Теория функций



1.Функции комплексной переменной. Основные понятия.

2.Предел и непрерывность функции комплексной переменной.

Определение: число w0 называется пределом функции f(z) в точке z0, если для любого эпсилант>0, есть g>0 (0<|z-z0|0|<эпсилант.

Следствие: если записать действительную и мнимую часть неравенства, то будет выглядеть так: lim u(x,y)=u0 и lim v(x,y)=v0 (w0=u0+iv0)/

Замечание: теорема о пределах суммы, разности, произведения и частного для функции действительной переменной справедливы и для функции комплексной переменной.

Определение: пусть функция w=f(z) определена в точке z0 и в некоторой ее окрестности, функция называется непрерывной в точке z0, если предел функции в z0 равен значению функции в z0. Функция w=f(z) непрерывна в каждой точке области D называется непрерывной в области D (областью на комплексной плоскости называют множество точек, которые обладают свойствами открытости и связности).

Св-во открытости – каждая точка принадлежит множеству вместе с каждой ее окрестностью (внутренняя точка).

Св-во связности – множество связное, если любые 2 точки можно соединить линией/кривой, лежащей в этой области.

Граничные точки – это точки, в любой сколь угодно малой окрестности которой находятся как принадлежащие данному множеству точки, так и не принадлежащие.

Внешние точки – точки, некоторые окрестности которых не содержат ни одной точки данного множества.

Св-ва непрерывной функции:

модуль непрерывной функции комплексной переменной обладает теми же св-вами, что и функция действительной переменной; непрерывная функция на ограниченном множестве ограничена

непрерывная функция достигает наибольшего и наименьшего значения в точках множества

непрерывная функция принимает все промежуточные значения между наибольшим и наименьшим значениями

3.Определение, формула и свойства показательной функции комплексной переменной.

Число w называется показательной функцией, если w определяется формулой: w=ez=ex(cosy+isiny)

•если y=0, то w=ex

•выполняются все св-ва действий со степенями: 1) ez1+z2=ez1*ez2; 2) ez1-z2=ez1:ez2; 3) (ez1)n=enz1

•модуль |ez|=ex неравно 0, т.е. ez неравно 0

•lim ez=0 при Re z->-бесконечность и x->-0 и lim ez=бесконечности при Re z->-бесконечность и x->+бесконечность

•замечание: если x=0, а y=fi, то получим ф-ция Эйлера eifi=cosfi+isinfi и мы можем написать в показательной форме компл.числа: w=ez=ex*eifi fi=argz

•показательная функция является периодической с периодом 2пиi:

ez+2пиi=ez*e2пиi=ez(cos2пи+isin2пи)=ez

•значение функции не всегда положительное

4.Определение, формула и свойства логарифмической функции комплексной переменной.

5.Определение, формула и свойства степенной функции комплексной переменной.

6.Определение, формула и свойства тригонометрических функций комплексной переменной.

7.Определение, формула и свойства обратных тригонометрических функций комплексной переменной.

8.Дифференцирование функции комплексной переменной. Условия Эйлера-Даламбера. Правила дифференцирования.

9.Аналитическая функция. Правильные и особые точки. Дифференциал аналитической функции.

Однозначная функция w=f(z) называется аналитической в точке z (галаморфной), если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Функция f(z) называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке области.

В точках плоскости, в которых функция f(z) аналитична, называются правильными точками, в которых не аналитична, называются особыми точкам функции.

Диференциалом аналитической функции в точке z называется главной частью приращения



10.Определение интеграла функции комплексной переменной. Формула вычисления интеграла через криволинейные интегралы.

Понятие интеграла функции комплексной переменной вводится (так же, как и в действительной области) как предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой Правильные и особые точки комплексной переменной.

Правильные и особые точки комплексной переменной

Данная формула определяет криволинейный интеграл от функции комплексной переменной. Если выделить действительную и мнимую части функции Правильные и особые точки комплексной переменной,то интегральную сумму можно записать в виде двух слагаемых, которые будут являться интегральными суммами криволинейных интегралов второго рода от функций двух действительных переменных. Если Правильные и особые точки комплексной переменной предположить непрерывной на Правильные и особые точки комплексной переменной, то Правильные и особые точки комплексной переменной будут также непрерывны на Правильные и особые точки комплексной переменной, и, следовательно, будут существовать пределы соответствующих интегральных сумм. Поэтому, если функция Правильные и особые точки комплексной переменнойнепрерывна на Правильные и особые точки комплексной переменной, то предел в равенстве (2.43) существует, т.е. существует криволинейный интеграл от функции Правильные и особые точки комплексной переменной по кривой Правильные и особые точки комплексной переменной и имеет место формула

Правильные и особые точки комплексной переменной

11.Основные свойства интеграла функции комплексной переменной.

12.Теорема Коши. Следствие к теореме Коши. Случай многосвязной области.

13.Первообразная и неопределенный интеграл функции комплексной переменной. Формула Ньютона-Лейбница.

14.Интеграл Коши. Интегральная формула Коши. Следствия к ней.

Формула называется интегральной формулой Коши или интегралом Коши. Если в качестве контура Правильные и особые точки комплексной переменнойв выбрать окружность Правильные и особые точки комплексной переменной, то, заменяя Правильные и особые точки комплексной переменнойи учитывая, что Правильные и особые точки комплексной переменной— дифференциал длины дуги Правильные и особые точки комплексной переменной, интеграл Коши можно представить в виде формулы среднего значения: Правильные и особые точки комплексной переменной

Следствия

Аналитичность голоморфных функций

В окрестности любой точки Правильные и особые точки комплексной переменной из области, где функция Правильные и особые точки комплексной переменнойголоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда: Правильные и особые точки комплексной переменной

причём его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке Правильные и особые точки комплексной переменной, в котором функция Правильные и особые точки комплексной переменнойголоморфна, а коэффициенты Правильные и особые точки комплексной переменной могут быть вычислены по интегральным формулам:

Правильные и особые точки комплексной переменной.

Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов Правильные и особые точки комплексной переменнойфункций, голоморфных в круге Правильные и особые точки комплексной переменной:Правильные и особые точки комплексной переменной

Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях

Если функция Правильные и особые точки комплексной переменнойголоморфна в области Правильные и особые точки комплексной переменной вида Правильные и особые точки комплексной переменной, то в ней она представима суммой ряда Лорана: Правильные и особые точки комплексной переменной

причём коэффициенты Правильные и особые точки комплексной переменноймогут быть вычислены по интегральным формулам: Правильные и особые точки комплексной переменной

а сам ряд Лорана сходится в Правильные и особые точки комплексной переменнойк функции Правильные и особые точки комплексной переменнойравномерно на каждом компакте из Правильные и особые точки комплексной переменной.

Теоремы о среднем для голоморфных функций

Если функция Правильные и особые точки комплексной переменнойголоморфна в круге Правильные и особые точки комплексной переменной, тогда для каждого Правильные и особые точки комплексной переменной

Правильные и особые точки комплексной переменной

а также если Правильные и особые точки комплексной переменной— круг радиуса Правильные и особые точки комплексной переменнойс центром в Правильные и особые точки комплексной переменной, тогдаПравильные и особые точки комплексной переменной

Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция Правильные и особые точки комплексной переменной голоморфна в области Правильные и особые точки комплексной переменной и внутри Правильные и особые точки комплексной переменной её модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция и есть константа.

15.Числовые ряды в комплексной области. Основные определения. Необходимый признак сходимости.

Основные определения и понятия.

Пусть мы имеем числовую последовательность Правильные и особые точки комплексной переменной, где Правильные и особые точки комплексной переменной.

Приведем пример числовой последовательности: Правильные и особые точки комплексной переменной.

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида Правильные и особые точки комплексной переменной.

В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = -0.5: Правильные и особые точки комплексной переменной.

Правильные и особые точки комплексной переменнойназывают общим членом числового ряда или k–ым членом ряда.

Для предыдущего примера общий член числового ряда имеет вид Правильные и особые точки комплексной переменной.

Частичная сумма числового ряда – это сумма вида Правильные и особые точки комплексной переменной, где n – некоторое натуральное число. Правильные и особые точки комплексной переменнойназывают также n-ой частичной суммой числового ряда.

К примеру, четвертая частичная сумма ряда Правильные и особые точки комплексной переменнойесть Правильные и особые точки комплексной переменной.

Частичные суммы Правильные и особые точки комплексной переменнойобразуют бесконечную последовательность частичных сумм числового ряда.

Для нашего ряда n –ая частичная сумма находится по формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии Правильные и особые точки комплексной переменной, то есть, будем иметь следующую последовательность частичных сумм: Правильные и особые точки комплексной переменной.

Числовой ряд Правильные и особые точки комплексной переменнойназывается сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм Правильные и особые точки комплексной переменной. Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд Правильные и особые точки комплексной переменнойназывается расходящимся.

Необходимый признак сходимостиЕсли ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .Отсюда следует, что если не равен нулю, то ряд расходится.

16.Определения и свойства абсолютно сходящихся рядов в комплексной области.

Ряд Правильные и особые точки комплексной переменнойназывается абсолютно сходящимся, если сходится ряд Правильные и особые точки комплексной переменной, составленный из абсолютных величин его членов. Так же, как и для числовых действительных рядов с произвольными членами, легко доказать, что если сходится ряд Правильные и особые точки комплексной переменной, то обязательно сходится ряд Правильные и особые точки комплексной переменной. (|an| ≤ |zn|, |bn| ≤ |zn|, поэтому ряды, образованные действительной и мнимой частями ряда Правильные и особые точки комплексной переменной, сходятся абсолютно). Если ряд Правильные и особые точки комплексной переменнойсходится, а ряд Правильные и особые точки комплексной переменнойрасходится, то ряд Правильные и особые точки комплексной переменнойназывается условно сходящимся. Ряд Правильные и особые точки комплексной переменной— ряд с неотрицательными членами, поэтому для исследования его сходимости можно применять все известные признаки

17.Степенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля и следствия к ней. Радиус сходимости.

Определение суммы числового ряда и признаки сходимости в комплексном области практически такие же, как в вещественном, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль; исключение составляют признаки сходимости, в которых происходит сравнение на больше-меньше самих элементов ряда, а не их модулей.

Всякая дифференцируемая в точке Правильные и особые точки комплексной переменной функция разлагается в окрестности этой точки в степенной ряд Тейлора:

Правильные и особые точки комплексной переменной

Коэффициенты ряда вычисляются по обычным формулам. Этот ряд сходится к функции Правильные и особые точки комплексной переменной в некотором круге радиуса Правильные и особые точки комплексной переменной с центром в точке Правильные и особые точки комплексной переменной, который служит аналогом интервала сходимости вещественного ряда. В этом круге ряд абсолютно сходится, а вне его расходится. При этом возможны 3 случая.

Ряд сходится в круге конечного и ненулевого радиуса.

Ряд сходится во всей комплексной плоскости, то есть Правильные и особые точки комплексной переменной. Такие функции называются целыми.

Ряд сходится только в точке Правильные и особые точки комплексной переменной. Пример: Правильные и особые точки комплексной переменной. Такие точки Правильные и особые точки комплексной переменной называются особыми для функции Правильные и особые точки комплексной переменной. Неособые точки называются правильными. Внутренность круга сходимости состоит из правильных точек.



Граница круга сходимости содержит хотя бы одну особую точку. Отсюда следует, что радиус круга сходимости в точке Правильные и особые точки комплексной переменной равен расстоянию от Правильные и особые точки комплексной переменной до ближайшей к ней особой точки.

Теорема Абеля: если Правильные и особые точки комплексной переменной — радиус круга сходимости степенного ряда, то в любом круге с тем же центром, но меньшего радиуса, ряд сходится равномерно.

теорема Абеля: Если степенной ряд сходится при некотором Правильные и особые точки комплексной переменной, гдеПравильные и особые точки комплексной переменной-число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что Правильные и особые точки комплексной переменной Наоборот, если ряд расходится при Правильные и особые точки комплексной переменной, то он расходится при всех значениях x таких, что Правильные и особые точки комплексной переменной

Следствия теоремы Абеля. 1.    Если степенной ряд расходится в точке z2 № z0 , то он расходится и при » z: |z-z0|>|z2-z0 |. (Предполагая противное, получим, что по тереме Абеля ряд должен сходится в » круге радиуса r <|z-z0 |, в частности и в точке z 2 , что противоречит условию.).2. Круг сходимостиРадиус сходимости. Рассмотрим s up|z1-z0 |=R для » z1 , где ряд сходится- точную верхнюю грань расстояний от точки z 0 до точек z 1 в которых сходится ряд Правильные и особые точки комплексной переменнойcn(z-z0)n . Если RПравильные и особые точки комплексной переменнойПравильные и особые точки комплексной переменной, то для » z2: |z2-z0 |>R ряд расходится. R=inf|z 2-z0 |=R для» z2 , где ряд расходится. ПустьR>0, тогда наибольшей областью сходимости степенного ряда является круг |z-z 0| круг сходимости степенного ряда, число R>0- радиус сходимости степенного ряда. Внутри круга сходимости ряд сходится, вне- расходится, в точках границы |z-z0 |=R   может как сходиться, так и расходиться.

Радиус сходимости

Если интервал сходимости представляется в виде Правильные и особые точки комплексной переменной, где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно. Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

Правильные и особые точки комплексной переменной

или на основе признака Даламбера:Правильные и особые точки комплексной переменной

18.Ряд Тейлора функции комплексной переменной. Формулы разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.

19.Нули аналитической функции.

Пусть функция F(z) является аналитической в точке Z0

Точка Правильные и особые точки комплексной переменнойназывается нулем функции Правильные и особые точки комплексной переменной, если ее значение в этой точке равно нулю, т.е.Правильные и особые точки комплексной переменной.

В разложении функции в ряд Тейлора в окрестности нуля той функции отсутствует свободный член: Правильные и особые точки комплексной переменной. Если при этом в разложении отсутствуют и слагаемые, содержащие степени разности Правильные и особые точки комплексной переменнойдо n-й степени, т.е. разложение имеет видПравильные и особые точки комплексной переменной

то точка Правильные и особые точки комплексной переменнойназывается нулем порядка Правильные и особые точки комплексной переменнойфункции Правильные и особые точки комплексной переменной. Нуль первого порядка называется простым нулем.

Правую часть равенства (3.20) можно записать в виде произведения:

Правильные и особые точки комплексной переменной, или (3.20)Правильные и особые точки комплексной переменной,

где второй множитель можно рассматривать как степенной ряд, сходящийся в точке Правильные и особые точки комплексной переменной, поэтому его сумма — функция, аналитическая в точке Правильные и особые точки комплексной переменной; обозначим ее Правильные и особые точки комплексной переменной. Таким образом, из (3.20) получаем представление функции Правильные и особые точки комплексной переменнойв виде

Правильные и особые точки комплексной переменной

(3.21)

Кроме того, используя формулу коэффициентов ряда Тейлора Правильные и особые точки комплексной переменной, находим, что для нуля порядка Правильные и особые точки комплексной переменнойфункции Правильные и особые точки комплексной переменнойв точке Правильные и особые точки комплексной переменнойсправедливо условие

Правильные и особые точки комплексной переменной

(3.22)

т.е. порядок нуля функции определяется порядком первой отличной от нуля в этой точке производной.

Пусть функция Правильные и особые точки комплексной переменнойзадана в виде произведения Правильные и особые точки комплексной переменнойи точка Правильные и особые точки комплексной переменнойявляется нулем порядка Правильные и особые точки комплексной переменнойдля Правильные и особые точки комплексной переменнойи нулем порядка Правильные и особые точки комплексной переменнойдля Правильные и особые точки комплексной переменной. Тогда, используя условие (3.21) для этих функций, можно записать

Правильные и особые точки комплексной переменной

или

Правильные и особые точки комплексной переменной

(3.23)



Это означает, что порядок нуля в точке Правильные и особые точки комплексной переменнойфункции, полученной в результате перемножения аналитических функций, равен сумме порядков нуля в этой точке функций-сомножителей.

Утверждение 1

1. Точка Правильные и особые точки комплексной переменнойявляется нулем функции Правильные и особые точки комплексной переменной, если Правильные и особые точки комплексной переменной; нулем порядка Правильные и особые точки комплексной переменной-если для коэффициентов ряда Тейлора ее разложения по степеням Правильные и особые точки комплексной переменнойсправедливы равенства

Правильные и особые точки комплексной переменной

2. Следующие условия являются необходимыми и достаточными условиями пуля порядка п функции Правильные и особые точки комплексной переменнойв точке Правильные и особые точки комплексной переменной

а) условие (3.22): Правильные и особые точки комплексной переменной;б) представление функции в виде произведения (3.21): Правильные и особые точки комплексной переменной.

Замечания 1

1. Если функция не определена в точке Правильные и особые точки комплексной переменной, но Правильные и особые точки комплексной переменной, то после доопределения функции в точке Правильные и особые точки комплексной переменной, точку Правильные и особые точки комплексной переменнойтоже называют нулем функции.

2. Пусть Правильные и особые точки комплексной переменнойпредставлена в виде отношения Правильные и особые точки комплексной переменнойаналитических в точке Правильные и особые точки комплексной переменнойфункций и точка Правильные и особые точки комплексной переменнойявляется нулем порядка Правильные и особые точки комплексной переменнойдля числителя и нулем порядка Правильные и особые точки комплексной переменной— для знаменателя. При условии Правильные и особые точки комплексной переменной, доопределив функцию Правильные и особые точки комплексной переменной, выше, получим, Правильные и особые точки комплексной переменной— нуль функции Правильные и особые точки комплексной переменной.

Используя условие (3.21) для функций Правильные и особые точки комплексной переменнойи Правильные и особые точки комплексной переменной, получаем равенство Правильные и особые точки комплексной переменной, или Правильные и особые точки комплексной переменной. Здесь Правильные и особые точки комплексной переменной— аналитическая в точке Правильные и особые точки комплексной переменной, так как Правильные и особые точки комплексной переменнойи Правильные и особые точки комплексной переменной— аналитические в этой точке и Правильные и особые точки комплексной переменной. Кроме того, Правильные и особые точки комплексной переменной, так как Правильные и особые точки комплексной переменной. Поэтому для функции Правильные и особые точки комплексной переменнойточка Правильные и особые точки комплексной переменнойявляется нулем порядка Правильные и особые точки комплексной переменной(см. (3.21)). Порядок нуля частного равен разности — из порядка нуля числителя вычитается порядок нуля знаменателя.

20.Ряд Лорана. Главная т правильная части ряда Лорана. Формулы для коэффициентов. Область сходимости.

21.Классификация особых точек по разложению функции в ряд Лорана.

Особой точкой называется функция f(z) , точка в которой не является аналитической.

Z = z 0-особая точка f(z), особая точка называется изолированной, если в некоторой окресности её функции f(z ) не имеет других особых точек. Если R>0, то 0<(z-z0)n+n. Ряд Лорана не содержит главной части нет членов с отрицательными показателями, z0-устранимая точка функции f(z). Главные части ряда Лорана конечное число членов, в этом случае z0-называется полюсом функции. Главные части Лорана содержат бесконечное множество членов, тогда z0-называется существенной точкой фуекции.

22.Поведение аналитической функции в окрестности устранимой особой точки и существенно особой точки.

23.Поведение аналитической функции в окрестности полюса. Теорема о связи между нулем и полюсом функции.

24.Классификация бесконечно удаленных особых точек аналитической функции.

Окрестностью точки z=∞называется внешность какого-либо круга с центром в точке О и достаточно большим радиусом R. Точка z=∞называется изолированной особой точкой, если в некоторой окресности нет других особых точек функции . Если z=∞устранимая особая точка, то разложение функции в Ряд Лорана в окресности этой точки, не имеет членов с положительными показателями. Если z=∞ полюс, то в разложении конечное число членов с положительным показателем. Если z=∞ существенно особой точкой, то будет бесконечно много членов с положительными показателями z=1/w, w→0,z→∞при f(1/w)при w→0.

25.Понятие вычета и основная теорема Коши о вычетах.

Вычетом функции Правильные и особые точки комплексной переменнойв изолированной особой точке Правильные и особые точки комплексной переменнойназывается интеграл Правильные и особые точки комплексной переменной, где Правильные и особые точки комплексной переменной— контур, принадлежащий окрестности точки Правильные и особые точки комплексной переменнойи охватывающий ее. Обход контура — положительный, т.е. область им ограниченная и принадлежащая окрестности Правильные и особые точки комплексной переменнойпри обходе расположена слева: для Правильные и особые точки комплексной переменной— обход против часовой стрелки (рис. 4.2,а), для Правильные и особые точки комплексной переменной— по часовой стрелке. Обозначается вычет Правильные и особые точки комплексной переменнойПравильные и особые точки комплексной переменной

Основная теорема о вычетах

Утверждение 4.6 (основная теорема о вычетах). Если функция Правильные и особые точки комплексной переменной-аналитическая в Правильные и особые точки комплексной переменной за исключением конечного числа особых точек Правильные и особые точки комплексной переменной, то справедливо равенство (где Правильные и особые точки комплексной переменной— граница области Правильные и особые точки комплексной переменной):

Правильные и особые точки комплексной переменной

Обобщенная теорема о вычетах

Утверждение 4.7 (обобщенная теорема о вычетах). Сумма вычетов функции Правильные и особые точки комплексной переменнойво всех ее особых точках, включая бесконечно удаленную точку, равна нулю:

Правильные и особые точки комплексной переменной

26.Правила вычисления вычетов.

Теоретический минимум

Вычетом функции Правильные и особые точки комплексной переменной в особой точке z=a по определению называется величина

Правильные и особые точки комплексной переменной

Контур интегрирования должен охватывать только одну особую точку z=a, причём она должна быть изолированной

и являться точкой однозначного характера.

Обычно по определению вычеты не вычисляют: это неудобно. Можно показать, что вычет функции в точке представляет собой

коэффициент при минус первой степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности данной точки. Это упрощает вычисление,

так как появляется возможность использовать приёмы разложения функции в ряд Лорана, не связанные с вычислением контурных

интегралов. Тут многое зависит от вида особой точки. В разложении функции в ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки

отрицательные степени отсутствуют. Следовательно, и вычет в такой точке равен нулю. Разложение в ряд Лорана в окрестности полюса

содержит конечное число отрицательных степеней. В этом случае для полюса n-го порядка

Правильные и особые точки комплексной переменной

Чаще всего применяется именно эта формула. Для простого полюса (полюса первого порядка) формула сильно упрощается:

Правильные и особые точки комплексной переменной

Отдельно рассматривается вычет в бесконечно удалённой точке. Он равен взятому с противоположным знаком коэффициенту при минус первой степени разложения функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки.

Вычеты находят применение при вычислении интегралов по основной теореме о вычетах.








sitemap
sitemap