Случайные события



Основные понятия.



Определение 9. Экспериментом(испытанием)называется любое действие,допускающее бесконечное повторение без изменения внешних условий.Замечание. Эксперимент можно осуществить мысленно.Определение 10. Любой из возможных результатов отдельного эксперимента называется исходом или элементарным событием.Исход обозначается  . — это множество всех исходов, соответствующих данному испытанию.Пример 9. Бросается кубик ( игральная кость) с нумерованными гранями и отмечается номер грани, оказавшейся вверху. Тогда множество всех исходов , где  — это номер грани, оказавшейся вверху или число выпавших очков.Определение 11.Случайным событием называется любое подмножество множества всех исходов, соответствующих данному испытанию.Случайные события обозначаются  и т.д. Следовательно,  .Пример 10. Рассмотрим испытание примера 9. Пусть событие  — это событие, состоящее в том, чточисло выпавших очков не превышает четырех, тогда  .Пусть событие  — это событие, состоящее в том, что выпало нечетное число очков, тогда .Вопрос. Бросается две монеты. Данное испытание имеет три исхода.

Классификация случайных событий.

Случайные события отличаются между собой по степени возможности их появления и по характеру взаимосвязи.Определение 12.Событие называется достоверным, если оно осуществляется при любом исходе испытания.Достоверному событию соответствует все множество исходов испытания, то есть если  — достоверное событие, то .Пример 11.В ящике 10 белых шаров, наудачу вынимают один шар. Событие  состоит в том, что извлеченный шар — белый.Это достоверное событие, так как оно осуществится при любом исходе испытания( исходом является извлечение любого из десяти шаров).Определение 13.Невозможным называется событие, которое не может быть осуществлено ни при одном извозможных исходов испытания.Невозможному событию соответствует пустое множество, то есть если  — невозможное событие, то .Пример 12. В ящике 10 белых шаров, наудачу вынимают один шар. Событие  состоит в том, что извлеченный шар черный.Это невозможное событие, так как не может осуществиться ни при одном исходе испытания.Определение 14.Два или несколько событий называются равновозможными, если условия ихосуществления одинаковы и нет основания утверждать, что какое-либо из них имеет больше шансов появиться в результате испытания, чем другие.Пример 12. При бросании кубика( при условии, что он сделан из однородного материала) все исходыравновозможны.Определение 15. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключаетвозможность появления другого.Пример 13. Куплен один лотерейный билет. Событие  состоит в том, что будет выигран холодильник,событие  состоит в том, что будет выигран пылесос. Данные события несовместны.Определение16. События  называются группой несовместных событий, если они попарно несовместны.Пример 14 . Бросают игральную кость. Событие , где  — это событие, состоящее в том, что выпало  очков. События  образуют группу несовместных событий.Определение 17 .Два события называются совместными, если появление одного из них не исключаетвозможности появления другого.Пример 15. Куплено два лотерейных билета. Тогда события, определенные в примере 13 , являются совместными.Определение 18.События  называются группой совместных событий, если хотя бы два события данной группы совместны.Пример 16. Имеется пять занумерованных шаров. По одному извлекают все шары. Событие , где -это событие, состоящее в том, что порядковый номер извлечения шара совпал с его номером. Эти события образуютгруппу совместных событий.Определение 19.События  образуют полную группу событий, если в результатеиспытания произойдет хотя бы одно событие из них.Пример 17. События, определенные в примере 14, образуют полную группу событий.Вопрос. Какие события не являются равновозможными:а) испытание — подбрасывание симметричной монеты, A={появление герба},B={появление цифры};б) испытание — выстрел по мишени, A={попадание},B={промах};в) испытание — извлечение шара из двух( один белый, второй черный), A={извлечен белый шар},B={извлечен черный шар};г)испытание — студент сдает экзамен, A={сдал на 5},B={сдал на 4},C={сдал на 3},D={сдал на 2} ?

Операции над случайными событиями.

Определение 20.Суммой двухсобытий () называется событие, состоящее в наступлениихотя бы одного из этих событий.

Данную операцию можно проиллюстрировать рисунком.

Событие  состоит в попадании в область , событие  состоит в попадании в область , тогдасобытие  состоит в попадании в заштрихованную область.Определение 21. Произведением двух событий () называется событие, состоящее в совместном появлении этих двух событий.

Аналогично определяется сумма и произведение нескольких событий.Определение 22.Разностью событий () называется событие, состоящее в том, что одно из них произошло, а другое нет.



Определение 23.Событием, противоположным данномусобытию (), называется событие, состоящеев том, что данное событие не произошло.

Противоположные события образуют полную группу несовместных событий.Вопрос.={хотя бы одно из трех изделий бракованное} , ={все три изделия доброкачественные}. Что означает событие  ?



Все изделия доброкачественные

Достоверное событие

Невозможное событие

Все изделия бракованные








sitemap
sitemap