Средние величины (теория)



СРЕДНИЕ ПОКАЗАТЕЛИ И ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

6.1. Понятие среднего показателя

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности. Средняя величина дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Она отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности. Широкое применение средних объясняется тем, что они имеют ряд положительных свойств, делающих их незаменимым инструментом анализа явлений и процессов в экономике.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в целом определяется ее финансовым положением, В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием основных факторов. Это позволяет средней абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

Остановимся на некоторых общих принципах применения средних величин.

1. При определении средней величины в каждом конкретном случае нужно исходить из качественного содержания усредняемого признака, учитывая взаимосвязь изучаемых признаков,а также имеющиеся для расчета данные.

2. Средняя величина должна прежде всего рассчитываться по однородной совокупности. Качественно однородные совокупности позволяют получить метод группировок, который всегда предполагает расчет системы обобщающих показателей.

3. Общие средние должны подкрепляться групповыми средними. Например, допустим, что анализ динамики урожайности отдельных сельскохозяйственных культур показывает, что общая средняя урожайность снижается. Однако известно, что урожайность этой культуры зависит от почвенных, климатических и других условий и различна в отдельных районах. Сгруппировав районы по признакам различия и проанализировав динамику групповых средних, можно обнаружить, что в отдельных районах средняя урожайность либо не изменилась, либо возрастает, а снижение общей средней по республике в целом обусловлено ростом удельного веса районов с более низкой урожайностью в общем производстве этой сельскохозяйственной культуры. Очевидно, что динамика групповых средних более плотно отражает закономерности изменения урожайности, а динамика общей средней показывает лишь общий результат.

Необходим обоснованный выбор единицы совокупности, для которой рассчитывается средняя.

Категорию средней можно раскрыть через понятие ее определяющего свойства. Согласно этому понятию средняя, будучи обобщающей характеристикой всей совокупности, должна ориентироваться на определенную величину, связанную со всеми единицами этой совокупности. Эту величину можно представить в виде функции: (х12,…хn ).

Так как данная величина в большинстве случаев отражает реальную экономическую категорию, понятие определяющего свойства средней иногда заменяют понятием определяющего показателя.

Если в приведенной выше функции все величины х12n заменить их средней величиной x͞, то значение этой функции должно остаться прежним:

ƒ(x1,x2,…,xn)=ƒ(x͞, x͞, …,x͞ )

Исходя из данного равенства, и определяется средняя. На практике определить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:

ИСС=

Так, например, для расчета средней заработной платы работников предприятия необходимо общий фонд заработной платы разделить на число работников:

ИСС=

Числитель исходного соотношения средней представляет собой ее определяющий показатель. Для средней заработной платы таким определяющим показателем является фонд заработной платы. Независимо от того, какой первичной информацией мы располагаем- известен ли нам общий фонд заработной платы или заработная плата и численность работников, занятых на отдельных должностях, или какие-либо другие исходные данные- в любом случае среднюю заработную плату можно получить только через данное исходное соотношение средней.

Для каждого показателя, используемого в экономическом анализе, можно составить только одно истинное исходное соотношение для расчета средней. Если, например, требуется рассчитать средний размер вклада в банке, то исходное соотношение будет следующим :

ИСС=

Рассмотрим теперь виды средних величин. Выбор вида средней определяется экономическим содержанием показателя и исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин:

Арифметическая

Гармоническая

Геометрическая

Квадратическая

Кубическая и т.д.

Перечисленные средние относятся к классу степенных средних и объединяются общей формулой (при различной величине с):

х͞ =

где хi-i-й вариант рассматриваемого признака (i=1͞,k); fi-удельный вес i-того варианта.

Рассмотрим вначале степенные средние.

Средняя арифметическая величина

Средняя арифметическая является наиболее распространенным видом средних. Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина — среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Например, средняя заработная плата или средний доход работников предприятия — это сумма денег, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь фонд оплаты труда (или все доходы, направленные на личное потребление) был распределен между работниками поровну.

Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней. Исходной, определяющей средней, служит простая средняя.

Средняя арифметическая простая равна простой сумме отдельных значений усредняемого признака, деленной на общее число этих значений (она применяется в тех случаях, когда имеются негруппированные индивидуальные значения признака):

х͞ ариф пр.==

где x1,x2,…,xn — индивидуальные значения варьирующего признака (варианты); n — число единиц совокупности.

Пример. Требуется найти среднюю выработку одного рабочего (слесаря), если известно,

cколько деталей изготовил каждый из 15 рабочих, т.е. дан ряд индивидуальных значений, шт.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19;20. Средняя арифметическая простая равна:

х͞ р = ==19,8

Средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или, как говорят, имеют различный вес, называется взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности (в группу объединяют одинаковые варианты).

Средняя арифметическая взвешенная — средняя сгруппированных величин x1,x2,…,xn — вычисляются по формуле:

х͞ариф. взвеш. =

где ƒi — веса (частоты повторения одинаковых признаков);

сумма произведении величины признаков на их частоты;

— общая численность единиц совокупности.

Иначе говоря, средняя арифметическая взвешенная есть частное от деления суммы произведений вариантов и соответствующих им частот на сумму всех частот. Технику вычисления средней арифметической взвешенной проиллюстрируем на рассмотренном выше примере. Для этого сгруппируем исходные данные и поместим их в таблицу:

Выработка деталей за смену

одним рабочим, шт.

Число рабочих (веса)

ƒ

Х*ƒ

18



2

36

19

4

76

20

5

100

21

3

63

22

1

22

итого

15

297

Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную:

Хариф. взвеш.= =19,8

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы). Тогда формула средней арифметической взвешенной будет иметь вид:

х͞ ариф. взвеш. =

где d = — частота, т.е. доля каждой частоты в общей сумме всех частот.

Часто приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных, частей совокупности (частным средним), т.е. среднюю из средних. Так, например, средняя продолжительность жизни граждан страны представляет собой среднее из средних продолжительностей жизни по отдельным регионам данной страны. Средние из средних рассчитываются так же, как и средние из первоначальных значений признака. При этом средние, которые служат для исчисления на их основе общей средней, применяются в качестве вариантов.

Вычисление средней арифметической взвешенной из групповых средних

гр. i осуществляется по формуле:

х͞ ариф. взв. =

где ƒ — число единиц в каждой группе.

Номер цеха

Средний стаж работы, лет x͞ гр

Число рабочих, чел. ƒ

1-й

5

90

2-й

7

60

3-й

10

50

Итого

_ _

200

В этом примере вариантами являются не индивидуальные данные о стаже работы отдельных рабочих, а средние по каждому цеху x͞ гр . Весами ƒ являются численности рабочих в цехах. Отсюда средний стаж работы рабочих по всему предприятию составит:

х͞ ариф = = = 6,85 лет.

Если значение усредняемого признака заданы в виде интервалов. , т.е. интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд.

Пример. Распределение рабочих АО по уровню оплаты труда:

Исходные данные

Расчетные значения

Группы рабочих

по оплате труда, руб

Число рабочих,чел.,

ƒ

Середина интервала, руб. х

Х*ƒ

До 10000

5

9000

45000

10000-12000

15

11000

165000

12000-14000

20

13000

260000

14000-16000

30

15000

450000

16000-18000

16

17000

272000

18000 и более

14

19000

266000

Итого

100

1458000

От интервального ряда перейдем к дискретному путем замены интервальных значений их средним значениям (простая средняя арифметическая между верхней и нижней границами каждого интервала). При этом величины открытых интервалов (первый и последний) условно приравниваются к интервалам, примыкающим к ним (второй и предпоследний).

При таком исчислении средней допускается некоторая неточность, поскольку делается предположение о равномерности распределения единиц признака внутри группы. Однако ошибка будет тем меньше, чем уже интервал

После того, как найдены середины интервалов, вычисления делают так же, как и в дискретном ряду, — варианты умножают на частоты (веса) и сумму произведений делят на сумму частот (весов):

х͞ ариф = = = 1558 руб

Получили, что средний уровень оплаты труда рабочих АО составляет 14580 руб. в месяц.

Свойства средней арифметической величины.

Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равно нулю. Доказательство:

x͞ ) = (x1 -x͞ ) + (x2 — x͞ ) +…+(xn — x͞ ) = x1 + x2 +…+ xn — nx͞ = n=0

Примечание. Для взвешенной средней сумма взвешенных отклонений равна нулю.

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз.

Доказательство:

= = /c=

Вследствие этого свойства индивидуальные значения признака можно сократить в с раз, произвести расчет средней и результат умножить на с.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет или уменьшится на это же число.

Доказательство:

= = = x͞ +c

Это свойство полезно использовать при расчете средней величины из многообразных и слабо варьирующих значений признака.

4.Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится.

Доказательство:

= = x͞

Используя это свойство, при расчетах следует сокращать веса на их общий сомножитель либо выражать многозначные числа весов в более крупных единицах измерения.

5. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа.

Доказательство:

Составим сумму квадратов отклонений от переменной а:

ƒ(a) =

Чтобы найти экстремум этой функции, нужно ее производную по а приравнять нулю:

= 2

Отсюда имеем:

n · a= ; a== x͞

Таким образом, экстремум суммы квадратов отклонений достигается при а=х͞. Так как логически ясно, что максимума функции не может иметь, этот экстремум является минимумом.

6. Произведение средней на сумму весов всегда равно сумме произведений вариантов на частоты

x͞ ·

Следствие: исчисляя среднюю, мы уравниваем конкретные варианты, заменяя их одним средним числом, которое как постоянный множитель выносим из-под знака суммы.

Необходимо также отметить, что если все веса равны между собой, то средняя арифметическая взвешенная совпадает со средней арифметической простой.

Средняя гармоническая величина.

Если по условию задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при осреднении сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней.

Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда частоты (веса) не приводятся непосредственно, а входят сомножителями в один из имеющихся показателей.

Средняя гармоническая взвешенная. Данная форма используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель. Рассмотрим расчет средней урожайности, являющейся одним из основных показателей эффективности сельскохозяйственного производства.

Валовой сбор и урожайность подсолнечника по центрально-черноземному району (в хозяйствах всех категорий)*

Область

Валовый сбор, тыс. т

Урожайность, ц/га

Белгородская

Воронежская

Курская

Липецкая

Тамбовская

97

204

0,5

16

69

16,1

9,5

4,8

10,9

7,0

Средняя урожайность любой сельскохозяйственной культуры по нескольким территориям, агрофирмам, фермерским хозяйствам и т. п. может быть определена только на основе следующего исходного соотношения:

ИСС =

Общий валовой сбор мы получим простым суммированием валового сбора по областям. Данные же о посевной площади отсутствуют, но их можно получить, разделив валовой сбор по каждой области на урожайность.С учетом этого определим искомую среднюю, предварительно переведя для сопоставимости тонны в центнеры:



Страницы: 1 | 2 | Весь текст




sitemap
sitemap