КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА В КОНСТРУИРОВАНИИ ШВЕЙНЫХ ИЗДЕЛИЙ



КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА В КОНСТРУИРОВАНИИ

ШВЕЙНЫХ ИЗДЕЛИЙ

Анисимова Олеся

Группа 303 ГБОУ СПО СО «Первоуральский политехникум»

Г.Первоуральск

Научный руководитель: Ногина Наталья Александровна

Преподаватель математики высшей категории ГБОУ СПО СО

«Первоуральский политехникум» гервоуральск

Профессия закройщик, которую я получаю, предполагает построение лекал для раскроя, конструирование одежды. При конструировании одежды используются следующие основные элементы графических построений:

построение базисной сетки;

определение положения конструктивных точек чертежа засечками дуг;

построение лекальных кривых;

Эти три метода широко используются в практике и изучаются на уроках. Но ч прочитала еще об одном методе: построение кривых второго порядка с помощью проективных дискриминантов. Меня заинтересовали кривые второго порядка, поэтому целью моей работы является рассмотреть некоторые кривые второго порядка и показать, как их использовать в профессии закройщика.

Задачи данной работы ответить на ряд вопросов:

Что такое полярная система координат?

Как строятся кривые в этой системе?

Есть ли интересные кривые в прямоугольной декартовой системе координат?

Возможно ли применение кривых второго порядка в профессии «закройщик»?

Полярная система координат.

Полярная система координат задается произвольной точкой (полюсом) О и лучом ОХ — полярной осью. Тогда положение точки М на плоскости определяется двумя величинами: 1) ее расстоянием ρ = |ОМ| от полюса О или полярным радиусом; 2) величиной угла φ, образованного отрезком ОМ с полярной осью ОХ (рис.1). Угол φ считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки.

Рис.1. Полярная система координат.

Положение точки М заданием ρ и φ определяются однозначно: отрезок ρ – положение точки на луче ОМ, а угол φ определяет направление луча. Однако, угол φ определяется не однозначно, через 2πk, где k – целое число полярный угол повторяется. При этом, расстояние до точки М может быть различным или постоянным. Для устранения неоднозначности в случае повторения значений ρ в качестве полярного угла обычно выбирают наименьший (по абсолютной величине) угол φ, составляемый ОМ с полярной осью, т.е. выбирают φ в диапазоне от π до 2π.

Связь между полярными и декартовыми координатами устанавливается из соотношения между углами и сторонами треугольника ОМА (рис.2).

х = ρ cosφ; y = ρ sinφ ; ρ2 = х2 + у2 ; tg φ = .

Рис.2. Связь полярных и декартовых координат.

Кривые второго порядка в полярной системе координат.

2.1. Спираль Архимеда.

Рассмотрим линию, определяемую уравнением = а , где а — некоторая положительная постоянная (коэффициент пропорциональности). Построим график этой функции при а = 1, для этого найдем несколько её точек, записывая расчеты в таблице.

0

2

0

0,52

1,05

1,57

3,14

4,71

6,28

Откладывая полученные значения на соответствующих лучах, получим точки A,B,C,D,E,F, принадлежащие графику функции = . Соединяя полученные точки плавной кривой, получим спираль Архимеда (рис.3.). Расстояния между витками одинаковы, так АА1 = А1А2 = А2А3

Рис.3. Спираль Архимеда. Рис.4. Логарифмическая спираль.

Логарифмическая спираль.

Кривая, пересекающая все лучи, выходящие из точки О под одним и тем же углом φ. В полярной системе координат задается уравнением ρ=а е к φ.

Точка кривой делает бесчисленное множество оборотов вокруг полюса, неограниченно удаляясь от него при φ > 0 (рис.4). Расстояния между витками, по сравнению со спиралью Архимеда не одинаковы! При отрицательных значениях φ кривая совершает бесчисленное множество оборотов вокруг полюса, безгранично к нему приближаясь, но никогда его не достигая, т.е. полюс для логарифмической спирали является асимптотической точкой.

Лемниската Бернулли.

Лемнискатой называется геометрическое место точек М, произведение расстояний МF1 · МF2 = а2 , т.е. величина постоянная. Уравнение Лемнискаты в декартовых координатах имеет вид: (х2 + у2)2 – 2а22 – у2) = 0

Исследовать кривую по этому уравнению довольно сложно. Если же перейти к полярным координатам, то уравнение примет более простой вид: ρ2 = b2 cos 2φ. Начало координат – узловая точка с касательными у = х, таким образом, кривая проходит через полюс при φ = + , к Z.

Рис.5. Лемниската Бернулли.

Улитка Паскаля.

Улиткой Паскаля называется кривая, определяемая уравнением

ρ= а cosφ + l , где а – диаметр круга.

Вид кривой зависит от величин а и l: при а > l получаем кривую с внутренней петлей, при а = l кривая имеет точку возврата – начало координат (рис.6), в этом случае кривую называют кардиоидой.

Рис.6. Улитка Паскаля.

Розы.

Розы – плоские кривые, уравнения которых в полярных координатах имеют вид ρ = α sin κφ, где α и κ – постоянные.

Если κ = m/n – число рациональное, то роза — алгебраическая кривая четного порядка. Порядок этой кривой равен m + n, если m и n – нечетные числа, и равен 2(m + n), если одно из чисел m и n – нечетное. Вся кривая расположена внутри круга радиуса α, состоит из одинаковых лепестков. Если κ – целое, то роза состоит из κ лепестков при κ нечетном (рис.7) и из 2κ лепестков при κ четном (рис.8).

Рис.7. Трехлепестковая роза. Рис.8. Четырехлепестковая роза.

Кривые второго порядка в прямоугольной декартовой системе координат.

В прямоугольной декартовой системе координат чаще всего рассматриваются окружность, эллипс, гипербола и парабола. При этом уравнения этих линий приведены к каноническому (типовому) виду.

(х – а)2 + (у – b)2 = R2 — окружность

х22 + у22 = 1 — эллипс

х22 у22 = 1 — гипербола

х2 = 2p y — парабола.

В школьном курсе математики не упоминается о других кривых – циклоидах, эпициклоидах и гипоциклоидах, а эти линии невероятно красивы!

Циклоида – это линия, которую описывает закрепленная в плоскости круга точка, когда этот круг катится (без скольжения) по некоторой прямой.

Уравнение циклоиды в параметрической форме:

х = а(tsin t); y = a(1 – cos t), где а – радиус окружности

Циклоида называется обыкновенной, если точка взята на окружности (рис. 9. линия 1), укороченной, если точка взята внутри круга (рис.9. линия 2), удлиненной, если точка – вне круга (рис.9. линия 3).

Рис.9. Циклоиды.

Эпициклоида получается при качении круга по окружности внешним образом, гипоциклоида – внутренним образом. В декартовой системе координат эти линии задаются параметрически:

Эпициклоида (рис.10)

x = (А + а)cosφ – a cos (A+a)φ/a

y = (А+ а)sin φ – a sin (A+a)φ/a

гипоциклоида (рис.11) получается при замене а на (-а).

Рис.10.Эпициклоида Рис.11. Гипоциклоида.

Применение кривых второго порядка в профессии «закройщик».

Спираль Архимеда используется в качестве линии, позволяющей разделить заданный угол на любое количество равных частей. В некоторых готовальнях в старину в состав рабочих инструментов входила металлическая пластинка с тщательно выгравированной на ней спиралью Архимеда. С помощью такого приспособления было нетрудно разделить угол на несколько равных частей.

Спираль Архимеда находит широкое применение в механике, например в кулачковых механизмах, которые преобразуют вращательное движение кулачка в поступательное движение толкателя. Представление о спирали Архимеда дают звуковая дорожка на грампластинке, торец рулона обоев, шарик на нитке, разматывающейся от стержня. Эту кривую получаем при равномерном наматывании ниток на шпульку в механизме швейных машин.

Спираль Архимеда дает линию кроя декоративного элемента – волан. Этим способом можно нарисовать волан прямо на ткани и выкроить его с минимальными отходами ткани. Таким способом можно из небольшого кусочка ткани выкроить волан достаточно большой длины. Этот способ хорош, если нужны воланы для оформления платья или юбки с ассиметричной линией кроя – то есть в тех случаях, когда равномерность и одинаковость завихрений волана не важна. На рисунке 12 представлен орнамент ткани с применением спирали Архимеда.

Рис.12. Орнамент ткани со спиралью Архимеда.

Многие вещи в природе могут дать представление о логарифмической спирали, например раковина улитки последовательные витки которой не одинаковы, а все более и более утолщаются. Семена подсолнуха расположены в соцветии по дугам логарифмической спирали, длина листьев растений от нижних к верхним часто подчинена логарифмическому закону.

По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

В основу алгоритма графических построений, осуществляемых в автоматизированном режиме, положен метод проективных дискриминантов кривой. Такой способ графического построения кривых второго порядка является более сложным и в то же время более точным способом оформления криволинейных срезов деталей. Проективный дискриминант (f) характеризует степень кривизны кривой линии. Он определяется отношением отрезка А1А2, отсекаемого  кривой на медиане треугольника АВС, образованного касательными к кривой в начальной и конечной точках, и хордой ВС, к длине медианы АА2 f = А1А2/АА2

Пример использования проективных дискриминантов (f1 = f4 = 0,5 и f2 = f 3 = 0,42) для построения линии среза проймы показан на рисунке 13.

Рис.13. Построение линии среза проймы.

Кривые второго порядка широко применяются в построении орнаментов кружева. Вот несколько примеров: на рисунке 14, а) мы видим гипоциклоиду в качестве основного мотива; на рисунке 14, б) листья образуют логарифмическую спираль; на рисунке 14, в) – трехлепестковые розы.

а) б)

в)

Рис. 14. Примеры кривых второго порядка в орнаментах кружева:

а) гипоциклоида; б) логарифмическая спираль; в) роза.

Заключение.

В своей работе я рассмотрела полярную систему координат, построила некоторые кривые второго порядка в этой системе и декартовой прямоугольной системе координат. Рассмотрела применение кривых второго порядка в профессии «закройщик».

Список литературы.

Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М., 1973 г. – 872 с.

Полный курс современного рукоделия. — Издательство: Харвест, 2007 г, 336 с.

Радченко И.А. Конструирование и моделирование одежды на нетиповые фигуры. Учеб пособие.- издательство «Академия» 2009 г.



sitemap
sitemap