не забудем о вершинах!), поэтому Теорема пика квадратных единиц.

Теорема пика

Теорема пика.

Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата. Действительно, в этом случае мы имеем В=0, Г=4 и Формула пика реферат.

2) Формула пика реферат

Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны Теорема пика и Теорема пика. Имеем в этом случае ,В=(а-1)(b-1)  , Г=2a+2b, тогда по формуле Пика, Теорема пика

3) Формула пика реферат

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами Формула пика реферат и Теорема пика, рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат Теорема пика целочисленных точек. Тогда для этого случая Г=+с-1 и получаем, что Теорема пика4)Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (см. рисунки). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.Формула пика рефератФормула пика реферат

Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно разбить на треугольники (например, диагоналями). Поэтому нужно просто доказать, что при добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула Пика остается верной. Пусть многоугольник Теорема пика и треугольник Теорема пика имеют общую сторону. Предположим, что для Теорема пикаформула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного изФормула пика реферат добавлением Формула пика реферат. Так как Теорема пика и Теорема пика имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через Теорема пикаи получим  — число внутренних целочисленных точек нового многоугольника, Г=Г(М)+Г(T)-2(с-2)-2 — число граничных точек нового многоугольника. Из этих равенств получаем :  , Г=Г(М)+Г(T)-2(с-2)-2 . Так как мы предположили, что теорема верна для Формула пика реферат и для Формула пика реферат по отдельности, то S(MT)+S(M)+S(T)=(В(М)+-1)+В(T)+-1)=( В(М)+ В(T))+(=Г(MT)-(c-2)+-2= Г(MT)+ .Тем самым, формула Пика доказана.

2.4 Исследование площадей многоугольников.

1) На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник.Найдите его площадь в квадратных сантиметрах

Рисунок

По формуле геометрии

По формуле Пика

Теорема пика

a=6; h=5.

S=1/265=15

Г=12 ; B=10 . S=10+12/2 -1=15

2) На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен

треугольник.Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рисунок

По формуле геометрии

По формуле Пика

Теорема пика

Sтр.ABD=1/2 ADBD=1/221=1

Sтр.BDC=1/2 DC BD=1/231=1,5

Sтр.ABC=Sтр.BDC-Sтр.ABD=

1,5-1=0,5

Г=3 ;В=0.

S=0+3/2-1=0,5

3)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех- угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рисунок

По формуле геометрии

По формуле Пика

Теорема пика

Sкв.KMNE=77=49

Sтр.AKB=1/2KBAK=1/244=8

Sтр.AKB=Sтр.DCE=8

Sтр.AND= 1/2NDAN=1/233=4,5

Sтр.AND=Sтр.BMC=4,5

Sпр.= Sкв.KMNE- Sтр.AKB- Sтр.DCE- Sтр.AND- Sтр.BMC=49-8-8-4,5-4,5=24

Г=14;В=19.

S=18+14/2-1=24

4)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен

четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах

Рисунок

По формуле геометрии

По формуле Пика

Формула пика реферат

S1=b=1/273,5

S2=b=1/272=7

S3=b=1/241=2

S4=b=1/251=2,5

S5=a²=1²=1

Sкв.= a²=7²=49

S=49-3.5-7-2-2,5-1=32см²

Г=5;В=31.

S=31+-1=32см²

5)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен

четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Формула пика реферат

S=a

S= =36 см2

Г=18, В=28

S=28+-1=36см2

6)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен

четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах

Теорема пика

S1=b=1/233=4,5

S2=b=1/266=18

S3=b=1/233=4,5

S=4,5+18+4,5=27 см²

Г=18;В=28.

S=28+-1=36см²

7)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен

четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах

Теорема пика

S1=b=1/233=4,5

S2=b=1/266=18

S3=b=1/233=4,5

S4=b=1/266=18

Sкв.=9²=81см²

S=81-4,5-18-4,5-18=36см²

Г=18;В=28.

S=28+-1=36см²

8)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен

четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах

Рисунок

По формуле геометрии

По формуле Пика

Теорема пика

S1=b=1/224=4

S2==1/244=8

S3==1/282=8

S4==1/241=2

Sпр.=b=68=48

S5=48-4-8-8-2=24 см²

Г=16;В=17.

S=17+-1=24 см²

Вывод

Сравнив результаты в таблицах и доказав теорему Пика,я пришла к выводу ,что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по выведенной формуле планиметрии

Итак, моя гипотеза оказалась верной

III.Геометрические задачи с практическим содержанием .

Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием.

Формула пика рефератЗадача 9. Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м (рис. 10)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + — 1

Рис. 10 В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

1 см² — 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

Ответ: 420 000 м²

Формула пика рефератЗадача 10. Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м. (рис. 11)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + — 1

В = 7, Г = 4. S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)

Рис. 11 1 см² — 200² м²; S = 40000 · 8 = 320 000 (м²)

Ответ: 320 000 м²

Заключение

В процессе исследования я изучила справочную, научно-популярную литературу , научилась работать в программе Notebook. Узнала , что

задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки с подвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

В результате моей работы я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии.

Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке Рассмотренные н задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Я пришла к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Поэтому наша я решила продолжить работу в этом направлении.



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap
sitemap