Так ли просты простые числа



Городская конференция младших школьников

«Открытие»

Секция математика

Так ли просты простые числа

Автор: Торгунакова Яна Борисовна,

ученица 6 «В» класса

МОУ «Средняя школа №8»

Руководитель:

Куркович Лариса Федоровна,

учитель математики

МОУ «Средняя школа №8»

вторая квалификационная

категория

г. Когалым, 2011г.

Содержание:

Введение стр. 3

Основное содержание — исследование простых чисел стр. 4-8

Микроисследование №1 стр. 4

Микроисследование №2 стр. 4-5

Микроисследование №3 стр. 5-6

Микроисследование №4 стр. 5-6

Микроисследование №5 стр. 6

Микроисследование №6 стр. 6-7

Микроисследование №7 стр. 7-8

Заключение стр. 8

Список источников информации стр. 8

Приложения стр. 9-18

Введение

  В 6 классе на уроках математики мы познакомились с темой «Простые числа». И меня заинтересовали эти числа. Особенно их название. Вначале я узнала о значении слова «простой».

Слово «простой» в толковом словаре русского языка С.И.Ожегова определяется как «однородный по составу, не составной; не сложный, не трудный, легко доступный пониманию, осуществлению».

В энциклопедии «Викисловарь»: «Значения слова «простой» —

доступный и не требующий много времени и усилий для понимания, решения, выполнения, описания, использования;

 ничем не выделяющийся среди прочих, обыкновенный, типичный, стандартный;

 недорогой, без дополнительных функций, опций, аксессуаров, дополнительных этапов при производстве, ингредиентов и специй».

Немногие математические понятия настолько доступны далёкому от математики человеку, как понятие «простые числа». Любому встретившемуся на улице можно за короткое время объяснить, что такое простые числа. Поняв, человек без труда скажет: 2,3,5,7,11,13,17,… Так неужели эти числа так просты, понятны и доступны? Соответствуют ли они своему названию? Отсюда возникает проблема исследования: можно ли установить соответствие между значениями слова «простой» и математическим названием простого числа.

Исходя из вышеизложенного, я выдвинула для работы следующие цели и задачи.

Цель исследования: установить соответствие между математическим понятием простого числа и значением слова «простой».

Объект исследования: множество натуральных чисел.

Предмет исследования: простые числа.

Задачи исследования:

Изучить исторические сведения о простых числах.

Исследовать «решето Эратосфена».

Исследовать множество простых чисел до 1000.

Гипотеза: если нельзя найти формулу простого числа, то эти числа нельзя назвать простыми.

Предлагаемая работа является результатом исследования множества простых чисел, проведенного по таблице простых чисел и по литературным источникам.

Основными методами являются сбор, изучение, анализ, обобщение исследовательского и теоретического материала, рефлексивное осмысливание результатов.

Основное содержание — исследование простых чисел.

Микроисследование №1.

Цель: ответить на вопрос: « Нахождение простых чисел по «решету Эратосфена» всегда

легкодоступно пониманию, осуществлению

Первый, кто занимался задачей «выписать из множества натуральных чисел простые», был великий математик древности Эратосфен, живший почти 2 300 лет назад. Он придумал такой способ: записал все числа от единицы до какого-то числа, а потом вычеркнул единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные двум, т.е. 4,6,8 и т.д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два все числа, идущие после трех (числа, кратные 3, т.е. 6, 9, 12, и т.д.), в конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13,….

В этот способ можно внести и такой прием (диагональный), который я использовала при нахождении простых чисел от 1 до 100. (См. приложение 1)

Способ нахождения простых чисел назван «решето Эратосфена», так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычеркивались, а выкалывались иглой, то таблица в конце вычислений напоминало решето.

Вывод: используя «решето Эратосфена» мы можем найти все простые числа. И этот способ, действительно, легко доступен к пониманию и осуществлению. Но нахождение простых чисел среди многозначных натуральных чисел уже проблематично и затруднительно, требует много времени и усилий, поэтому используют вычислительные машины. Значит, первому значению слова «простой» простые числа не соответствуют.

Микроисследование №2.

Цель: ответить на вопрос: « Однородны ли по составу простые числа?»;

произвести подсчет простых чисел и чисел-близнецов в таблице простых чисел до

1000.

Благодаря «решету Эратосфена» была составлена таблица простых чисел. На форзаце учебника «Математика 6 класс» Виленкина Н. Я. помещена таблица простых чисел до 997, с которой мы работали на уроках. (См. приложение 2) Но почему в таблице числа записаны разными цветами? Значит, числа неоднородны? Чтобы ответить на эти вопросы, я рассмотрела выделенные красным цветом числа. Заметила, что разница между ними равна двум. Оказывается, такие простые числа называют близнецами.

По таблице простых чисел я подсчитала, сколько простых чисел, сколько чисел – близнецов в каждой сотне чисел (до 1000). Результат приведен в приложении 3 и в данной таблице.

2-100

100-200

200-300

300-400

400-500

500-600

600-700

700-800

800-900

900-1000

Простые числа

25

21

16

16

17

14

16

14

15

14

Числа-близнецы

8

7

4

2

3

3

3

5

Близнецы собираются и в скопления. В таблице простых чисел нашла «тройню» — это числа

3, 5, 7. Скопления «четверок» — это 5, 7, 11, 13 ; 11, 13, 17, 19; 101,103,107,109; 137,139,149,151; 419, 421, 431,433. Есть и «шестерки»: 179,181, 191 193, 197, 199 и 809, 811, 821, 823,827,829.

Вывод: простые числа по составу не однородны (выделяются числа-близнецы); количество пар близнецов до 500 (24 пары) больше, чем количество пар от 500 до 1000 (11пар), значит, количество чисел – близнецов уменьшается, распределены простые числа и числа-близнецы неравномерно; количество скоплений близнецов не определено.

Значит, второму значению слова «простой» эти числа не совсем соответствуют.

Микроисследование №3.

Цель: найти формулу для нахождения чисел–близнецов.

Анализируя простые числа по таблице простых чисел, заметила, что они либо на 1 меньше, либо на 1 больше чисел, кратных 6. По — моему, они имеют вид 6n . Я исследовала эту формулу до n = 50. (См. приложение 4)

Вывод: числа-близнецы, найденные по формуле, совпали с числами-близнецами, найденными по таблице простых чисел. Выпала только пара (3; 5). Считаю, что, исключая пару (3; 5), можно по этой формуле находить числа близнецы. Можно также находить и простые числа, но результат вычислений необходимо проверять (а это сложно сделать, если проверять многозначные числа). В приложении 4 простые числа выделила красным цветом.

Считать эту формулу «стандартной» не можем, значит, и значению слова «простой» простые числа не совсем соответствуют.

Микроисследование № 4.

Цель: найти количество простых чисел и определить процент появления их.

Как часто встречаются простые числа среди натуральных? Я подсчитала в процентах появление простых чисел (в пределах 1000). (См. приложение 5)

Результат исследования приведен в таблице:

Простые числа

1-

100

1-200

1-300

1-400

1-500



1-600

1-700

1-800

1-900

1-1000

Всего

25

46

62

78

95

109

125

139

154

168

Проценты

25

23

20,7

19,5

19

18,2

17,9

17,4

17,1

16,8

Вывод исследования: процент появления простых чисел с увеличением натуральных чисел уменьшается, а само количество простых чисел увеличивается. Они не собраны вместе, а разбросаны среди натуральных чисел неравномерно. Поэтому их поиск затруднителен.

Значит, значению слова «простой» простые числа не соответствуют.

Микроисследование 5.

Цель: ответить на вопрос: «Существует ли самое большое простое число?».

В числах, близких к триллиону, лишь каждое 28 число является простым. Существует ли самое большое простое число? Ответ на этот вопрос нашла в справочной литературе.

(См. приложение 6)

Вывод: самого большого простого числа не существует. Нахождение самого большого простого числа трудоемкий процесс, требующий много времени и усилий.

Несоответствие со значением слова «простой» очевидно.

Микроисследование 6.

Цель: ответить на вопрос: «Существует ли формула нахождения простого числа?».

Можно ли все-таки найти формулу для записи любого простого числа?

I способ: из микроисследования №3 следует, что формулу 6n можно использовать в нахождении простых чисел. Но среди простых чисел, попадаются составные, которые надо отсеивать. А это сложно сделать.

II способ: Числа Мерсенна.

Числа вида 2р -1, где р – простое число, называются числами Мерсенна, впервые заметившего, что среди таких чисел много простых. Это числа 3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287. Но при р =11 число 2047 =23∙89 – составное. (См. приложение 7) Опять нужна проверка полученных чисел.

III способ: Числа Ферма.

Французский математик Пьер Ферма, живший в 17в., утверждал, что значения при натуральных значениях п и п = 0 являются простыми числами.

n

0

1

2

3

4

5

F

3

5

17

257

65537

4294967297

Но Эйлер впоследствии показал, что при п = 5 число 4294967297 является составным, так как оно делится на 641. И не все простые числа можно по этой формуле найти.

IV способ: индийский.

В 1934 году индийский студент Сундарам придумал способ отличать простые числа от составных. Он составил бесконечную таблицу, в которой числа первой строки увеличивались на 3, числа первого столбца последовательно увеличивались на 3, числа второго столбца — на 5, числа третьего столбца – на 7 и т.д.

4 7 10 13 16 19 … Если взять любое число из этой таблицы, умножить

7 12 17 22 27 32 … его на 2 и к произведению прибавить 1, то всегда

10 17 24 31 38 45 … получится составное число.

13 22 31 40 49 58 … Если проделать то же самое с числом, не входящим

16 27 38 49 60 71 … в эту таблицу, то получится простое число.

… … … … … … …

Способ работает, но при достаточно больших значениях проверить сложно.(См. приложение 7)

VI способ: скатерть Улама.

Иногда формула возникает как результат наблюдения визуальных закономерностей. Одну из таких закономерностей случайно открыл Станислав Улам, американский математик, поляк по происхождению. Начав на спирали из всех натуральных чисел отмечать простые числа, Улам обнаружил, что простые числа выстраиваются по диагоналям, образуя довольно длинные цепочки. (См. приложение 8) Но по этому способу трудно определять простые числа.

Вывод: итак, предполагаю, что формулы для однозначного вычисления простых чисел не

существует. А способы могут быть разными. Самый удачный, на мой взгляд, – «решето

Эратосфена». Если нельзя найти формулу простого числа, то эти числа нельзя назвать

простыми по значению слова «простой».

Микроисследование 7.

Цель: найти промежуток времени, за который люди могут выявить простое число.



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | ... | Вперед → | Последняя | Весь текст




sitemap
sitemap