Теория функций



1.Функции комплексной переменной. Основные понятия.

2.Предел и непрерывность функции комплексной переменной.

Определение: число w0 называется пределом функции f(z) в точке z0, если для любого эпсилант>0, есть g>0 (0<|z-z0|0|<эпсилант.

Следствие: если записать действительную и мнимую часть неравенства, то будет выглядеть так: lim u(x,y)=u0 и lim v(x,y)=v0 (w0=u0+iv0)/

Замечание: теорема о пределах суммы, разности, произведения и частного для функции действительной переменной справедливы и для функции комплексной переменной.

Определение: пусть функция w=f(z) определена в точке z0 и в некоторой ее окрестности, функция называется непрерывной в точке z0, если предел функции в z0 равен значению функции в z0. Функция w=f(z) непрерывна в каждой точке области D называется непрерывной в области D (областью на комплексной плоскости называют множество точек, которые обладают свойствами открытости и связности).

Св-во открытости – каждая точка принадлежит множеству вместе с каждой ее окрестностью (внутренняя точка).

Св-во связности – множество связное, если любые 2 точки можно соединить линией/кривой, лежащей в этой области.

Граничные точки – это точки, в любой сколь угодно малой окрестности которой находятся как принадлежащие данному множеству точки, так и не принадлежащие.

Внешние точки – точки, некоторые окрестности которых не содержат ни одной точки данного множества.

Св-ва непрерывной функции:

модуль непрерывной функции комплексной переменной обладает теми же св-вами, что и функция действительной переменной; непрерывная функция на ограниченном множестве ограничена

непрерывная функция достигает наибольшего и наименьшего значения в точках множества

непрерывная функция принимает все промежуточные значения между наибольшим и наименьшим значениями

3.Определение, формула и свойства показательной функции комплексной переменной.

Число w называется показательной функцией, если w определяется формулой: w=ez=ex(cosy+isiny)

•если y=0, то w=ex

•выполняются все св-ва действий со степенями: 1) ez1+z2=ez1*ez2; 2) ez1-z2=ez1:ez2; 3) (ez1)n=enz1

•модуль |ez|=ex неравно 0, т.е. ez неравно 0

•lim ez=0 при Re z->-бесконечность и x->-0 и lim ez=бесконечности при Re z->-бесконечность и x->+бесконечность

•замечание: если x=0, а y=fi, то получим ф-ция Эйлера eifi=cosfi+isinfi и мы можем написать в показательной форме компл.числа: w=ez=ex*eifi fi=argz

•показательная функция является периодической с периодом 2пиi:

ez+2пиi=ez*e2пиi=ez(cos2пи+isin2пи)=ez

•значение функции не всегда положительное

4.Определение, формула и свойства логарифмической функции комплексной переменной.

5.Определение, формула и свойства степенной функции комплексной переменной.

6.Определение, формула и свойства тригонометрических функций комплексной переменной.

7.Определение, формула и свойства обратных тригонометрических функций комплексной переменной.

8.Дифференцирование функции комплексной переменной. Условия Эйлера-Даламбера. Правила дифференцирования.

9.Аналитическая функция. Правильные и особые точки. Дифференциал аналитической функции.

Однозначная функция w=f(z) называется аналитической в точке z (галаморфной), если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Функция f(z) называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке области.

В точках плоскости, в которых функция f(z) аналитична, называются правильными точками, в которых не аналитична, называются особыми точкам функции.

Диференциалом аналитической функции в точке z называется главной частью приращения

10.Определение интеграла функции комплексной переменной. Формула вычисления интеграла через криволинейные интегралы.

Понятие интеграла функции комплексной переменной вводится (так же, как и в действительной области) как предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой .

Данная формула определяет криволинейный интеграл от функции комплексной переменной. Если выделить действительную и мнимую части функции ,то интегральную сумму можно записать в виде двух слагаемых, которые будут являться интегральными суммами криволинейных интегралов второго рода от функций двух действительных переменных. Если  предположить непрерывной на , то  будут также непрерывны на , и, следовательно, будут существовать пределы соответствующих интегральных сумм. Поэтому, если функция непрерывна на , то предел в равенстве (2.43) существует, т.е. существует криволинейный интеграл от функции  по кривой  и имеет место формула

11.Основные свойства интеграла функции комплексной переменной.

12.Теорема Коши. Следствие к теореме Коши. Случай многосвязной области.

13.Первообразная и неопределенный интеграл функции комплексной переменной. Формула Ньютона-Лейбница.

14.Интеграл Коши. Интегральная формула Коши. Следствия к ней.

Формула называется интегральной формулой Коши или интегралом Коши. Если в качестве контура в выбрать окружность , то, заменяя и учитывая, что — дифференциал длины дуги , интеграл Коши можно представить в виде формулы среднего значения:

Следствия

Аналитичность голоморфных функций

В окрестности любой точки из области, где функция голоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда:

причём его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке , в котором функция голоморфна, а коэффициенты могут быть вычислены по интегральным формулам:

.

Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов функций, голоморфных в круге :

Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях

Если функция голоморфна в области вида , то в ней она представима суммой ряда Лорана:

причём коэффициенты могут быть вычислены по интегральным формулам:

а сам ряд Лорана сходится в к функции равномерно на каждом компакте из .

Теоремы о среднем для голоморфных функций

Если функция голоморфна в круге , тогда для каждого

а также если — круг радиуса с центром в , тогда

Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция голоморфна в области и внутри её модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция и есть константа.

15.Числовые ряды в комплексной области. Основные определения. Необходимый признак сходимости.

Основные определения и понятия.

Пусть мы имеем числовую последовательность , где .

Приведем пример числовой последовательности: .

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида .

В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = -0.5: .

называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда.

Для предыдущего примера общий член числового ряда имеет вид .

Частичная сумма числового ряда – это сумма вида , где n – некоторое натуральное число. называют также n-ой частичной суммой числового ряда.

К примеру, четвертая частичная сумма ряда есть .

Частичные суммы образуют бесконечную последовательность частичных сумм числового ряда.

Для нашего ряда n –ая частичная сумма находится по формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии , то есть, будем иметь следующую последовательность частичных сумм: .

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Необходимый признак сходимостиЕсли ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .Отсюда следует, что если не равен нулю, то ряд расходится.

16.Определения и свойства абсолютно сходящихся рядов в комплексной области.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов. Так же, как и для числовых действительных рядов с произвольными членами, легко доказать, что если сходится ряд , то обязательно сходится ряд . (|an| ≤ |zn|, |bn| ≤ |zn|, поэтому ряды, образованные действительной и мнимой частями ряда , сходятся абсолютно). Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся. Ряд — ряд с неотрицательными членами, поэтому для исследования его сходимости можно применять все известные признаки

17.Степенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля и следствия к ней. Радиус сходимости.

Определение суммы числового ряда и признаки сходимости в комплексном области практически такие же, как в вещественном, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль; исключение составляют признаки сходимости, в которых происходит сравнение на больше-меньше самих элементов ряда, а не их модулей.

Всякая дифференцируемая в точке  функция разлагается в окрестности этой точки в степенной ряд Тейлора:

Коэффициенты ряда вычисляются по обычным формулам. Этот ряд сходится к функции  в некотором круге радиуса  с центром в точке , который служит аналогом интервала сходимости вещественного ряда. В этом круге ряд абсолютно сходится, а вне его расходится. При этом возможны 3 случая.

Ряд сходится в круге конечного и ненулевого радиуса.

Ряд сходится во всей комплексной плоскости, то есть . Такие функции называются целыми.

Ряд сходится только в точке . Пример: . Такие точки  называются особыми для функции . Неособые точки называются правильными. Внутренность круга сходимости состоит из правильных точек.

Граница круга сходимости содержит хотя бы одну особую точку. Отсюда следует, что радиус круга сходимости в точке  равен расстоянию от  до ближайшей к ней особой точки.

Теорема Абеля: если  — радиус круга сходимости степенного ряда, то в любом круге с тем же центром, но меньшего радиуса, ряд сходится равномерно.

теорема Абеля: Если степенной ряд сходится при некотором , где-число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что  Наоборот, если ряд расходится при , то он расходится при всех значениях x таких, что 

Следствия теоремы Абеля. 1.    Если степенной ряд расходится в точке z2 № z0 , то он расходится и при » z: |z-z0|>|z2-z0 |. (Предполагая противное, получим, что по тереме Абеля ряд должен сходится в » круге радиуса r <|z-z0 |, в частности и в точке z 2 , что противоречит условию.).2. Круг сходимостиРадиус сходимости. Рассмотрим s up|z1-z0 |=R для » z1 , где ряд сходится- точную верхнюю грань расстояний от точки z 0 до точек z 1 в которых сходится ряд cn(z-z0)n . Если R, то для » z2: |z2-z0 |>R ряд расходится. R=inf|z 2-z0 |=R для» z2 , где ряд расходится. ПустьR>0, тогда наибольшей областью сходимости степенного ряда является круг |z-z 0| круг сходимости степенного ряда, число R>0- радиус сходимости степенного ряда. Внутри круга сходимости ряд сходится, вне- расходится, в точках границы |z-z0 |=R   может как сходиться, так и расходиться.

Радиус сходимости

Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно. Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

18.Ряд Тейлора функции комплексной переменной. Формулы разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.

19.Нули аналитической функции.

Пусть функция F(z) является аналитической в точке Z0

Точка называется нулем функции , если ее значение в этой точке равно нулю, т.е..

В разложении функции в ряд Тейлора в окрестности нуля той функции отсутствует свободный член: . Если при этом в разложении отсутствуют и слагаемые, содержащие степени разности до n-й степени, т.е. разложение имеет вид

то точка называется нулем порядка функции . Нуль первого порядка называется простым нулем.

Правую часть равенства (3.20) можно записать в виде произведения:

, или (3.20),

где второй множитель можно рассматривать как степенной ряд, сходящийся в точке , поэтому его сумма — функция, аналитическая в точке ; обозначим ее . Таким образом, из (3.20) получаем представление функции в виде

(3.21)

Кроме того, используя формулу коэффициентов ряда Тейлора , находим, что для нуля порядка функции в точке справедливо условие

(3.22)

т.е. порядок нуля функции определяется порядком первой отличной от нуля в этой точке производной.

Пусть функция задана в виде произведения и точка является нулем порядка для и нулем порядка для . Тогда, используя условие (3.21) для этих функций, можно записать

или

(3.23)

Это означает, что порядок нуля в точке функции, полученной в результате перемножения аналитических функций, равен сумме порядков нуля в этой точке функций-сомножителей.

Утверждение 1

1. Точка является нулем функции , если ; нулем порядка -если для коэффициентов ряда Тейлора ее разложения по степеням справедливы равенства

2. Следующие условия являются необходимыми и достаточными условиями пуля порядка п функции в точке

а) условие (3.22): ;б) представление функции в виде произведения (3.21): .

Замечания 1

1. Если функция не определена в точке , но , то после доопределения функции в точке , точку тоже называют нулем функции.

2. Пусть представлена в виде отношения аналитических в точке функций и точка является нулем порядка для числителя и нулем порядка — для знаменателя. При условии , доопределив функцию , выше, получим, — нуль функции .

Используя условие (3.21) для функций и , получаем равенство , или . Здесь — аналитическая в точке , так как и — аналитические в этой точке и . Кроме того, , так как . Поэтому для функции точка является нулем порядка (см. (3.21)). Порядок нуля частного равен разности — из порядка нуля числителя вычитается порядок нуля знаменателя.

20.Ряд Лорана. Главная т правильная части ряда Лорана. Формулы для коэффициентов. Область сходимости.

21.Классификация особых точек по разложению функции в ряд Лорана.

Особой точкой называется функция f(z) , точка в которой не является аналитической.

Z = z 0-особая точка f(z), особая точка называется изолированной, если в некоторой окресности её функции f(z ) не имеет других особых точек. Если R>0, то 0<(z-z0)n+n. Ряд Лорана не содержит главной части нет членов с отрицательными показателями, z0-устранимая точка функции f(z). Главные части ряда Лорана конечное число членов, в этом случае z0-называется полюсом функции. Главные части Лорана содержат бесконечное множество членов, тогда z0-называется существенной точкой фуекции.

22.Поведение аналитической функции в окрестности устранимой особой точки и существенно особой точки.

23.Поведение аналитической функции в окрестности полюса. Теорема о связи между нулем и полюсом функции.

24.Классификация бесконечно удаленных особых точек аналитической функции.

Окрестностью точки z=∞называется внешность какого-либо круга с центром в точке О и достаточно большим радиусом R. Точка z=∞называется изолированной особой точкой, если в некоторой окресности нет других особых точек функции . Если z=∞устранимая особая точка, то разложение функции в Ряд Лорана в окресности этой точки, не имеет членов с положительными показателями. Если z=∞ полюс, то в разложении конечное число членов с положительным показателем. Если z=∞ существенно особой точкой, то будет бесконечно много членов с положительными показателями z=1/w, w→0,z→∞при f(1/w)при w→0.

25.Понятие вычета и основная теорема Коши о вычетах.

Вычетом функции в изолированной особой точке называется интеграл , где — контур, принадлежащий окрестности точки и охватывающий ее. Обход контура — положительный, т.е. область им ограниченная и принадлежащая окрестности при обходе расположена слева: для — обход против часовой стрелки (рис. 4.2,а), для — по часовой стрелке. Обозначается вычет

Основная теорема о вычетах

Утверждение 4.6 (основная теорема о вычетах). Если функция -аналитическая в за исключением конечного числа особых точек , то справедливо равенство (где — граница области ):

Обобщенная теорема о вычетах

Утверждение 4.7 (обобщенная теорема о вычетах). Сумма вычетов функции во всех ее особых точках, включая бесконечно удаленную точку, равна нулю:

26.Правила вычисления вычетов.

Теоретический минимум

Вычетом функции в особой точке z=a по определению называется величина

Контур интегрирования должен охватывать только одну особую точку z=a, причём она должна быть изолированной

и являться точкой однозначного характера.

Обычно по определению вычеты не вычисляют: это неудобно. Можно показать, что вычет функции в точке представляет собой

коэффициент при минус первой степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности данной точки. Это упрощает вычисление,

так как появляется возможность использовать приёмы разложения функции в ряд Лорана, не связанные с вычислением контурных

интегралов. Тут многое зависит от вида особой точки. В разложении функции в ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки

отрицательные степени отсутствуют. Следовательно, и вычет в такой точке равен нулю. Разложение в ряд Лорана в окрестности полюса

содержит конечное число отрицательных степеней. В этом случае для полюса n-го порядка

Чаще всего применяется именно эта формула. Для простого полюса (полюса первого порядка) формула сильно упрощается:

Отдельно рассматривается вычет в бесконечно удалённой точке. Он равен взятому с противоположным знаком коэффициенту при минус первой степени разложения функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки.

Вычеты находят применение при вычислении интегралов по основной теореме о вычетах.



sitemap
sitemap